ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 370
Скачиваний: 1
Òàêèì îáðàçîì, âñå çíà÷åíèÿ
E
:
0
≤
E
≤
U
ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðà-
òîðà H åãî ñïåêòð íåïðåðûâåí.
Ïðè
x <
0
è
E > U ψ
(
x
) =
A
2
sin(
k
1
t
+
ϕ
1
)
, k
1
=
√
E
−
U .
Òàêæå ìîæíî çàïèñàòü
ðåøåíèå â âèäå:
I
II
ψ
(
x
)
Ae
ikx
+
Be
−
ikx
Ce
ik
1
x
+
De
−
ik
1
x
 ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âûÿñíÿåòñÿ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âñåõ ðåøåíèé; ÷àñòèöà ìîæåò ïîä-
ëåòàòü ê áàðüåðó èç ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé áåñêîíå÷íîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå
êîìïîíåíòà
Ae
ikx
ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöå, ïîäëåòàþùåé ê áàðüåðó, êîìïîíåíòà
Be
−
ikx
ֈ-
ñòèöå, óëåòàþùåé â ïîëîæèòåëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü (îòðàæ¼ííîé îò áàðüåðà), à
De
−
ik
1
x
÷àñòèöå, óëåòàþùåé â îòðèöàòåëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü (ïðîøåäøåé ÷åðåç áàðüåð).
Ce
ik
1
x
ñî-
îòâåòñòâóåò ÷àñòèöå, ïîäëåòàþùåé ê áàðüåðó èç îòðèöàòåëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, à ïîòîìó
â äàííîìó ñëó÷àå
C
= 0
. Âåðîÿòíîñòü ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç áàðüåð ðàâíà
D
A
2
,
à âåðîÿò-
íîñòü îòðàæåíèÿ îò áàðüåðà
B
A
2
.
Àíàëîãè÷íî äëÿ ÷àñòèöû, ëåòÿùåé èç îòðèöàòåëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè,
A
= 0
, âåðîÿòíîñòè ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ðàâíû
B
C
2
è
D
C
2
ñîîòâåò-
ñòâåííî.
Ïðèìåð (ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð): â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà
H
(
x, p
) =
p
2
2
m
+
kx
2
2
=
p
2
2
m
+
mω
2
x
2
2
.
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò
âèä
−
~
2
2
m
·
d
2
dx
2
+
1
2
mω
2
x
2
−
E
ψ
= 0
⇔
d
2
dx
2
−
m
2
ω
2
~
2
x
2
+
ε
ψ
= 0
.
Ïóñòü
mω
~
=
λ,
2
mE
~
2
=
ε
;
òîãäà
ψ
00
+ (
ε
−
λ
2
x
2
)
ψ
= 0
.
Äëÿ íà÷àëà íàéä¼ì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå; ïðè
|
x
| → ∞
óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ
ψ
00
−
λ
2
x
2
ψ
= 0
.
Ïóñòü
ψ
=
e
αx
2
, òîãäà
ψ
0
= 2
αxe
αx
2
, ψ
00
= 2
αe
αx
2
+ 4
α
2
x
2
e
αx
2
.
Ïîä-
ñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
(2
α
+ 4
α
2
x
2
−
λ
2
x
2
)
e
αx
2
= 0
⇔
2
α
+ (4
α
2
−
λ
2
)
x
2
= 0
⇒
(ïðåíåáðåãàåì
2
α
)
⇒
(4
α
2
−
λ
2
)
x
2
= 0
.
Ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ïðè
4
α
2
=
λ
2
⇔
α
=
±
λ
2
.
Îíî äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè (èíà÷å
ψ
íå áóäåò èíòåãðèðóåìà íà
R
),
ïîýòîìó
α <
0
⇒
α
=
−
λ
2
.
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé â âèäå
ψ
(
x
)
=
y
(
x
)
·
e
−
λ
2
x
2
;
ψ
0
=
y
0
e
−
λ
2
x
2
−
λxye
−
λ
2
x
2
, ψ
00
=
y
00
e
−
λ
2
x
2
−
λxy
0
e
−
λ
2
x
2
−
λye
−
λ
2
x
2
−
λxy
0
e
−
λ
2
x
2
+
λ
2
x
2
ye
−
λ
2
x
2
=
y
00
e
−
λ
2
x
2
−
2
xy
0
λe
−
λ
2
x
2
+
y
(
λ
2
x
2
−
λ
)
e
−
λ
2
x
2
.
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä
y
00
−
2
λxy
0
+
(
ε
−
λ
)
y
= 0
.
Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà
y
=
+
∞
P
k
=0
c
k
x
k
, y
0
=
+
∞
P
k
=1
kc
k
x
k
−
1
,
y
00
=
∞
P
k
=2
k
(
k
−
1)
c
k
x
k
−
2
.
Òîãäà
+
∞
P
k
=2
k
(
k
−
1)
c
k
x
k
−
2
−
2
λkc
k
x
k
+
c
k
(
ε
−
λ
)
x
k
−
2
λc
1
x
+
+(
c
1
+
c
0
)(
ε
−
λ
) = 0
.
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ
x
, íàõîäèì
(
k
+ 1)(
k
+ 2)
c
k
+2
=
c
k
(2
λk
−
(
ε
−
λ
))
⇒
c
k
+2
=
2
λk
+
λ
−
ε
(
k
+ 1)(
k
+ 2)
·
c
k
.
Ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ òàêîé ðÿä ñõîäèòñÿ ê
e
λx
2
, òî åñòü áåñêîíå÷íî âîçðàñòàåò ñ âîçðàñòàíèåì
x
. Ïîýòîìó âûáåðåì
n
:
c
n
6
= 0
, c
n
+1
=
11
c
n
+2
=
. . .
= 0;
ñîîòâåòñòâåííî,
ε
n
=
λ
(2
n
+ 1)
, E
n
=
~
ω
n
+
1
2
, n
= 0
,
1
, . . .
Îáùåå
ðåøåíèå
ψ
n
(
x
) =
1
2
n
n
!
r
λ
π
·
H
n
(
√
λx
)
·
e
−
λ
2
x
2
,
ãäå
H
n
(
x
) = (
−
1)
n
e
x
2
·
d
n
e
−
x
2
dx
n
ïîëèíîìû Ýðìèòà (ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé).
Îïðåäåëåíèå: îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿíèå ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé.
Äâóõìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð:
H
=
1
2
m
(
p
2
x
+
p
2
y
) +
1
2
mω
2
(
x
2
+
y
2
)
.
Ïåðå-
ìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ïîýòîìó
Ψ(
x, y
)
=
ψ
(
x
)Φ(
y
)
è H
1
ψ
=
~
ω
n
1
+
1
2
ψ,
H
2
Φ =
~
ω
n
2
+
1
2
Φ
.
Òîãäà
E
=
~
ω
(
n
1
+
n
2
+ 1) =
~
ω
(
n
+ 1)
, n
= 0
,
1
, . . .
Äëÿ îñíîâíî-
ãî ñîñòîÿíèÿ îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä
Ψ(
x, y
) =
ψ
0
(
x
)Φ
0
(
y
)
,
äëÿ ïåðâîãî âîçáóæä¼ííîãî
âîçìîæíû äâà ñî÷åòàíèÿ
ψ
è
Φ
:
Ψ(
x, y
) =
ψ
0
(
x
)
ψ
1
(
y
)
ψ
1
(
x
)
ψ
0
(
y
)
,
òî åñòü ïåðâîå âîçáóæä¼ííîå ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ äâàæäû âûðîæäåííûì.  îáùåì ñëó÷àå
êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ
n
-ãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà
n
+ 1
.
Òð¼õìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð: àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó ñëó÷àþ ìîæíî
ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå; òîãäà
E
=
~
ω
n
1
+
n
2
+
n
3
+
3
2
=
~
ω
n
+
3
2
.
2.5. Çàäà÷à îá àòîìå âîäîðîäà.
 ýòîé çàäà÷å ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà òåëà, ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ çàâè-
ñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè (
V
(
r
)
). Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû èìååò âèä
H
(
p
1
,
p
2
,
R
,
r
) =
p
2
1
2
m
1
+
p
2
2
2
m
2
+
V
(
r
)
.
Òîãäà â êîîðäèíàòàõ, ñâÿçàííûõ ñ öåíòðîì ìàññ ñè-
ñòåìû, H
=
ˆ
P
2
2
µ
+
ˆ
p
2
2
µ
+
V
(
r
) =
H
0
+ ˆ
h
, ãäå H
0
îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà
R
(òî åñòü
ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ), à
ˆ
h
îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà
r
(âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé
òåëà). Ïåðåìåííûå â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ðàçäåëÿþòñÿ, ïîýòîìó
H
0
ϕ
=
T ϕ, ϕ
(
R
) =
e
±
i
~
(
PR
)
;
ïîä
T
=
E
t
−
E
â äàííîì ñëó÷àå ïîíèìàåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, âîçíèêàþùàÿ â õîäå
ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:
Ψ(
R
,
r
) =
ϕ
(
R
)
ψ
(
r
);
(
H
0
−
E
t
)
ϕ
ϕ
=
−
ˆ
h
ψ
ψ
=
−
E,
ãäå
E
t
ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ öåíòðà ìàññ
T
è ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö
E
).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íà
ψ
, ïåðåéä¼ì ê ñôåðè÷åñêèì êîîð-
äèíàòàì; íåîáõîäèìî çàïèñàòü â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îïåðàòîð
−
~
2
∇
2
.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû
a
,
b
:
[
a b
]
2
=
a
2
b
2
(1
−
cos
2
α
) =
a
2
b
2
−
(
a b
)
2
⇒
a
2
b
2
= [
a b
]
2
+ (
a b
)
2
,
12
ïîýòîìó
p
2
=
1
r
2
·
(
r p
)
2
+
1
r
2
[
r p
]
2
.
Ïåðåõîäÿ ê îïåðàòîðàì, ïîëó÷èì
ˆ
p
2
= ˆ
p
2
r
+
1
r
2
ˆ
l
2
,
ãäå ÷åðåç
ˆ
p
r
îáîçíà÷åíà ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïåðàòîðà èìïóëüñà (î÷åâèäíî, âòîðàÿ ñîñòàâëÿ-
þùàÿ ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé, ïîñêîëüêó îïåðàòîð
ˆ
l
2
äåéñòâóåò òîëüêî íà óãëîâûå ïåðåìåííûå
ϕ, θ
(ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå). Îïåðàòîð
ˆ
l
2
ýðìèòîâ, ïîýòîìó
ˆ
p
2
r
òàêæå äîëæåí áûòü
ýðìèòîâûì; ïî ýòîé ïðè÷èíå âûáèðàåì
ˆ
p
r
â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå
ˆ
p
r
=
1
2
ˆ
p
ˆ
r
r
+
ˆ
r
r
ˆ
p
.
∀
f
=
f
(
r
)
ˆ
r
r
ˆ
p
f
=
−
i
~
x
r
df
dr
∂ r
∂ x
+
y
r
df
dr
∂ r
∂ y
+
z
r
df
dr
∂ r
∂ z
=
−
i
~
df
dr
⇒
⇒
ˆ
r
r
ˆ
p
=
−
i
~
∂
∂ r
,
ïîñêîëüêó ìû àïðèîðíî ïîëàãàåì, ÷òî
ˆ
p
r
äåéñòâóåò òîëüêî íà ôóíêöèè
r
. Àíàëîãè÷íî
ˆ
p
ˆ
r
r
=
−
i
~
∂
∂ x
f x
r
+
∂
∂ y
f y
r
+
∂
∂ z
f z
r
=
−
i
~
r
2
xr
∂ f
∂ x
+
f r
−
f x
∂ r
∂ x
+
yr
∂ f
∂ y
+
f r
−
−
f y
∂ r
∂ y
+
zr
∂ f
∂ z
+
f r
−
f z
∂ r
∂ z
=
−
i
~
df
dr
−
2
i
~
r
f
⇒
ˆ
p
ˆ
r
r
=
−
i
~
∂
∂ r
+
2
r
.
Òàêèì îáðàçîì,
ˆ
p
r
=
−
i
~
∂
∂ r
+
1
r
,
ˆ
p
2
r
=
−
~
2
∂
2
∂ r
2
+
1
r
∂
∂ r
+
∂
∂ r
1
r
+
1
r
2
=
=
−
~
2
∂
2
∂ r
2
+
2
r
∂
∂ r
⇒
ˆ
h =
ˆ
p
2
r
2
µ
+
ˆ
l
2
2
µr
2
+
V
(
r
)
.
ˆ
l
z
=
x
ˆ
p
y
−
y
ˆ
p
x
;
∀
f
=
f
(
r
) ˆ
l
z
f
=
−
i
~
x
∂ f
∂ y
−
y
∂ f
∂ x
=
−
i
~
r
(
xy
−
yx
)
·
df
dr
= 0
, àíàëîãè÷íî
ˆ
l
x
f
= ˆ
l
y
f
= 0
, òî åñòü îïåðàòîð
ˆ
l
2
= ˆ
l
2
x
+ ˆ
l
2
y
+ ˆ
l
2
z
äåéñòâóåò òîëüêî íà óãëîâûå ïåðåìåííûå
ϕ, θ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà
ˆ
h
ψ
=
Eψ
⇔
(
r
2
ˆ
p
2
r
+ 2
µr
2
(
V
−
E
) + ˆ
l
2
)
ψ
= 0;
ïåðåìåííûå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû:
ψ
(
r,
Ω) =
f
(
r
)
·
Y
(Ω)
, ãäå
Ω = (
ϕ, θ
)
.
Òîãäà
−
1
f
r
2
ˆ
p
2
r
+ 2
µr
2
(
V
−
E
)
f
=
ˆ
l
2
Y
Y
=
λ.
Ñíà÷àëà ðåøèì óðàâíåíèå íà óãëîâûå ïåðåìåííûå
ˆ
l
2
Y
=
λY
ýòî çàäà÷à íà ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
ˆ
l
2
, ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ
λ
=
l
(
l
+ 1)
~
2
,
ãäå
l
= 0
,
1
, . . .
îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî (ñì. 4.2). Òàêèì
λ
ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
Y
lm
(
ϕ, θ
) =
N
lm
e
imϕ
·
Θ
lm
(
θ
)
,
ãäå
Θ
lm
≡
P
m
l
(cos
θ
)
ïðèñîåäèí¼ííûé ïîëèíîì Ëåæàíä-
ðà, à
m
òàê íàçûâàåìîå ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.
[ˆ
l
z
,
ˆ
l
2
] = [ˆ
l
z
,
ˆ
l
2
x
] + [ˆ
l
z
,
ˆ
l
2
y
] + [ˆ
l
z
,
ˆ
l
2
z
] =
[ˆ
l
z
,
ˆ
l
x
]ˆ
l
x
+ ˆ
l
x
[ˆ
l
z
,
ˆ
l
x
] + [ˆ
l
z
,
ˆ
l
y
]ˆ
l
y
+ ˆ
l
y
[ˆ
l
z
,
ˆ
l
y
] =
−
i
~
(ˆ
l
y
ˆ
l
x
+ ˆ
l
x
ˆ
l
y
−
ˆ
l
x
ˆ
l
y
−
ˆ
l
y
ˆ
l
x
) = 0
îïåðàòîðû
ˆ
l
z
è
ˆ
l
2
êîììóòèðóþò, à ïîòîìó (òåîðåìà î êîììóòóðèóþùèõ îïåðàòîðàõ ñì. 1) èìåþò îáùèé
íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì,
ˆ
l
z
Y
lm
=
m
~
Y
lm
;
m
~
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ˆ
l
z
(ñì. 2.2). Íà çíà÷åíèÿ
m
íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå
m
= 0
,
±
1
, . . .
±
l
(ñì. 4.2).
Òåïåðü ðåøèì óðàâíåíèå íà
r
:
−
(
r
2
ˆ
p
2
r
+ 2
µr
2
(
V
−
E
))
f
=
λf
⇔
ˆ
p
2
r
2
µ
+
V
−
E
f
=
−
l
(
l
+ 1)
~
2
2
µr
2
f.
13
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà
V
(
r
) =
−
e
2
r
. Òîãäà
−
~
2
2
µ
d
2
dr
2
+
2
r
d
dr
+
l
(
l
+ 1)
~
2
2
µr
2
−
e
2
r
−
E
f
= 0
.
Ïåðåõîäÿ ê ôóíêöèè
y
(
r
) =
rf
(
r
)
, ïîëó÷èì
−
~
2
2
µ
·
d
2
dr
2
+
l
(
l
+ 1)
~
2
2
µr
2
−
e
2
r
−
E
y
= 0
⇔
y
00
+
2
µ
~
2
E
+
2
e
2
µ
~
2
1
r
−
l
(
l
+ 1)
r
2
y
= 0
.
Ïåðåéä¼ì ê àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö, òî åñòü ïîëîæèì
µ
= 1
, e
= 1
,
~
= 1
, è ïîëó÷èì
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
y
00
+
2
E
+
2
r
−
l
(
l
+ 1)
r
2
y
= 0
(íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ìàññà ïðîòîíà
m
p
m
e
,
ïîýòîìó
µ
=
m
e
m
p
m
e
+
m
p
≈
m
e
= 1
â
àòîìíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).
Äëÿ íà÷àëà íàéä¼ì àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ; ïðè
r
→
0 +
y
00
−
l
(
l
+ 1)
r
2
y
= 0
.
Ïîäñòà-
âèì
y
=
r
s
, òîãäà
s
(
s
−
1)
r
s
−
2
−
l
(
l
+ 1)
r
s
−
2
= 0
⇒
s
=
l
+ 1
,
−
l
;
ïîäõîäèò òîëüêî çíà÷åíèå
s
=
l
+ 1
, ïîñêîëüêó èíà÷å
y
∼
1
r
l
→
+
∞
, r
→
0 +
.
Ïðè
r
→
+
∞
y
00
+ 2
Ey
= 0
.
Ïîäñòàâèâ
y
=
e
αr
, ïîëó÷èì
(
α
2
+ 2
E
)
e
αr
= 0
⇒
α
=
±
√
−
2
E
(
E
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæå-
íèÿ, ïîýòîìó
−
E >
0
). Òàêèì îáðàçîì,
y
∼
e
−
√
−
2
Er
, r
→
+
∞
.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî
çäåñü ìû íàëîæèëè íà ôóíêöèþ
y
äâà óñëîâèÿ
y
(0+) = 0
, y
→
0
, r
→
+
∞
.
 ïðèíöèïå,
âòîðîå óñëîâèå íå âñåãäà èìååò ñìûñë, ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåò, ÷òî òðàåêòîðèè ÷àñòèö
îãðàíè÷åííû: ýòî ñîîòâåòñòâóåò âðàùåíèþ ýëåêòðîíà âîêðóã ÿäðà. Îäíàêî âîçìîæåí è
äðóãîé ñëó÷àé ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ÿäðå, êîòîðûé çäåñü ðàññìîòðåí íå áóäåò.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîõðàíèòü àñèìïòîòèêó
y
, íåîáõîäèìî ëèáî äîìíîæèòü å¼ íà îãðà-
íè÷åííóþ ôóíêöèþ, ëèáî íà ïîëèíîì ñòåïåíè
u
. Ïóñòü
y
=
r
l
+1
·
u
P
k
=0
a
k
r
k
·
e
αr
=
v
(
r
)
e
αr
.
y
0
= (
v
0
+
αv
)
e
αr
, y
00
= (
v
00
+ 2
αv
0
+
α
2
v
)
e
αr
;
óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä
v
00
+ 2
αv
0
+
α
2
+ 2
E
+
2
r
−
l
(
l
+ 1)
r
2
v
= 0
⇔
v
00
−
2
√
−
2
Ev
0
+
2
r
−
l
(
l
+ 1)
r
2
v
= 0
.
v
=
u
X
k
=0
a
k
r
k
+
l
+1
⇒
u
X
k
=0
a
k
((
k
+
l
+ 1)(
k
+
l
)
−
l
(
l
+ 1))
r
k
+
l
−
1
+
a
k
(2
α
(
k
+
l
−
1) + 2)
r
k
+
l
=
= 0
⇒
a
k
+1
((
k
+
l
+ 1)(
k
+
l
+ 2)
−
l
(
l
+ 1)) = 2
a
k
(1 +
α
(
k
+
l
+ 1))
.
Ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì (èíà÷å íàðóøàåòñÿ àñèìïòîòèêà
y
ïðè
r
→
+
∞
), ïîýòîìó
∃
k
:
α
(
k
+
l
+ 1) + 1 = 0
⇒
α
=
−
1
n
r
+
l
+ 1
, E
=
−
1
2(
n
r
+
l
+ 1)
2
,
ãäå
n
r
ðàäèàëüíîå
êâàíòîâîå ÷èñëî. Ïóñòü
n
=
n
r
+
l
+1
ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî(
n
∈
N
), òîãäà
E
n
=
−
1
2
n
2
â
àòîìíîé ñèñòåìå åäèèíö. Ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â äðóãèõ ñèñòåìàõ åäèíèö,
íàéä¼ì
E
n
=
−
µe
4
~
2
1
2
n
2
.
Òàêèì îáðàçîì, òðè êâàíòîâûõ ÷èñëà (
n, l, m
) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå ýëåê-
òðîíà, äâèæóùåãîñÿ âîêðóã ÿäðà è ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà (òî åñòü áåç
14
ó÷¼òà ñîáñòâåííîãî ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ñïèíà). Ñîñòîÿíèå çàäà¼òñÿ âîëíîâîé ôóíê-
öèåé
ψ
nlm
=
f
nl
·
Y
lm
=
r
l
n
−
l
−
1
X
k
=0
a
k
r
k
·
e
−
r
n
Y
lm
.
Ñîñòîÿíèÿ ñ
l
= 0
â ñïåêòðîñêîïèè îáîçíà÷àþòñÿ áóêâîé
s
, ñ
l
= 1
áóêâîé
p
, ñ
l
= 2
áóêâîé
d
, è òàê äàëåå. Î÷åâèäíî, äëÿ
n
= 1
l
= 0
, òî åñòü òàêîå ñîñòîÿíèå íåâûðîæäåíî.
Äëÿ
n
= 2
l
= 0; 1
, òî åñòü âîçìîæíû òðè çíà÷åíèÿ
m
=
−
1; 0; 1
âñåãî ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè
m
ïðè âñåõ
l
, äîïóñòèìûõ äëÿ äàííîãî
n
; ïðè ôèêñèðîâàííîì
l
âîçìîæíû
2
l
+ 1
çíà÷åíèé
m
, òî åñòü
êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì
n
ðàâíà
n
−
1
P
l
=0
(2
l
+ 1) =
n
2
.
2.6. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå.
 îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
ψ
ïðèíèìàåò êàê äåéñòâèòåëüíûå, òàê è êîìïëåêñíûå çíà-
÷åíèÿ, ïîýòîìó å¼ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ψ
=
Ae
i
~
S
,
ãäå
A, S
äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå
ôóíêöèè. Äîìíîæèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íà
e
i
~
S
:
i
~
∂ A
∂ t
−
A
∂ S
∂ t
e
i
~
S
=
V Ae
i
~
S
−
~
2
2
m
∆
Ae
i
~
S
,
ïîñêîëüêó H
=
−
~
2
2
m
∆ +
V.
∆
Ae
i
~
S
=
∇
∇
Ae
i
~
S
=
=
∇
∇
A
+
i
~
A
· ∇
S
·
e
i
~
S
=
∆
A
+ 2
i
~
∇
A
· ∇
S
+
i
~
A
∆
S
−
1
~
2
A
(
∇
S
)
2
e
i
~
S
⇒
⇒
i
~
∂ A
∂ t
−
A
∂ S
∂ t
=
V A
−
~
2
2
m
∆
A
+
2
i
~
∇
A
· ∇
S
+
i
~
A
·
∆
S
−
1
~
2
A
(
∇
S
)
2
.
Ïðèðàâíèâàÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè è äåëÿ íà
A
, ïîëó÷èì
−
∂ S
∂ t
=
V
+
1
2
m
(
∇
S
)
2
−
~
2
2
m
·
∆
A
A
.
Êâàíòîâûå ÿâëåíèÿ íàáëþäàþòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåëè÷èíà äåéñòâèÿ ñðàâíèìà ñ
~
, òî
åñòü äëÿ ïåðåõîäà ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê ôîðìàëüíîìó ïðåäåëó
ïðè
~
→
0
. Ïðè ýòîì
−
∂ S
∂ t
=
V
+
1
2
m
·
(
∇
S
)
2
óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (
∇
S
=
p
).
Ïðèðàâíÿåì ìíèìûå ÷àñòè:
∂ A
∂ t
+
1
m
(
∇
A
)(
∇
S
) +
1
2
m
A
∆
S
= 0
.
Çàìåòèì, ÷òî
2
A
∂ A
∂ t
=
∂ A
2
∂ t
=
∂
∂ t
(
ψ
∗
ψ
) =
∂ ρ
∂ t
,
à
2
A
∂ A
∂ t
=
−
2
m
(
∇
A
)(
∇
S
)
A
−
1
m
A
2
∆
S
=
−
1
m
∇
(
A
2
∇
S
)
,
ïîñêîëüêó
∇
(
A
2
∇
S
) = 2
A
(
∇
A
)(
∇
S
) +
A
2
∆
S.
Òàêèì îáðàçîì,
∂ ρ
∂ t
=
∇
−
A
2
∇
S
m
.
15