Файл: УМК Избранные главы 11 класс.doc

,

………………………………………………..

являются симметрическими многочленами от n переменных и называются основными симметрическими многочленами.

Основными симметрическими многочленами двух переменных х и y являются многочлены

и ,

а трех переменных х, y и z – многочлены

.

Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных симметрических многочленов, т.к. любой симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов. Отметим, что ответы при решении симметрических уравнений также обладают симметрией, т.е. остаются верными при любой перестановке аргументов.

При решении систем трех уравнений с тремя переменными можно использовать симметрию не по всем трем, а только по двум переменным, например:

u = x + y,

v = xy,

z = z.

Многочлен называется однородным, если все его слагаемые являются одночленами одинаковой степени. Система алгебраических уравнений от двух переменных х и y вида

p (x,y) = q (x,y)

p (x,y) = q (x,y)

называется однородной, если многочлены p p q qявляются однородными, степень многочлена p q qравна степени многочлена p, а степень многочлена q равна степени многочлена q, при этом степени многочленов p и q однородной системы могут быть различными.

При решении систем однородных уравнений (или если система содержит одно однородное уравнение) используется подстановка

y = t x,

далее система разбивается на совокупности более простых систем.

Если функции F(x,y), …, F(x,y) определены на некотором множестве X, то на этом множестве система уравнений

F(x,y) *…* F(x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0

равносильна совокупности систем

F (x,y) = 0, F (x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0; …; Ф(x,y) = 0

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными. Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных. В некоторых случаях система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного или несколько непрерывно меняющихся переменных. В этом случае ее называют недоопределенной. Чаще всего недоопределенной оказывается система уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными

F(x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0

геометрически истолковывается как отыскивание координат точек пересечения линий Г и Г , заданных уравнениями F(x,y) = 0 и Ф(x,y) = 0 соответственно. Этим можно воспользоваться для приближенного решения системы. Проверка покажет, приближенным или точным оказалось найденное решение.

Описанные методы решения систем алгебраических уравнений годятся и для уравнений более общего вида: тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных.

Решение неравенств и систем неравенств.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают (неравенства, не имеющие решений, также равносильны).

Несколько неравенств образуют систему, если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением каждого из указанных неравенств.

Несколько неравенств образуют совокупность, если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением хотя бы одного из указанных неравенств.

Решение неравенств основано на их свойствах.

Для решения квадратного неравенства можно использовать графический способ или метод интервалов.

Метод интервалов:

1) Если функция

f(х) = a(х - х)(х - х )…(х - х),

где х, х,… х- нули функции, непрерывна, то на каждом из промежутков, ограниченном нулям функции, она сохраняет знак. При этом если a > 0, первый знак справа будет « + », а далее знаки будут чередоваться;

f(х) > 0 в тех промежутках, в которых функция имеет знак « + »,

f(х) < 0 в тех промежутках, в которых функция имеет знак «- ».

2) Неравенство вида > 0 равносильно неравенству P(x)Q(x) > 0.

3) Неравенство вида ≥ 0 равносильно системе неравенств P(x)Q(x) ≥ 0 и Q(x) ≠ 0.

4) Непрерывная функция

f(х) = a(х - х) (х - х) …(х - х)

при переходе через нуль функции нечетной степени меняет знак, четной – сохраняет.

Решение неравенств с двумя переменными.

Линия Г: F(x; y) = 0 делит плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых F(x; y) сохраняет знак – в некоторых из этих областей выполняется неравенство F(x,y) > 0, а в остальных неравенство F(x,y) < 0. Поэтому, чтобы решить неравенство F(x,y) > 0,надо сначала изобразить линию Г: F(x,y) = 0 и в каждой из областей, на которые она делит плоскость, выбрать пробную точку. Знак, который принимает F в этой точке, она принимает и во всей области. После этого остается отобрать области, в которых F положительно. Присоединяя к полученному решению саму линию Г, получаем решение неравенства F(x,y) ≥ 0.

Для решения неравенств с несколькими переменными

используются свойства неравенств, неравенство Коши (среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому, т.е. ≥ ; ≥

где a ≥ 0, b ≥ 0) .

Тема лекции 7. Обобщение и повторение курса планиметрии.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрией называется раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

В школьном курсе геометрии изучаются:

• Понятия теоремы, аксиомы, определения.

• Система аксиом.

• Геометрические фигуры – прямая, луч, отрезок, углы, треугольники, многоугольники, окружность, круг.

• Элементы фигур и взаимосвязь между ними.

• Взаимосвязь между элементами многоугольников и окружностей, вписанных в эти многоугольники или описанных вокруг них.

• Параллельность и перпендикулярность.

• Подобие фигур.

• Площади плоских фигур.

• Геометрические построения.

• Векторы.

• Преобразования плоскости.

Геометрические задачи разделяются на три вида:

1. Задачи на доказательство.

2. Задачи на построение.

3. Задачи на вычисление.

В задачах на доказательство выстраивается цепочка рассуждений, основанная на условии задачи (теоремы), аксиомах, теоремах, определениях, дополнительных построениях, в итоге приводящая к требуемому выводу. Особое место занимает метод доказательства от противного. Суть его состоит в том, что вначале делается предположение, противоположное тому, что утверждается условием задачи или теоремы. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы или уже доказанные ранее теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию задачи (теоремы), либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, было верным утверждение задачи (теоремы).

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов, каковыми являются обычно линейка и циркуль. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя, в частности, пользоваться ее шкалой. Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок от данной прямой до данной точки.

Решение задач на вычисление заключается в установке взаимосвязей между элементами рассматриваемой фигуры. Средствами решения задач являются аксиомы, теоремы, определения, дополнительные построения.

При решении геометрических задач важным вспомогательным средством является чертеж. Упражнения на готовых чертежах в процессе изучения новой темы способствуют скорейшему усвоению нового материала. При составлении чертежа необходимо отметить на нем исходные данные в виде штрихов, отмечающих равные отрезки, дуг, отмечающих равные углы и т.д. Нередко в решении задачи помогает выделение фрагмента фигуры, о котором имеется достаточно информации для того, чтобы сделать некоторые выводы, затем можно перейти к следующим фрагментам чертежа.

Одним из важных методов решения задач является метод координат. С этой целью следует вести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1.

Медианы треугольника равны 5см, 6см и 5см. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи используется следующий теоретический материал:

1. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

2. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

3. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой.

4. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

5. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

План решения:

Пусть АА = СС =5см, ВВ =6см, О - точка пересечения медиан.

1. Найдите АО, СО.

2. Определите вид треугольника АОС.

3. Найдите ОВ и АВ .

4. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

О В = ВВ = 2см, ОС = ОА = АА = см, следовательно,

∆ОАС - равнобедренный.

Треугольник АОВ - прямоугольный.

АВ = = = =

S=АВ * ВВ = * 6 = 16 (см ).

Ответ: 16 см .

Задача 2.

Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки, равные 2 и 23 см. Найдите радиус окружности.

Решение:

ОМ = ОН = КС = ОЕ = R.

AD = DC = DE + ЕС = 23 +2 = 25 = МК, тогда

ОК = 25 – R , ЕК = R – 2.

∆ ОКЕ: ОЕ = ОК + КЕ , поэтому

R = (25 – R ) + ( R - 2 ) .

Решив уравнение, получим R=37 или R =17.

Так как радиус окружности меньше стороны квадрата,

то R =37 не удовлетворяет условию задачи, поэтому R=17.

Ответ: R=17.

Задача 3.

Из точки А, удаленной от окружности на 8м, проведена касательная к окружности. Найдите расстояние от точки касания до прямой, проходящей через точку А, и центр окружности, если радиус равен 5м.

Решение:

∆АОВ – прямоугольный.

АО = АС + ОС = 8 + 5 =13.

,

ОН = = .

∆ОВН:

ВН = = = = = 4 .

Ответ: 4 см.

Задача 4.

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 3 и 4, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 2,5.

Решение:

А А = 0,5 ,

2,5 = 0,5 ,

5 = ,

25 = 50 - ВС ,

ВС = 25,

ВС = 5 .

Так как треугольник со сторонами 3, 4, и 5 является прямоугольным, то его площадь равна полупоизведению катетов: S = 0, 5 * 3 * 4 = 6.

Ответ: 6

Тема лекции 8. Обобщение и повторение курса стереометрии.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В школьном курсе стереометрии изучаются параллельность и перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, плоскостей; углы между прямыми и плоскостями, двугранные и многогранные углы. Вводятся декартовы координаты в пространстве, векторы в пространстве, рассматриваются преобразования фигур в пространстве. При изучении векторов в пространстве получаем формулы, аналогичные векторам на плоскости. В курсе стереометрии изучаются геометрические тела: многогранники – призма, параллелепипед, пирамида; тела вращения – цилиндр, конус, шар. При этом следует заметить, что цилиндр и конус можно рассматривать как предельное положении правильных призмы и пирамиды при неограниченном увеличении числа сторон многогранника, лежащего в основании фигуры. Тогда многогранник стремится к кругу, боковое ребро призмы становится образующей цилиндра, а боковое ребро и апофема пирамиды, неограниченно приближаясь друг к другу, стремятся к образующей конуса. Данное замечание позволяет легко выводить формулы для вычисления площадей поверхности и объемов цилиндра и конуса из соответствующих формул для правильных призмы и пирамиды.

При решении задач часто применяется прием выделения планиметрической фигуры из данной стереометрической, при необходимости делается дополнительный планиметрический чертеж. Большую роль в решении стереометрических задач играют вопросы построения плоских сечений и нахождения взаимосвязей между элементами геометрических тел. Особое место занимают задачи на комбинированные геометрические фигуры, вписанные одна в другую, например: шар, вписанный в конус, призма, описанная вокруг цилиндра, конус, вписанный в цилиндр и т.д. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость позволяет упростить решение некоторых задач. Рассмотрим примеры:

Задача 1.

Найдите площадь боковой поверхности правильной семиугольной пирамиды, если площадь ее основания равна S, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом .

Решение:

Традиционное нахождение апофемы является в данной задаче довольно громоздким. Для более краткого решения задачи достаточно заметить, что семиугольник, лежащий в основании пирамиды, является ортогональной проекцией боковой грани на плоскость основания, следовательно, площадь боковой грани равна = 2S.

Ответ: 2S.

Задача 2.

Наклонная образует угол 45˚ с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45 ˚ к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной.

Решение:

Проведем перпендикуляр ВН и наклонную АВ, тогда АН – проекция и АВН = 45˚.

Проведем ВСа .Тогда ВСА =90˚; АСН = 45˚ по условию.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах НС АС,

и треугольник АСН – прямоугольный и равнобедренный.

∆ АСН: Пусть АС = х, тогда СН = х и по теореме Пифагора АН = х .

∆ АВН – прямоугольный и равнобедренный, следовательно ВН = АН = х , тогда по теореме Пифагора АВ = 2х.

∆ АВС: cos ВАС = = = , следовательно ВАС = 60˚.

Ответ: 60˚.

Задача 3.

Длина ребра куба равна а. Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух его смежных граней.

Решение:

Пусть АВ и СD – данные диагонали. Они лежат на скрещивающихся прямых.

Проведем через ребро АВ сечение куба плоскостью, параллельной ребру СD -

плоскость (АВЕ).

Рассмотрим треугольник АВЕ:

АВ = АЕ = ВЕ = а , как диагонали боковых граней куба.

ЕН = = = а .

СН = =

Применив теорему косинусов к треугольнику СЕН, получим:

СН = АС + ЕН - 2 * АС * ЕН * cos СЕН, т.е

= 3а + - 2 * * cos СЕН.

Упростив и приведя подобные слагаемые, получим:

cos СЕН = 4а , cos СЕН = .

Из треугольника СЕО:

СО = ЕС * sin СЕН = а * = = а * = а * = .

Ответ: .

Практическое задание № 1.

Тема: Виды текстовых задач и способы их решения.

Вопросы:

1. Основные приемы в решении задач на движение.

2. Проведите аналогию в схемах решения задач на движение и на работу.

3. Проведите аналогию в схемах решения задач на смеси и сплавы.

4. Схема исследования функции на экстремумы.

5. Составьте уравнение или систему уравнений по заданным условиям:

Задания:

1. Первый турист, проехав 1,5ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на

1, 5ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. 4 часа спустя после отправки в путь 1 туриста вдогонку ему выезжает второй турист со скоростью 56 км/ч

Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?

2. По окружности длиной 60м равномерно и в одном направлении движутся 2 точки. Одна из них делает полный оборот на 5с скорее второй. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.

3. Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2ч. 24мин. В действительности была открыта одна первая труба в течение ¼ времени, необходимого второй трубе для наполнения всего бассейна, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба в в течение ¼ времени, необходимого первой трубе для наполнения всего бассейна, действуя отдельно, после чего оказалось, что осталось наполнить 11/24 бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?