ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 1098
Скачиваний: 3
ìîæíî îáðàçîâàòü íîâóþ áîëåå ñëîæíóþ ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìå-
íÿåìóþ ñèñòåìó (ðèñóíîê 1.11,
à
). Ôåðìû, îáðàçîâàííûå ïîäîá-
íûì îáðàçîì, íàçûâàþòñÿ
ïðîñòåéøèìè
.
Äðóãèå òèïû ôåðì ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ñîåäèíåíèÿ
ïðîñòåéøèõ ñ ó÷åòîì ïðàâèë íåèçìåíÿåìîãî ñîåäèíåíèÿ äèñêîâ.
Ä â à ä è ñ ê à íà ïëîñêîñòè îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìå-
íÿåìóþ ñèñòåìó ïðè ïîìîùè:
à
) øàðíèðà è ñòåðæíÿ, îñü êîòîðîãî íå ïðîõîäèò ÷åðåç øàðíèð
(ðèñóíîê 1.11,
á
);
á
) òðåõ íå ïàðàëëåëüíûõ è íå ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå
ñòåðæíåé (ðèñóíîê 1.11,
â
).
ã
)
á
)
â
)
à
)
Äèñê
Äèñê
Äèñê
Äèñê
Äèñê
Äèñê
Äèñê
Ñòåðæåíü
Ñòåðæíè
Ñòåðæåíü
Øàðíèð
Øàðíèð
Øàðíèð
Øàðíèð
Ðèñóíîê 1.11
Ò ð è ä è ñ ê à íà ïëîñêîñòè îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêè
íåèçìåíÿåìóþ ñèñòåìó ïðè ïîìîùè:
à
) òðåõ ïðîñòûõ øàðíèðîâ, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé (ðè-
ñóíîê 1.11,
ã
);
á
) øåñòè ñòåðæíåé (òðåõ ïàð), ïðè÷åì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïàð
íå äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé ïðÿìîé;
â
) ñîîòâåòñòâóþùåãî êîëè÷åñòâà øàðíèðîâ è ñòåðæíåé (îäèí
øàðíèð è ÷åòûðå ñòåðæíÿ; äâà øàðíèðà è äâà ñòåðæíÿ).
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû
ôåðì
W
óäîáíî âû÷èñëÿòü ïî ñëå-
äóþùåé ôîðìóëå
W
=
2
Ó
–
Ñ
,
ãäå Ó – ÷èñëî óçëîâ ôåðìû;
Ñ – ÷èñëî âñåõ ñòåðæíåé ôåðìû, âêëþ÷àÿ îïîðíûå.
11
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîæíî âû÷èñëèòü è ïî ôîðìóëå
×åáûøåâà, êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì:
W
= 3
Ä
– 2
Ø
–
Ñ
îï
,
ãäå
Ä
– êîëè÷åñòâî äèñêîâ;
Ø – êîëè÷åñòâî ìåæäèñêîâûõ øàðíèðîâ;
Ñ
îï
– êîëè÷åñòâî îïîðíûõ ñòåðæíåé.
Îäíàêî èñïîëüçîâàíèå ýòîé ôîðìóëû
íåöåëåñîîáðàçíî
èç-çà ñëîæ-
íîñòè ïîäñ÷åòà ÷èñëà øàðíèðîâ, êîòîðûå â ôåðìàõ, êàê ïðàâèëî,
êðàòíûå.
Åñëè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû
W
> 0, òî ôåðìà íå èìååò äîñòà-
òî÷íîãî äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè êîëè÷åñòâà ñâÿçåé è
ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè èçìåíÿåìîé (ìåõàíèçìîì).
Àíàëèòè÷åñêîå óñëîâèå íåèçìåíÿåìîñòè
W
≤
0.
Ïðè
W
= 0 ôåðìà èìååò ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìîå äëÿ ãåîìåò-
ðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè êîëè÷åñòâî ñâÿçåé è ïðè ïðàâèëüíîé èõ
ðàññòàíîâêå ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìîé è
ñòàòè÷åñêè
îïðåäåëèìîé
. Ïðè
W
< 0 ôåðìà èìååò ëèøíèå ñâÿçè è ïðè ïðà-
âèëüíîé èõ ðàññòàíîâêå ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìîé è
ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìîé
.
Åñëè ôåðìà ðàññ÷èòûâàåòñÿ áåç ñâÿçè ñ îñíîâàíèåì (áåç îïîð-
íûõ ñòåðæíåé), òî óñëîâèå ãåîìåòðè÷åñêîé íåèçìåíÿåìîñòè áóäåò
ñëåäóþùèì:
Ñ
ô
=
2
Ó
– 3,
ãäå
Ñ
ô
–
÷èñëî ñòåðæíåé ôåðìû.
Ðàâåíñòâî íóëþ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû êàêîé-ëèáî ñòåðæíå-
âîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî åùå íåäîñòàòî÷íûì óñëî-
âèåì åå íåèçìåíÿåìîñòè, ïîýòîìó ñëåäóþùèé ýòàï ïðîâåäåíèÿ
êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà – ñòðóêòóðíûé àíàëèç.
Ñòðóêòóðíûé àíàëèç
ìîæíî ïðîâîäèòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáà-
ìè. Ïðè ïåðâîì â èññëåäóåìîé ôåðìå îòáðàñûâàþò ïîñëåäîâàòåëü-
íî óçëû ñ äâóìÿ ñòåðæíÿìè, è åñëè â ðåçóëüòàòå îñòàíåòñÿ òðå-
óãîëüíèê, òî ñèñòåìà ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìà. Ïðè âòîðîì
ñïîñîáå èç ôåðìû âûäåëÿþò æåñòêèå äèñêè è ðàññìàòðèâàþò èõ
ñîåäèíåíèå. Åñëè îíè ñîåäèíåíû ïî óêàçàííûì âûøå ïðàâèëàì
(ñì. ñ. 11), òî ñèñòåìà ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìà.
Íàïðèìåð, ôåðìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 1.12,
à
, ñòàòè÷å-
ñêè îïðåäåëèìà è âîçìîæíî ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìà. ×èñëî
åå óçëîâ
Ó
= 14, ÷èñëî ñòåðæíåé
Ñ
ô
=
25. Ðàçíîñòü 2
Ó
– 3 =
= 2 · 14 – 3 = 25.
12
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12
13
14
ã
)
á
)
11
12
13
14
â
)
à
)
Ðèñóíîê 1.12
Èññëåäóåì ñòðóêòóðó äàííîé ôåðìû. Îòáðàñûâàåì ïîñëåäîâà-
òåëüíî óçëû 1, 2, …, 11 (ðèñóíîê 1.12,
á
,
â
) ñ äâóìÿ ñòåðæíÿìè è
â ðåçóëüòàòå óáåæäàåìñÿ, ÷òî îñòàåòñÿ òðåóãîëüíèê 12–13–14 (ðè-
ñóíîê 1.12,
ã
). Çíà÷èò, ñèñòåìà ãåîìåòðè÷åñêè íåèçìåíÿåìà.
1.4
Расчет
ферм
на
неподвижную
нагрузку
Ðàñ÷åò ôåðì ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïðîäîëüíûõ ñèë â èõ
ñòåðæíÿõ. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ôåðì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî
ïðè óçëîâîé ïåðåäà÷å âíåøíåé íàãðóçêè â êà÷åñòâå ðàñ÷åòíîé
ñõåìû ïðèíèìàåòñÿ øàðíèðíàÿ ôåðìà. Ïðè ýòîì â ñòåðæíÿõ âîç-
íèêàþò òîëüêî ïðîäîëüíûå ñèëû, âûçûâàþùèå öåíòðàëüíîå ðàñ-
òÿæåíèå èëè ñæàòèå.
Çàìåòèì, ÷òî ðàñ÷åò, îñíîâàííûé íà òàêîé ðàñ÷åòíîé ñõåìå,
ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì. Îí íå ó÷èòûâàåò âëèÿíèå æåñòêîñòè
ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ â óçëàõ. Îäíàêî äëÿ áîëüøèíñòâà ôåðì,
èñïîëüçóåìûõ â ñòðîèòåëüñòâå, ýòî âëèÿíèå íå ñëèøêîì âåëèêî.
Êëàññèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà
. Îïðåäåëåíèå ïðîäîëüíûõ
ñèë ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ñòàòè÷åñêèì, ãðàôè÷åñêèì è êèíåìà-
òè÷åñêèì ìåòîäàìè.
Ñ ò à ò è ÷ å ñ ê è é ( à í à ë è ò è ÷ å ñ ê è é ) ì å ò î ä îñíîâàí íà èñ-
ïîëüçîâàíèè óðàâíåíèé ñòàòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ â âèäå ñóììû
ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî òî÷êè èëè ñóììû ïðîåêöèé íà
äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè
x
,
y
:
0
=
∑
k
k
M
,
0
=
∑
k
k
X
,
0
=
∑
k
k
Y
.
Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò ñîñòàâëÿòüñÿ êàê äëÿ âñåé ôåðìû, òàê è äëÿ
ðàçëè÷íûõ åå ÷àñòåé. Ðàçíîâèäíîñòÿìè ñòàòè÷åñêîãî ìåòîäà ÿâ-
ëÿþòñÿ
ñïîñîá âûðåçàíèÿ óçëîâ
è
ñïîñîá ñå÷åíèé
. Àíàëèòè÷åñêèé
ðàñ÷åò áàëî÷íîé èëè êîíñîëüíî-áàëî÷íîé ôåðìû îáû÷íî íà÷èíà-
åòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ îïîðíûõ ðåàêöèé.
13
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
Ê ã ð à ô è ÷ å ñ ê î ì ó ì å ò î ä ó îòíîñÿò ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñèë
â ñòåðæíÿõ ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû Ìàêñâåëëà
–
Êðåìîíû
ìû åãî ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì, äàííûé ìåòîä ïîäðîáíî èçëîæåí
â ó÷åáíèêàõ [2, 6]. Êàê è äðóãèå ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû, â íàñòîÿ-
ùåå âðåìÿ îí èñïîëüçóåòñÿ ðåäêî.
Ê è í å ì à ò è ÷ å ñ ê è é ì å ò î ä îñíîâàí íà ïðèíöèïå âîçìîæíûõ
ïåðåìåùåíèé è ïðåäïîëàãàåò ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé âîçìîæíûõ
ðàáîò âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ñèë. Ïðè ðàñ÷åòå ôåðì íà ïðîèç-
âîëüíóþ íåïîäâèæíóþ íàãðóçêó ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ ðåäêî èç-
çà åãî òðóäîåìêîñòè. Îäíàêî ïðè ïîñòðîåíèè ëèíèé âëèÿíèÿ (ðàñ-
÷åòå íà ïîäâèæíóþ íàãðóçêó) â ïðîñòûõ ôåðìàõ îí ïîçâîëÿåò ïî-
ëó÷èòü ðåçóëüòàò âåñüìà áûñòðî.
Ñïîñîá âûðåçàíèÿ óçëîâ.
Îí ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðî-
âåäåíèè ðàçðåçîâ, èç êîòîðûõ êàæäûé îòñåêàåò îò ôåðìû ïî îä-
íîìó óçëó.
Ïîðÿäîê ðàñ÷åòà:
1) îïðåäåëÿþò îïîðíûå ðåàêöèè;
2) âûðåçàþò óçåë, â êîòîðîì ñõîäÿòñÿ íå áîëåå äâóõ ñòåðæíåé;
3) â ìåñòàõ ñå÷åíèé ïðèêëàäûâàþò âíóòðåííèå ïðîäîëüíûå ñè-
ëû, íàïðàâëÿÿ èõ îò ñå÷åíèé. Âíóòðåííèå ñèëû â ïåðåðå-
çàííûõ ñå÷åíèåì ñòåðæíÿõ ðàññìàòðèâàþò êàê âíåøíèå ñè-
ëû ïî îòíîøåíèþ ê îòñå÷åííûì óçëàì;
4) äëÿ âûðåçàííîãî
óçëà
ñîñòàâëÿþò óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â
âèäå ñóììû ïðîåêöèé íà ëþáûå äâå íåïàðàëëåëüíûå îñè è
îïðåäåëÿþò íåèçâåñòíûå óñèëèÿ;
5) îòñåêàþò ñëåäóþùèé óçåë ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè óñèëèÿìè,
îïðåäåëÿþò èõ è ò. ä.
6) óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
äëÿ
ïîñëåäíåãî
âûðåçàííîãî
óçëà
ñëó-
æàò äëÿ ïðîâåðêè ðàñ÷åòîâ, ò. ê. óñèëèÿ â ðàññå÷åííûõ
ñòåðæíÿõ óæå íàéäåíû.
Ñïîñîáîì âûðåçàíèÿ óçëîâ ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåí ðàñ÷åò ëþ-
áîé ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìîé ôåðìû. Îäíàêî äëÿ ñëîæíûõ ôåðì
îí ïðèâîäèò ê áîëüøîìó ÷èñëó ñîâìåñòíûõ óðàâíåíèé è ïðèìåíÿ-
åòñÿ äëÿ íèõ ãëàâíûì îáðàçîì êàê âñïîìîãàòåëüíûé.
 ïðîñòûõ ôåðìàõ, îáðàçîâàíèå êîòîðûõ ìîæíî ïðîñëåäèòü
ïðèñîåäèíåíèåì íîâûõ óçëîâ äâóìÿ ñòåðæíÿìè, âûðåçàíèå óçëîâ
íàäî ïðîèçâîäèòü â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ îáðàçîâàíèÿ. Ïðè ýòîì
1)
Ìàêñâåëë
Äæåéìñ Êëåðê (Maxwell James Clerk) (1831–1879), àíã-
ëèéñêèé ôèçèê, ñîçäàòåëü êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, îäèí èç îñíî-
âîïîëîæíèêîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Àâòîð òåîðèè âçàèìíûõ ôèãóð.
2)
Êðåìîíà
Ëóèæè (Cremona Luigi) (1830–1903), èòàëüÿíñêèé ãåî-
ìåòð. Â 1872 ã. ðàçâèë òåîðèþ âçàèìíûõ ôèãóð, ïðåäëîæåííóþ Ìàê-
ñâåëëîì, â ïðèëîæåíèè ê òåîðèè ðàñ÷åòà ôåðì.
14
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru
â êàæäîì âíîâü âûðåçàííîì óçëå ïîÿâëÿåòñÿ íå áîëåå äâóõ íåèç-
âåñòíûõ ñèë. Îñíîâíîé íåäîñòàòîê äàííîãî ñïîñîáà ñîñòîèò â òîì,
÷òî èñêîìàÿ ïðîäîëüíàÿ ñèëà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óñèëèÿ â ðàíåå
ðàññìîòðåííûõ ñòåðæíÿõ. Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê íàêîïëåíèþ âû-
÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåçóëüòàòîâ.
Ñóùíîñòü ñïîñîáà ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ôåðìû, èçîáðàæåí-
íîé íà ðèñóíêå 1.13,
à
.
F
F
F
F
F
F
F
l
d
=
4
d
0
0
5
6
7
8
à
)
N
0-1
N
0-2
y
x
á
)
F
1
N
1-2
N
1-3
N
-0
1
180-2
â
)
x
y
V =
0
3,5
F
V =
8
3,5
F
V =
0
3,5
F
1
2
3
4
Ðèñóíîê 1.13
Îïîðíûå ðåàêöèè îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç ñèììåòðèè íàãðóçêè
îòíîñèòåëüíî ñåðåäèíû ïðîëåòà:
V
0
=
V
8
= 3,5
F.
Âûðåæåì óçåë 0 è ðàññìîòðèì åãî ðàâíîâåñèå (ðèñóíîê 1.13,
á
).
Ïðèêëàäûâàåì ê ñòåðæíÿì ïðîäîëüíûå ñèëû, íàïðàâëåííûå â
ñòîðîíó îòáðîøåííîé ÷àñòè ôåðìû, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñòåðæíè èñ-
ïûòûâàþò ðàñòÿæåíèå. Ïðîäîëüíûå ñèëû áóäåì îáîçíà÷àòü
N
ñ
èíäåêñîì íîìåðîâ óçëîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ðàññìàòðèâàåìîìó
ñòåðæíþ. Íàïðèìåð, â ñòåðæíå 0–1 âîçíèêàåò ïðîäîëüíàÿ ñèëà
N
0–1
.
Íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðèìåì íà îïîðå 0. Òîãäà
0
0
1
0
=
+
α
=
−
∑
V
N
Y
)
sin(
è
0
2
0
1
0
=
+
α
=
−
−
∑
N
N
X
)
cos(
,
îòñþäà
)
sin(
,
)
sin(
α
−
=
α
−
=
−
F
V
N
5
3
0
1
0
,
)
(
,
)
cos(
α
=
α
−
=
−
−
ctg
5
3
1
0
2
0
F
N
N
.
15
Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru