ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 985
Скачиваний: 8
16
Определение.
n
R
E
-
открытое
множество, если все его точки - внутренние.
Примеры: интервал, круг без границы.
Определение.
Пусть
n
R
A
. Точка
n
R
a
называется
предельной
точкой
A
, если
A
a
U
0
.
Определение.
n
R
F
называется
замкнутым
множеством, если оно содержит все
свои предельные точки.
Примеры:
отрезок, круг с границей.
Замечание.
Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные»,
т.е.
n
i
a
x
x
i
i
,...,
1
,
:
.
Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную»
и наоборот.
Определение.
Система множеств
N
A
n
n
G
S
является покрытием множества
A
(покрывает множество
A
), если
N
A
n
n
G
A
. Система
S
является
подсистемой
системы
S
,
если она состоит из множеств, принадлежащих
S
.
Определение.
Множество
K
называется
компактным
, если из любой бесконечной
системы открытых множеств
N
A
n
n
G
S
такой, что
n
n
G
K
можно выбрать конечное
число
m
n
n
,...,
1
так, что
m
n
n
G
G
K
...
1
.
Иными словами, из любого открытого покрытия
K
можно выделить конечное
подпокрытие.
17
Лемма Бореля-Лебега.
Из любой системы интервалов
N
A
n
n
G
S
,
b
a
G
,
,
покрывающей отрезок
N
A
n
n
G
b
a
A
,
можно выделить конечную систему,
покрывающую этот отрезок.
Доказательство.
От противного. Пусть
конечного покрытия множества
b
a
A
,
.
Делим его пополам. Пусть, одна из половинок не допускает конечного покрытия. Обозначим
её
1
A
. Продолжим процесс деления. Получившиеся отрезки обозначим
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
.
Примем длину отрезка
A
равной
c
, т.е.
c
A
, тогда
,
2
,
,
2
,
2
2
2
1
k
k
c
A
c
A
c
A
Построенная система отрезков является вложенной
k
A
A
k
k
1
, стягивающейся в
точку и при этом отрезок
k
A
не допускает конечного подпокрытия.
По Лемме о вложенных отрезках
A
x
A
x
k
k
,
!
1
Следовательно, существует интервал
S
b
a
G
n
n
n
,
в котором содержится точка
x
.
Положим
n
n
b
x
x
a
,
min
. Существует число
k
такое, что
k
k
c
A
2
.
Следовательно,
k
k
k
b
a
A
,
и тогда отрезок
k
A
допускает конечное подпокрытие.
Полученное противоречие
доказывает лемму.
Из Леммы Бореля-Лебега следует, что отрезок
b
a
,
является компактом. Имеет место
и более общее утверждение.
Теорема.
n
R
K
компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е.
содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое
(без
доказательства).
Лемма Больцано-Вейерштасса.
Любое ограниченное, бесконечное числовое
множество
R
A
имеет предельную точку
.
Доказательство.
От противного. Так как
A
ограничено, то
A
b
a
,
. Пусть не
существует предельной точки, т.е.
b
a
y
,
не является предельной. Тогда существует
окрестность
y
O
, которая содержит лишь конечное число точек множества
A
. Построим
систему окрестностей
y
y
O
S
которая будет покрывать отрезок
b
a
,
. Из этой системы
можно выделить конечное подпокрытие, такое что
N
k
k
y
O
b
a
A
1
,
Последнее содержит конечное число точек множества
A
, что противоречит
бесконечности множества
A
.
Определение функции
Определение.
Пусть
D
— некоторое множество чисел. Если задан закон, по
которому каждому числу
x
из множества
D
ставится в соответствие единственное
определенное число
y
, то будем говорить, что на множестве
D
задана функция, которую
назовём
f
. Число
y
— это значение функции
f
в точке
x
, что обозначается формулой
x
f
y
.
18
Число
x
называется аргументом функции, множество
D
— областью определения
функции, а все значения
y
образуют множество
E
, которое называется множеством
значений или областью изменения функции.
Замечание.
Данное определение является определением функции одной переменной.
Общее определение функции, которая может зависеть от нескольких аргументов будет дано
позже.
Определение.
Функция
f
называется возрастающей (убывающей) на множестве
D
G
, если для любых чисел
1
x
и
2
x
из множества
G
, таких что
2
1
x
x
, выполняется
условие
2
1
x
f
x
f
(
2
1
x
f
x
f
)
.
Определение.
Функция
x
f
называется ограниченной снизу (сверху), если
существует такое число
M
m
, что для всех значений
x
из области определения
X
имеет место неравенство
m
x
f
(
M
x
f
).
Определение.
Функция
x
f
называется ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу, т.е. существуют числа
m
и
M
такие, что имеет место
M
x
f
m
.
Определение.
Функция
x
f
называется четной (нечетной), если:
1.
Область определения
X
функции симметрична относительно начала координат.
2.
Для любого значения
X
x
выполняется равенство
x
f
x
f
(
x
f
x
f
).
Замечание.
График четной функции обладает осевой симметрией относительно оси
OY
, а график нечетной функции - центральной симметрией относительно начала
координат.
Примеры.
Четные функции:
2
x
y
и
x
y
Нечетные функции:
x
y
1
и
x
y
.
Замечание.
Функция
0
y
является одновременно четной и нечетной, а
x
x
y
2
не является ни чётной ни нечётной, т.е является функцией общего вида.
Определение.
Функция
x
f
называется периодической, если существует число
0
T
такое, что для каждого значения
x
из области определения этой функции значения
T
x
и
T
x
также принадлежат области определения и имеет место равенство
x
f
T
x
f
.
Из данного определения следует, что чисел, обладающих таким же свойством, что
и число
T
, бесконечно много. Например,
T
2 ,
T
и, вообще говоря,
nT
где
Z
n
.
Определение.
Периодом функции
x
f
называется наименьшее положительное
число
T
, удовлетворяющее условию периодичности
x
f
T
x
f
.
Очевидно, что если функция
x
f
имеет период
T
, то функция
ax
f
имеет
период
a
T
T
0
.
Замечание.
Из определения периодической функции следует, что ее область
определения является неограниченной. Для построения графика периодической функции
достаточно построить его на каком-либо отрезке длины, равной периоду, с последующим
сдвигом этого графика влево и вправо.
Задание.
Доказать, что функция
x
y
sin
имеет период
.
Доказательство.
Область определения
X
совпадает с
. Поэтому точки
x
и
x
принадлежат области определения функции
x
y
sin
. Проверим равенство
x
f
x
x
x
x
f
sin
sin
sin
.
Действительно, функция
x
y
sin
имеет период, равный
.
19
Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси
можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям
“число
x
”
и “точка
x
числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же
смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном
1
x
” будет
говориться “значение функции в точке
1
x
”. В нижеследующем определении можно везде
заменить выражение “точка
x
” на выражение “число
x
”.
Пусть
— некоторое положительное число.
-окрестностью точки
0
x
называется
множество всех точек
x
, принадлежащих промежутку
0
0
,
x
x
,
кроме самой точки
0
x
. Принадлежность точки
x
-
окрестности точки
0
x
можно выразить с помощью
двойного неравенства
0
0
x
x
Число
называется радиусом окрестности.
Способы задания функций
1. Аналитическое задание. Если указана совокупность операций, которые надо
произвести над аргументом
x
, чтобы получить значение функции
y
, то говорят, что
функция задана аналитически.
1). Явное задание:
x
f
y
.
Пример:
а)
1
x
y
,
0
x
;
б)
1
5
2
x
x
y
.
2). Неявное задание: уравнение
0
,
y
x
F
, при некоторых условиях, задает
функцию
x
f
y
, если
0
,
x
f
x
F
.
Пример
: Уравнение
1
2
2
y
x
при
0
y
задает функцию
2
1
x
y
.
2. Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой
находят опытным путем. В этом случае получается таблица, в которой даются значения
функции для конечного множества значений аргумента.
3. Графическое задание. Графиком функции
x
f
y
называется геометрическое
место точек плоскости
xOy
вида
x
f
x
M
,
, где
x
– произвольное значение из области
определения функции. Указанное геометрическое место точек, как правило, образует
некоторую кривую
l
. В этом случае задание кривой
l
определяет отображение области
определения на область изменения функции
x
f
(см. Рис).
4. Словесное или описательное задание. В этом случае функциональная зависимость
выражается некоторым словесным утверждением.
Пример:
а) Функция
x
y
есть целая часть числа
x
20
б) Функция
x
y
есть дробная часть числа
x
Графики функций
x
y
и
x
x
x
y
.
1. Заметим, что
x
означает целую часть числа
x
, т.е.
n
x
, если
r
n
x
, где
1
0
r
, причем данная функция определена при любом значении
x
.
Рассматривая промежутки изменения
x
вида
1
n
x
n
при
Z
n
, получим,
что
n
x
. Поэтому нетрудно построить график
x
y
.
2. Запишем выражение
x
x
x
на промежутке
1
,
n
n
x
, тогда
r
n
r
n
x
x
x
y
.
Следовательно, значение функции в точке
r
n
равно дробной части числа
x
, т.е.
1
,
0
y
.
0 1 2 3 x
-2 -1 0 1 2 3 x
-2
-1
-2
-1
y=[x]
2
1
y
1
y
y=x-[x]