ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 366
Скачиваний: 1
(V ñ÷èòàåì ìóëüòèïëèêàòèâíûì, ïîýòîìó H
0
Ψ =
P
n
Φ
n
(
R
)
ε
n
ϕ
n
(
R
,
r
))
.
Äîìíîæèì ñêàëÿð-
íî ðàâåíñòâî íà
ϕ
m
ñëåâà; òîãäà, ïîñêîëüêó
(
ϕ
m
, ϕ
n
) =
δ
nm
,
íàéä¼ì
(
T
R
+
ε
m
(
R
)
−
E
)Φ
m
(
R
) =
X
n
ϕ
m
,
X
i
~
2
2
m
i
∂ ϕ
n
∂ R
i
∂
Φ
n
∂ R
i
−
Φ
n
T
R
ϕ
n
!
=
X
n
L
mn
Φ
n
,
ãäå îïåðàòîð L
mn
=
~
2
2
M
X
i
Z
ϕ
∗
m
(
R, r
)
∂ ϕ
n
(
R, r
)
∂ R
i
dr
·
∂
∂ R
i
−
Z
ϕ
∗
m
(
R, r
)
T
R
ϕ
n
(
R, r
)
dr.
Ïîëàãàÿ âëèÿíèå L
mn
ìàëûì, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
(
T
R
+
ε
m
(
R
))Φ
m
(
R
) =
E
0
m
Φ
m
(
R
)
íà êîîðäèíàòû ÿäåð. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âñåé ñèñòåìû çàïèøåòñÿ êàê
Ψ
m
= Φ
m
(
R
)
ϕ
m
(
R, r
)
,
òî åñòü äëÿ å¼ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìî íåçàâèñèìî ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà
Φ
è
ϕ,
ïðè÷¼ì
óðàâíåíèå íà
Φ
ñîäåðæèò âñåãî îäèí îïåðàòîð T
R
, òî åñòü âëèÿíèå ýëåêòðîíîâ íà ñîñòîÿíèå
ÿäåð íå ó÷èòûâàåòñÿ (÷òî âïîëíå åñòåñòâåííî èç-çà çíà÷èòåëüíîé ðàçíèöû â ìàññå).  êâàí-
òîâîé õèìèè äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è âñåãäà èñïîëüçóåòñÿ àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå,
ïðè÷¼ì ñîñòîÿíèå ÿäåð ïîëàãàåòñÿ êëàññè÷åñêèì è èññëåäóåòñÿ ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêè. Àíàëîãè÷íî îáùåìó ðåçóëüòàòó òåîðèè âîçìóùåíèé êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè
àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå
(Φ
m
,
L
mn
Φ
n
)
|
E
0
m
−
E
0
n
|
.
26
4. Ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçì Äèðàêà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîé
ìåõàíèêè.
4.1. Îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü â 2.7, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïðåäñòàâëåíèé
âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, èç-çà ÷åãî ïðèâåä¼ííûå âûøå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ êâàíòîâîé ìå-
õàíèêè îêàçûâàþòñÿ íåóíèâåðñàëüíûìè îíè çàïèñàíû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,
à ïåðåõîä ê äðóãèì ïðåäñòàâëåíèÿì çà÷àñòóþ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñëîæíûìè âû÷èñëåíèÿìè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ýòîé òðóäíîñòè, Äèðàêîì áûë ñîçäàí îáùèé ôîðìàëèçì êâàí-
òîâîé ìåõàíèêè èëè ôîðìàëèçì êåò-, áðà-âåêòîðîâ.
Îïðåäåëåíèå: êåò-âåêòîðîì (
|
u
i
) íàçûâàåòñÿ âñÿêèé âåêòîð, õàðàêòåðèçóþùèé ñî-
ñòîÿíèå ñèñòåìû íåçàâèñèìî îò âûáðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.
Ïîñòóëàò: ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâ ëèíåéíî, òî åñòü âñå âåêòîðû
n
P
i
=1
C
i
|
u
i
i
ξ
2
R
ξ
1
C
(
ξ
)
|
ξ
i
ξ
!
ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè ñîñòîÿíèÿ. Ñîñòîÿíèÿ
|
u
i
è
C
|
u
i
ñîâïàäàþò.
Ïîñòóëàò: âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êåò-âåêòîðîâ ñõîäèòñÿ ê êåò-âåêòîðó (ñâîéñòâî
ïîëíîòû), à äëÿ âñÿêîãî êåò-âåêòîðà ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ê íåìó ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü êåò-âåêòîðîâ (ñâîéñòâî ñåïàðàáåëüíîñòè). Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâ
ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.
Îïðåäåëåíèå: áðà-âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûé ê äàííîìó
êåò-âåêòîðó (
h
u
|
= (
|
u
i
)
+
). Òàêîå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò çàïèñûâàòü ñêàëÿðíûå ïðîèçâå-
äåíèÿ â âèäå
h
u
|
v
i
(brackets) è îïðåäåëèòü äëèíó êåò-âåêòîðà êàê
p
h
u
|
u
i
.
Ïîñòóëàò: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì
|
u
i
,
â ïðîèçâîëüíîì
g
-ïðåäñòàâëåíèè ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê
ψ
u
(
g
) =
h
g
|
u
i
,
ãäå
h
g
|
âåê-
òîð, ñîäåðæàùèé ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå
g
-ïðåäñòàâëåíèþ. Íàáîð ïåðåìåííûõ
u
íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñîñòîÿíèÿ, à íàáîð ïåðåìåííûõ
g
èíäåêñîì ïðåäñòàâëåíèÿ.
 ïðîñòðàíñòâå êåò-âåêòîðîâ íåñëîæíî ââåñòè ëèíåéíûå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íà
êåò-âåêòîðû ñëåâà; î÷åâèäíî, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ êåò-âåêòîð. Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì
ëèíåéíîé àëãåáðû òå æå ñàìûå îïåðàòîðû ìîãóò äåéñòâîâàòü íà áðà-âåêòîðû ñïðàâà, çà-
äàâàÿ íîâûé áðà-âåêòîð.
Îïðåäåëåíèå: îïåðàòîð P
=
|
n
i h
n
|
íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèîííûì îïåðàòîðîì (ïðîåê-
òîðîì) íà íàïðàâëåíèå
|
n
i
. Ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü ìàòðè÷íûå
ïðåäñòàâëåíèÿ êåò- è áðà-âåêòîðîâ, à òàêæå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Ïóñòü
|
n
i
ñîáñòâåí-
íûå âåêòîðû îïåðàòîðà A, îáðàçóþùèå áàçèñ: A
|
n
i
=
a
n
|
n
i
,
h
n
1
|
n
2
i
=
δ
n
1
n
2
.
Îïåðàòîð
P
A
=
P
n
|
n
i h
n
|
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ïðîåêòîðîì.
P
A
|
n
2
i
=
X
n
1
|
n
1
i h
n
1
|
n
2
i
=
X
n
1
δ
n
1
n
2
|
n
2
i
=
|
n
2
i
îïåðàòîð P
A
íå èçìåíÿåò áàçèñíûå âåêòîðû, à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì.
∀ |
u
i
P
A
|
u
i
=
P
n
|
n
i h
n
|
u
i
=
P
n
u
n
|
n
i
ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå; êîýôôèöèåíòû Ôóðüå
u
n
çàäàþò ïðåäñòàâëåíèå
|
u
i
â âèäå ñòîëáöà:
|
u
i
= (
h
n
|
u
i
)
n
. Àíàëîãè÷íî
∀ h
v
| h
v
|
P
A
=
P
n
h
v
|
n
i h
n
|
=
P
n
v
n
h
n
|
êîýôôèöèåíòû
v
n
çàäàþò ïðåäñòàâëåíèå
h
v
|
â âèäå ñòðîêè
(
h
n
|
v
i
∗
)
n
.
Î÷åâèäíî,
h
v
|
u
i
=
X
m
h
v
|
m
i h
m
|
X
n
|
n
i h
n
|
u
i
=
X
m,n
h
v
|
m
i
δ
mn
h
n
|
u
i
=
X
n
h
n
|
v
i
∗
h
n
|
u
i
,
27
òî åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ñòðîêè íà ñòîëáåö. Äëÿ ïðîèç-
âîëüíîãî îïåðàòîðà B
B
=
P
A
B P
A
=
X
m
|
m
i h
m
|
B
X
n
|
n
i h
n
|
=
X
m,n
B
mn
|
m
i h
n
|
,
ãäå
B
mn
=
h
m
|
B
|
n
i
,
à ìàòðèöà
B
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà B â áàçèñå âåêòîðîâ
|
n
i
.
Îïðåäåëåíèå: ïóñòü âåêòîðû
|
u
(1)
i
ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó
E
1
(dim
E
1
=
N
1
)
,
à
âåêòîðû
|
u
(2)
i
ïðîñòðàíñòâó
E
2
(dim
E
2
=
N
2
)
. E
1
T
E
2
= 0;
òîãäà âåêòîðû
|
u
(1)
u
(2)
i
,
óñëîâíî ïðåäñòàâëÿåìûå â âèäå
|
u
(1)
i |
u
(2)
i
,
ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó
E
1
⊗
E
2
, íàçû-
âàåìîìó òåíçîðíûì (êðîíåêåðîâñêèì) ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ
E
1
è
E
2
.
Î÷åâèäíî,
dim(
E
1
⊗
E
2
) =
N
1
N
2
,
à, åñëè îïåðàòîðû A
(1)
è A
(2)
äåéñòâóþò â ïðîñòðàíñòâàõ
E
1
è
E
2
ñîîòâåòñòâåííî, òî
[
A
(1)
,
A
(2)
] = 0
.
4.2. Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü òåîðèþ, èíâàðèàíòíóþ ïî îòíîøåíèþ ê âûáîðó ïðåäñòàâëå-
íèÿ, íå áóäåì àïåëëèðîâàòü ê êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ,
à âîñïîëüçóåìñÿ ëèøü ïðåäâàðèòåëüíî âûâåäåííûìè êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè.
Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ: ïóñòü J
x
,
J
y
,
J
z
êîìïîíåíòû îïåðàòîðà óãëîâîãî
ìîìåíòà J
.
 êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè J
x
= ˆ
y
ˆ
p
z
−
ˆ
z
ˆ
p
y
,
J
y
= ˆ
z
ˆ
p
x
−
ˆ
x
ˆ
p
z
,
J
z
= ˆ
x
ˆ
p
y
−
ˆ
y
ˆ
p
x
.
[
J
x
,
J
y
] = [ˆ
y
ˆ
p
z
,
ˆ
z
ˆ
p
x
]
−
[ˆ
y
ˆ
p
z
,
ˆ
x
ˆ
p
z
]
−
[ˆ
z
ˆ
p
y
,
ˆ
z
ˆ
p
x
] + [ˆ
z
ˆ
p
y
,
ˆ
x
ˆ
p
z
] = ˆ
x
ˆ
p
y
[ˆ
z,
ˆ
p
z
] + ˆ
y
ˆ
p
x
[ˆ
p
y
,
ˆ
y
] =
i
~
J
z
(ñì.
îñíîâíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ â 2.1); àíàëîãè÷íî
[
J
y
,
J
z
] =
i
~
J
x
,
[
J
z
,
J
x
] =
i
~
J
y
.
J
2
=
J
2
x
+
J
2
y
+
J
2
z
⇒
[
J
α
,
J
2
] = 0
, α
=
x, y, z
;
â ÷àñòíîñòè,
[
J
z
,
J
2
] = 0
⇒
J
2
J
z
=
J
z
J
2
.
Îïåðàòîðû J
z
è J
2
êîììóòèðóþò, ïîýòîìó (ñì. 1, òåîðåìà î êîììóòèðóþùèõ îïåðà-
òîðàõ) îíè èìåþò îáùèé îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ
|
λ, κ
i
, ãäå
λ
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ J
2
(J
2
|
λ, κ
i
=
λ
|
λ, κ
i
), à
κ
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ J
z
(J
z
|
λ, κ
i
=
κ
|
λ, κ
i
)
. Çàìåòèì, ÷òî
h
λ, κ
|
J
2
|
λ, κ
i
=
λ
=
X
α
h
λ
|
J
2
α
|
λ, κ
i
=
X
α
h
λ, κ
|
J
+
α
J
α
|
λ, κ
i
=
J
α
|
λ, κ
i
2
≥
0;
J
2
z
|
λ, κ
i
=
κ
2
|
λ, κ
i ⇒
κ
2
=
h
λ, κ
|
J
2
z
|
λ, κ
i
=
h
λ, κ
|
J
2
|
λ, κ
i − h
λ, κ
|
J
2
x
+
J
2
y
|
λ, κ
i
=
λ
−
h
λ, κ
|
J
2
x
+
J
2
y
|
λ, κ
i ⇒
κ
2
≤
λ,
ïîñêîëüêó
h
λ, κ
|
J
2
x
+
J
2
y
|
λ, κ
i
=
h
λ, κ
|
J
+
x
J
x
|
λ, κ
i
+
h
λ, κ
|
J
+
y
J
y
|
λ, κ
i ≥
0
.
Ââåä¼ì îïåðàòîðû J
+
è J
−
: J
±
=
J
x
±
i
J
y
,
íàçûâàåìûå îïåðàòîðàìè ïîâûøåíèÿ è ïî-
íèæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.
[
J
z
,
J
+
] = [
J
z
,
J
x
+
i
J
y
] =
i
~
J
y
+
~
J
x
=
~
J
+
⇒
J
z
J
+
= [
J
z
,
J
+
] +
J
+
J
z
=
~
J
+
+
J
+
J
z
;
J
z
J
+
|
λ, κ
i
=
~
J
+
|
λ, κ
i
+
J
+
J
z
|
λ, κ
i
= (
~
+
κ
)
J
+
|
λ, κ
i
.
Òàêèì îáðà-
çîì, J
+
|
λ, κ
i
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì J
z
, ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷å-
íèþ
κ
+
~
,
òî åñòü J
+
|
λ, κ
i
=
C
+
|
λ, κ
+
~
i
îïåðàòîð J
+
ïîâûøàåò íà åäèíèöó
~
çíà÷åíèå
κ
âåêòîðû. Àíàëîãè÷íî J
−
|
λ, κ
i
=
C
−
|
λ, κ
−
~
i
.
Îäíàêî
κ
2
≤
λ,
òî åñòü
∃
κ
min
, κ
max
:
κ
2
min
≤
λ, κ
2
max
≤
λ,
(
κ
min
−
~
)
2
> λ,
(
κ
max
+
~
)
2
> λ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî J
+
|
λ, κ
max
i
=
|
0
i
,
J
−
|
λ, κ
min
i
=
|
0
i
(
|
0
i
íóëåâîé âåêòîð
ïðîñòðàíñòâà êåò-âåêòîðîâ, òî åñòü íåðåàëèçóåìîå ñîñòîÿíèå). Çàìåòèì, ÷òî J
2
x
+
J
2
y
=
1
2
(
J
+
J
−
+
J
−
J
+
)
,
ïîýòîìó J
2
=
1
2
(
J
+
J
−
+
J
−
J
+
) +
J
2
z
⇒
J
−
J
+
= 2
J
2
−
2
J
2
z
−
J
+
J
−
;
êðî-
ìå ýòîãî,
[
J
+
,
J
−
] = 2
~
J
z
,
òî åñòü J
−
J
+
=
J
2
−
J
2
z
−
~
J
z
.
J
−
J
+
|
λ, κ
max
i
=
J
−
|
0
i
=
|
0
i
=
(
J
2
−
J
2
z
−
~
J
z
)
|
λ, κ
max
i
= (
λ
−
κ
2
max
−
~
κ
max
)
|
λ, κ
max
i ⇒
λ
=
κ
2
max
+
~
κ
max
.
Àíàëîãè÷íî
28
J
+
J
−
= 2
J
2
−
2
J
2
z
−
J
−
J
+
=
J
2
−
J
2
z
+
J
z
;
J
+
J
−
|
λ, κ
min
i
=
|
0
i
= (
λ
−
κ
2
min
+
~
κ
min
)
|
λ, κ
min
i ⇒
λ
=
κ
2
min
−
~
κ
min
=
κ
2
max
+
~
κ
max
.
Îäíàêî, êàê èçâåñòíî èç 2.2, ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà
J
z
ðàâíû
m
~
, m
∈
Z
,
ïîýòîìó
κ
max
−
κ
min
=
N
~
, N
∈
N
.
Òàêèì îáðàçîì,
κ
max
=
κ
min
+
N
~
è
κ
2
min
+ 2
N
~
κ
min
+
N
2
~
2
+
~
(
κ
min
+
N
~
) =
κ
2
min
−
~
κ
min
⇒
(2
N
+ 2)
~
κ
min
=
−
(
N
2
+
N
)
~
2
⇒
⇒
κ
min
=
−
N
~
2
, κ
max
=
N
~
2
, λ
=
N
~
2
N
~
2
+
~
.
Îïðåäåëèì òàêæå êîýôôèöèåíòû
C
±
: J
+
|
λ, κ
i
=
C
+
|
λ, κ
+
~
i ⇒ h
λ, κ
|
J
+
+
J
+
|
λ, κ
i
=
|
C
+
|
2
h
λ, κ
+
~
|
λ, κ
+
~
i
=
|
C
+
|
2
.
Íî J
+
+
=
J
x
−
i
J
y
=
J
−
,
ïîýòîìó J
+
+
J
+
=
J
−
J
+
=
J
2
−
J
2
z
−
~
J
z
;
çíà÷èò,
|
C
+
|
2
=
h
λ, κ
|
(
λ
−
κ
2
−
~
κ
)
|
λ, κ
i
=
λ
−
κ
2
−
~
κ
=
N
2
N
2
+ 1
~
2
−
κ
(
κ
+
~
)
.
Àíàëîãè÷íî
|
C
−
|
2
=
N
2
N
2
+ 1
−
κ
(
κ
−
~
)
.
4.3. Ñïèí.
Çàìåòèì, ÷òî ïî ðåçóëüòàòàì 2.2 ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ J
z
öåëûå ÷èñëà â åäèíèöàõ
~
;
îäíàêî â 4.2 áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî
κ
èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ
−
N
~
2
÷
N
~
2
, ïðè÷¼ì
N
íå îáÿ-
çàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì. Èòàê, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå âîçìîæíû ñîñòîÿíèÿ, â ïðèíöèïå
íå îáúÿñíèìûå ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäàíèå ýòîãî ôàêòà áûëî ïîëó÷åíî â õîäå îïûòîâ Øòåðíà-
Ãåðëàõà; ïó÷îê àòîìîâ âîäîðîäà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ íàïðÿæ¼ííîñòüþ
H
ðàñ-
ùåïëÿåòñÿ ïî ýíåðãèè, ïðè÷¼ì âåëè÷èíà ðàñùåïëåíèÿ ñîñòàâëÿåò
2
µ
B
, õîòÿ ìåõàíè÷åñêèé
ìîìåíò
l
äëÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ðàâåí íóëþ, à ïîòîìó è ìàãíèòíûé ìîìåíò
−
→
µ
=
e
2
mc
l
= 0
.
Ðàñ÷¼òû (ïðèâåä¼ííûå íåñêîëüêî íèæå) ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêîìó ðàñùåï-
ëåíèþ ñîîòâåòñòâóåò íàëè÷èå ó ýëåêòðîíà ñîáñòâåííîãî ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà
l
=
1
2
âïåðâûå ïîäîáíàÿ ãèïîòåçà áûëà âûñêàçàíà Óëåíáåêîì è Ãàóäñìèòîì. Ñîáñòâåííûé ìåõà-
íè÷åñêèé ìîìåíò ÷àñòèöû íàçûâàåòñÿ ñïèíîì è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ðåçóëüòàòîì âðàùåíèÿ
÷àñòèöû âîêðóã ñâîåé îñè. Íåîáõîäèìî, îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè
íèêàêîãî âðàùåíèÿ íå ïðîèñõîäèò, à ñïèí ÿâëÿåòñÿ îñîáûì, ÷èñòî êâàíòîâûì ñâîéñòâîì
÷àñòèöû.
Èòàê,
N
= 1
, λ
=
3
4
~
2
, κ
=
±
~
2
; âûáèðàÿ âåêòîðû
3
4
,
1
2
→
1
0
è
3
4
,
−
1
2
→
0
1
â êà÷åñòâå áàçèñíûõ, çàïèøåì ìàòðèöû îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ (äëÿ ñïèíà îíè îáîçíà÷àþòñÿ
áóêâàìè S):
S
2
=
3
4
~
2
1 0
0 1
,
S
z
=
~
2
1
0
0
−
1
.
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå â 4.2 âûðàæåíèÿ äëÿ
C
+
è
C
−
, íàéä¼ì
S
+
=
~
0 1
0 0
,
S
−
=
~
0 0
1 0
.
Îòñþäà
S
x
=
1
2
(
S
+
+
S
−
) =
~
0
1
2
1
2
0
,
S
y
=
−
i
2
(
S
+
−
S
−
) =
i
~
0
−
1
2
1
2
0
.
29
Ìàòðèöû
σ
x
, σ
y
, σ
z
:
S
α
=
~
2
σ
α
(
α
=
x, y, z
)
íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè Ïàóëè:
σ
x
=
0 1
1 0
, σ
y
=
0
−
i
i
0
, σ
z
=
1
0
0
−
1
.
Îïðåäåëåíèå: ñïèíîâûì êâàíòîâûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ñïèíà (òî åñòü ñîá-
ñòâåííîãî ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà) ÷àñòèöû, äëÿ ýëåêòðîíà
s
=
1
2
; ìàãíèòíûì ñïèíîâûì
êâàíòîâûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ïðîåêöèè ñïèíà íà ïðîèçâîëüíî âûáðàííóþ îñü,
äëÿ ýëåêòðîíà
m
s
=
s
z
=
±
1
2
.
Îïðåäåëåíèå: ñïèíîâîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ ñïèíà ÷àñòèöû, òî
åñòü, ïî ñóòè, ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà. Îáîçíà÷àÿ áàçèñíûå âåêòîðû
3
4
,
1
2
è
3
4
,
−
1
2
÷åðåç
1
0
è
0
1
, çàïèøåì ñïèíîâóþ ôóíêöèþ
χ
â âèäå
χ
=
a
1
0
+
b
0
1
.
Òåîðåìà: âñÿêîé ñïèíîâîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèå â êîíôèãóðàöèîííîì
ïðîñòðàíñòâå, ïðîåêöèÿ ñïèíîâîé ôóíêöèè íà êîòîðîå ìàêñèìàëüíà, à êàæäîìó íàïðàâëå-
íèþ ñîîòâåòñòâóåò ñïèíîâàÿ ôóíêöèÿ, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ñîîòâåòñòâóþùåå íàïðàâëåíèå
ìàêñèìàëüíà.
4
Áóäåì ñ÷èòàòü ñïèíîâóþ ôóíêöèþ íîðìèðîâàííîé, òî åñòü
|
χ
|
2
=
|
a
|
2
+
|
b
|
2
= 1;
ìîæíî çàïèñàòü
a
=
e
iα
cos
δ, b
=
e
iβ
sin
δ
α, β
∈
[0
, π
];
δ
∈
h
0
,
π
2
i
.
Òàêèì îáðàçîì,
χ
=
e
iα
cos
δ
e
i
(
β
−
α
)
sin
δ
;
S
x
=
~
2
σ
x
,
S
y
=
~
2
σ
y
,
S
z
=
~
2
σ
z
,
ïîýòîìó
S
x
=
χ
+
S
x
χ
=
~
2
(cos
δ, e
i
(
α
−
β
)
sin
δ
)
·
0 1
1 0
·
cos
δ
e
i
(
β
−
α
)
sin
δ
=
=
~
2
sin
δ
cos
δ
(
e
i
(
β
−
α
)
+
e
i
(
α
−
β
)
) =
~
2
sin 2
δ
cos(
β
−
α
);
S
y
=
i
~
2
(cos
δ, e
i
(
α
−
β
)
sin
δ
)
·
0
−
1
1
0
·
cos
δ
e
i
(
β
−
α
)
sin
δ
=
~
2
sin 2
δ
sin(
β
−
α
);
S
z
=
~
2
(cos
δ, e
i
(
α
−
β
)
sin
δ
)
·
1
0
0
−
1
·
cos
δ
e
i
(
β
−
α
)
sin
δ
=
~
2
cos 2
δ.
Ïóñòü
n
åäèíè÷íîå íàïðàâëåíèå, çàäàííîå â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óãëàìè
ϕ, θ
;
òîãäà, î÷åâèäíî,
n
x
= cos
ϕ
sin
θ, n
y
= sin
ϕ
sin
θ, n
z
= cos
θ.
Ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà S
íà
n
(S
n
) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì, ïðè÷¼ì
S
n
=
S
x
n
x
+
S
y
n
y
+
S
z
n
z
=
=
~
2
cos
θ
sin
θ
(cos
ϕ
−
i
sin
ϕ
)
sin
θ
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
−
cos
θ
=
~
2
cos
θ
e
−
iϕ
sin
θ
e
iϕ
sin
θ
−
cos
θ
.
Ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì S
z
(à ïîòîìó è S
n
) ÿâëÿåòñÿ
~
2
.
Íåñëîæíî óáå-
äèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííûé âåêòîð
χ
1
2
=
30