ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 992
Скачиваний: 8
26
Пределы
1
A
и
2
A
называются также
односторонними пределами
функции
x
f
в
точке
a
x
. Также говорят, что
A
–
конечный предел
функции
x
f
.
Теорема о связи между пределом и односторонними пределами.
Для того, чтобы
функция
x
f
имела в точке
a
x
предел равный
A необходимо и достаточно, чтобы в
этой точке существовали одновременно оба равных между собою односторонних предела,
т.е.
A
x
f
A
x
f
A
x
f
a
a
x
a
a
x
a
x
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
Доказательство. Необходимость.
Из существования предела в точке
a
x
следует
что
A
x
f
a
x
из
0
Но первое неравенство можно записать в виде системы
a
x
x
a
a
x
a
x
a
x
из
,
0
,
0
0
откуда получаем существование двух равных односторонних переделов. Очевидно, по той
же причине верно и обратное утверждение.
В ряде случаев, удобно использовать другое определение предела функции. Идея
этого определения заключается в том, что предел функции сводится к пределу
последовательности.
Определение. (предел функции по Гёйне)
Число
A
называется пределом функции
x
f
в точке
a
x
если она определена в некоторой
a
O
и для любой последовательности
n
x
, такой что
N
n
a
O
x
n
соответствующая последовательность значений функции
n
x
f
сходится к числу
A
, т.е.
A
x
f
a
x
из
N
n
N
и
n
n
:
0
(2)
Теорема.
Определение предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство.
То, что из существования предела по Коши следует существование
предела по Гёйне очевидно, т.к. условие (1) жёстче условия (2).
Докажем, что из существования предела по Гёйне следует существование предела по
Коши. Предположим обратное, тогда
0
0
:
:
A
x
f
a
x
из
x
n
n
n
В частности, можно считать, что
0
A
x
f
n
a
x
из
n
n
Из этого заключаем, что
a
x
n
n
lim
и при этом, число
A
не может быть пределом
последовательности значений функции
n
x
f
, поэтому, число
A
не является пределом
функции
x
f
в точке
a
x
по Гёйне. Полученное противоречие доказывает утверждение
теоремы.
Теорема доказана.
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение.
Число А называется
пределом
функции
x
f
при
x
, если для
любого числа
>0 существует такое число
0
M
, что для всех
x
,
M
x
выполняется
неравенство
)
(
x
f
A
27
При этом предполагается, что функция
x
f
определена в окрестности
бесконечности. Записывают:
.
)
(
lim
A
x
f
x
Графически можно представить:
Аналогично можно определить пределы
A
x
f
x
)
(
lim
для любого
M
x
и
A
x
f
x
)
(
lim
для любого
M
x
.
Бесконечно малые функции.
Определение.
Функция
x
f
называется
бесконечно малой
при
a
x
, где а может
быть числом или одной из величин
( +
или -
) если
0
)
(
lim
x
f
a
x
.
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится
аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример.
Функция
n
x
x
f
является бесконечно малой при
0
x
и не является
бесконечно малой при
1
x
, т.к.
1
)
(
lim
1
x
f
x
.
Теорема.
Для того, чтобы функция
x
f
при
a
x
имела предел, равный А,
необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
x
A
x
f
,
где
x
– бесконечно малая при
a
x
(
0
x
при
a
x
).
Свойства бесконечно малых функций:
1)
Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при
a
x
тоже
бесконечно малая функция при
a
x
.
2)
Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при
a
x
тоже
бесконечно малая функция при
a
x
.
3)
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи
точки
a
x
является бесконечно малой функцией при
a
x
.
4)
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не
равен нулю, есть величина бесконечно малая.
28
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1.
C
C
a
x
lim
, где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции
x
f
и
x
g
имеют конечные пределы при
a
x
.
Теорема 2.
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
Доказательство.
Представим
x
A
x
f
,
x
B
x
g
, где
)
(
lim
),
(
lim
x
g
B
x
f
A
a
x
a
x
, тогда
x
x
B
A
x
g
x
f
const
B
A
,
x
x
– бесконечно малая при
a
x
, значит
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
x
g
x
f
B
A
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
Теорема доказана.
Теорема 3.
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
Доказательство.
Представим
x
A
x
f
,
x
B
x
g
, где
)
(
lim
),
(
lim
x
g
B
x
f
A
a
x
a
x
, тогда
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
B
x
x
A
B
A
x
g
x
f
const
B
A
,
x
x
– бесконечно малая при
a
x
, значит
)
(
lim
)
(
lim
0
lim
)]
(
)
(
[
lim
x
g
x
f
B
A
B
A
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
Теорема доказана.
Следствие.
)
(
lim
)
(
lim
x
f
C
x
f
C
a
x
a
x
Теорема 4.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
при
0
)
(
lim
x
g
a
x
Теорема 5.
Если
0
x
f
вблизи точки
a
x
и
A
x
f
a
x
)
(
lim
, то
0
A
.
Аналогично определяется знак предела при
0
x
f
,
0
x
f
,
0
x
f
.
Теорема 6.
Если
x
u
x
f
x
g
вблизи точки
a
x
и
A
x
u
x
g
a
x
a
x
)
(
lim
)
(
lim
, то и
A
x
f
a
x
lim
.
Определение.
Функция
x
f
называется
ограниченной
вблизи точки
a
x
, если
существует такое число
0
M
, что
M
x
f
вблизи точки
a
x
.
Теорема 7.
Если функция
x
f
имеет конечный предел при
a
x
, то она ограничена
вблизи точки
a
x
.
Доказательство.
Пусть
A
x
f
a
x
)
(
lim
, т.е.
A
x
f
)
(
, тогда
A
A
x
f
A
A
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
или
A
x
f
)
(
, т.е.
,
)
(
M
x
f
где
A
M
Теорема доказана.
Некоторые замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
1
sin
lim
0
x
x
x
Доказательство. Рассмотрим тригонометрический круг. Имеем
29
tgx
BD
x
BmC
x
AC
,
,
sin
Так как
BD
BmD
AC
то
tgx
x
x
sin
( при
2
0
x
).
Разделим неравенство на
0
sin
x
, тогда
x
x
x
cos
1
sin
1
или
x
x
x
cos
sin
1
Применяя теорему о трёх функциях находим, что
1
sin
lim
0
x
x
x
Второй замечательный предел.
e
x
x
x
1
1
lim
Доказательство. Предположим:
1
n
x
n
1
1
1
1
n
x
n
1
1
1
1
1
1
1
n
x
n
n
x
n
n
x
n
1
1
1
1
1
1
1
1
Найдем
e
x
e
e
n
e
e
n
x
x
n
n
n
n
1
1
lim
;
1
1
1
1
lim
;
1
1
1
lim
1
Число е является основанием натурального логарифма.
.
.
.
,
ln
log
x
e
е
т
y
x
x
y
e
…
Gr aphi cs …
Выше представлен график функции
x
y
ln
.
Связь натурального и десятичного логарифмов.
Пусть
y
x
10
, тогда
y
x
10
ln
ln
, следовательно
10
ln
ln
y
x
у =
x
M
x
x
M
x
x
lg
1
ln
;
ln
10
ln
ln
lg
, где
43429
,
0
10
ln
1
M
- модуль перехода.
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции
представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к
нахождению замечательных пределов.
2
4
6
8
10
- 8
- 6
- 4
- 2
2
30
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на
практике соотношения:
.
1
)
1
(
lim
;
ln
1
lim
;
1
)
1
ln(
lim
0
0
0
m
x
x
a
x
a
x
x
m
x
x
x
x
m
n
при
m
n
при
b
a
m
n
при
x
Q
x
P
m
n
x
,
,
,
0
)
(
)
(
lim
0
0
где
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
x
P
1
1
1
0
,
m
m
m
m
m
b
x
b
x
b
x
b
x
Q
1
1
1
0
- многочлены.
Доказательство последнего предела.
m
n
m
n
m
n
b
a
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
x
b
x
b
b
x
x
a
x
a
a
x
x
Q
x
P
m
m
n
n
m
n
m
m
m
n
n
n
,
0
,
,
...
...
)
....
(
)
...
(
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Определение.
Предел функции
x
f
при
a
x
, где
a
- число,
равен бесконечности
,
если для любого числа
0
M
существует такое число
0
, что неравенство
M
x
f
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
a
x
0
Записывается
)
(
lim
x
f
a
x
.
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие
M
x
f
на
M
x
f
, то получим:
,
)
(
lim
x
f
a
x
а если заменить на
M
x
f
, то:
.
)
(
lim
x
f
a
x
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим
образом:
Определение.
Функция называется
бесконечно большой
при
a
x
, где
a
– число
или одна из величин
, +
или -
, если
A
x
f
a
x
)
(
lim
, где А – число или одна из величин
,
+
или -
.