ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 369
Скачиваний: 1
cos
θ
2
e
iϕ
sin
θ
2
.
Ñðàâíèâàÿ ýòîò âåêòîð ñ
χ
, âèäèì, ÷òî îíè ñîâïàäàþò ïðè
θ
= 2
δ, ϕ
=
β
−
α
(êîíñòàíòà
e
iα
â äàííîì ñëó÷àå íå èìååò çíà÷åíèÿ, ïîñêîëüêó âñå âåêòîðû âèäà
Cχ
1
2
òàêæå
ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
1
2
.
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî ñîîò-
âåòñòâèå ìåæäó âèäîì ñïèíîâîé ôóíêöèè è ìàêñèìóìîì ïðîåêöèè, êîòîðîå è äîêàçûâàåò
òåîðåìó.
Ïðèìåð: âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè òåîðåìû äëÿ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ ïðîåêöèè íà
îäíó èç êîîðäèíàòíûõ îñåé. Ïóñòü
n
=
n
x
,
òî åñòü
θ
=
π
2
, ϕ
= 0;
ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëû
äëÿ
S
x
, S
y
, S
z
δ
=
π
4
, β
−
α
= 0
,
íàõîäèì
S
x
=
1
2
, S
y
=
S
z
= 0
.
Âåêòîð ñïèíà íàïðàâëåí
âäîëü îñè
x
, à ïîòîìó äâå äðóãèå åãî ïðîåêöèè îáðàùàþòñÿ â íîëü.
Èòàê, íàëè÷èå ñïèíà ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì ÷àñòèöû, à å¼ ñîñòîÿíèå
çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñïèíà è åãî íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå; îäíàêî íèãäå ðàíåå çàâèñè-
ìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îò ñïèíà íå âîçíèêàëà, à, íàïðèìåð, â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çàâèñåëà ëèøü îò êîîðäèíàò ÷àñòèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùå-
ñòâîâàíèå ñïèíà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå óêëàäûâàåòñÿ â ðàçâèòóþ òåîðèþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Äèðàê óñòàíîâèë, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ñïèíà ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ýôôåêòîì, à ïîòî-
ìó, ðàçóìååòñÿ, íå ìîæåò âîçíèêíóòü â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ðàññìàò-
ðèâàåìîé ðàíåå. Ñîîòâåòñòâåííî, ñïèí âîîáùå íå ôèãóðèðóåò â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà,
à âîçíèêàåò ëèøü â óðàâíåíèè Äèðàêà îñíîâíîì óðàâíåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé
ìåõàíèêè. Òåì íå ìåíåå, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû ñ ó÷¼-
òîì íàëè÷èÿ ñïèíà, õîòÿ èõ ñêîðîñòè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà. Äëÿ ðåøåíèÿ
ýòîé çàäà÷è Äèðàê ðàñøèðèë ôîðìàëèçì íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, çàìåíèâ
âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ òàê íàçûâàåìûìè ñïèíîðàìè: â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ýëåêòðîíà
s
=
1
2
åãî ñîñòîÿíèå îïèñûâàåòñÿ ñòîëáöîì
ψ
=
ψ
m
s
=
1
2
ψ
m
s
=
−
1
2
,
òî åñòü â âåêòîðå ñîñòîÿíèÿ ïðîñòî ó÷èòûâàþòñÿ äâà âîçìîæíûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ
÷àñòèö ñ áîëüøèì ñïèíîì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ ñïèíîð
2
s
-ãî ðàíãà, ÿâëÿþùèéñÿ,
ïî ñóòè, òåíçîðîì
2
s
-ãî ðàíãà.
Ïîñòðîèì òåïåðü ãàìèëüòîíèàí, ñîîòâåòñòâóþùèé ñïèíîðó ïåðâîãî ðàíãà. Äëÿ ýòîãî
íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ òîêà è ìàãíèòíîãî ïîëÿ; áóäåì ðàññìàò-
ðèâàòü òîëüêî ñëó÷àé îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàäàäèì ïîëå
H
1
=
const ÷åðåç âåê-
òîðíûé ïîòåíöèàë
A
=
1
2
[
H
1
r
] (
rot
A
=
rot
1
2
·
[
H
1
r
]
=
1
2
((
r
∇
)
H
1
−
(
H
1
∇
)
r
+
H
1
div
r
−
r
div
H
1
) =
H
1
,
ïîñêîëüêó div
r
= 3
,
H
1
=
const
,
div
H
1
= 0);
äëÿ
H
2
âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà
rot
H
2
=
4
π
c
j
.
Ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà
F
m
=
e
c
·
[
v H
1
]
åé ñîîòâåòñòâóåò
31
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
U
=
1
c
A j
,
ïîñêîëüêó
grad
(
A j
) = (
j
∇
)
A
+(
A
∇
)
j
+[
j
rot
A
] + [
A
rot
j
] = [
j H
1
]
,
j
=
e
v
,
rot
j
=
e
rot
d
r
dt
=
e
d
dt
rot
r
= 0
,
(
A
∇
)
j
=
e
(
A
∇
)
v
=
e
X
α
A
α
∂ v
α
∂ α
= 0
,
rot
A
=
H
2
,
j
∇
=
c
4
π
[
∇
H
2
]
∇
=
c
4
π
[
∇
,
∇
]
H
2
= 0
,
ïîñêîëüêó
[
∇
,
∇
] = 0
.
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ òîêà è ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ε
m
=
1
c
A j
=
e
2
c
[
H
1
r
]
v
=
e
2
mc
[
r
m
v
]
H
1
=
e
2
mc
l
·
H
1
=
−
→
µ
H
1
,
ãäå
l
êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò, à
−
→
µ
=
e
2
mc
l
ìàãíèòíûé ìîìåíò
÷àñòèöû.
Äëÿ îäíîýëåêòðîííîãî àòîìà ñ
l
= 0
ãàìèëüòîíèàí çàïèøåòñÿ â âèäå H
=
H
0
+
e
2
mc
(
l H
)
,
ãäå H
0
ìåõàíè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ãàìèëüòîíèàíà (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà è
ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ÿäðîì),
H
ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå.
Íàïðàâèì îñü
z
âäîëü íàïðàâëåíèÿ
H
; òîãäà
H
= (0
,
0
, H
)
; ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïðåäåëÿ-
þòñÿ óñëîâèÿìè H
0
|
m
s
i
=
E
0
|
m
s
i
,
ˆ
s
z
|
m
s
i
=
m
s
~
|
m
s
i
,
H
|
m
s
i
=
E
0
+
e
~
2
mc
m
s
H
|
m
s
i
.
m
s
=
±
1
2
,
òî åñòü â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ðàñùåïëÿþòñÿ,
ïðè÷¼ì âåëè÷èíà ðàñùåïëåíèÿ ñîñòàâëÿåò
∆
E
=
e
~
2
mc
H
=
µ
B
H,
ãäå
µ
B
=
e
~
2
mc
ìàã-
íåòîí Áîðà. Äàííîå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Çååìàíà è òàêæå íàáëþäàåòñÿ äëÿ
ìíîãîýëåêòðîííûõ àòîìîâ.
Íàêîíåö, îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, äåéñòâóþùèé íà ñïèíîð ïåðâîãî ðàíãà, äîëæåí èìåòü
âèä ìàòðèöû 2
×
2 è, î÷åâèäíî, çàïèñûâàòüñÿ êàê H
=
H
0
+(
µ
H
)
ñ èñïîëüçîâàíèåì â âû-
ðàæåíèè äëÿ
µ
ìàòðèö Ïàóëè.
H
=
H
0
1 0
0 1
+
e
~
4
mc
0 1
1 0
H
x
+
0
−
i
i
0
H
y
+
1
0
0
−
1
H
z
.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèñûâàåòñÿ òî÷íî òàêæå, êàê â îòñóòñòâèå ñïèíà: H
ψ
=
Eψ
è íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Ïàóëè.
4.4. Ñèììåòðèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè.
Îïðåäåëåíèå: òîæäåñòâåííûìè ÷àñòèöàìè íàçûâàþòñÿ ÷àñòèöû, îäèíàêîâûå ïî
âñåì ñâîèì ñâîéñòâàì. Îïåðàòîð P, ìåíÿþùèé ìåñòàìè êîîðäèíàòû äâóõ òîæäåñòâåííûõ
÷àñòèöû, íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïåðåñòàíîâêè P
ψ
(1
,
2) =
ψ
(2
,
1)
.
Ïðèíöèï íåðàçëè÷èìîñòè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö: â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òîæäå-
ñòâåííûå ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû, ïîñêîëüêó, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, íåëüçÿ
óêàçàòü òî÷íûå êîîðäèíàòû è òî÷íûé èìïóëüñ ÷àñòèöû â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìå-
íè. ×åì òî÷íåå çàäàíèå êîîðäèíàò ÷àñòèö íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (ðàçëè÷åíèå ÷àñòèö),
òåì áîëüøå îøèáêà â îïðåäåëåíèè èìïóëüñà. Êðîìå ýòîãî, ÷àñòèöû íå äâèãàþòñÿ ïî îïðå-
äåë¼ííûì òðàåêòîðèÿì (ïðèíöèï íåîïðåäåë¼ííîñòè), ïîýòîìó ðàçëè÷èòü èõ â ïðîöåññå
äâèæåíèÿ òàêæå íåâîçìîæíî.
Î÷åâèäíî, ÷òî â êîîðäèíàíòíîì ïðåäñòàâëåíèè âñå îïåðàòîðû èíâàðèàíòíû ïî îòíî-
øåíèþ ê ïåðåñòàíîâêå äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ïîýòîìó ëþáîé îïåðàòîð êîììóòè-
ðóåò ñ P
;
â ÷àñòíîñòè,
[
H
,
P
] = 0
.
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîðû H è
P èìåþò îäèíàêîâûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, òî åñòü åñëè H
ψ
(1
,
2) =
Eψ
(1
,
2)
,
òî
32
P
ψ
(1
,
2) =
λψ
(1
,
2)
.
Íî P
2
ψ
(1
,
2) =
ψ
(1
,
2) =
λ
2
ψ
(1
,
2)
⇒
λ
=
±
1
â çàâèñèìîñòè îò çíàêà
λ
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íîé èëè àíòè-
ñèììåòðè÷íîé. Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâî ñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì
äâèæåíèÿ, ïîñêîëüêó
[
H
,
P
] = 0
,
∂
P
∂ t
= 0
.
Îïðåäåëåíèå: òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå ñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíê-
öèåé, íàçûâàþòñÿ áîçîíàìè, à ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå àíòèñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíê-
öèåé, ôåðìèîíàìè. Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî âñå ÷àñòèöû ñ öåëûì ñïèíîì
ÿâëÿþòñÿ áîçîíàìè, à âñå ÷àñòèöû ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì ôåðìèîíàìè.
Çàìå÷àíèå: ñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äëÿ áîçîíîâ ìîæåò áûòü âûáðàíà â êà-
÷åñòâå ñóììû ïðîèçâåäåíèé âîëíîâûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàç-
ëè÷íûì ñîñòîÿíèÿì
ψ
s
=
1
√
2
(
ψ
1
(1)
ψ
2
(2) +
ψ
1
(2)
ψ
2
(1))
(êîýôôèöèåíò
1
√
2
íåîáõîäèì äëÿ íîðìèðîâêè. Àíàëîãè÷íî âûáèðàåòñÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
ôåðìèîíîâ
ψ
a
=
1
√
2
(
ψ
1
(1)
ψ
2
(2)
−
ψ
1
(2)
ψ
2
(1))
.
Äàííîå ïîñòðîåíèå ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà
ñëó÷àé
N
÷àñòèö (
p
1
, . . . p
N
íîìåðà ñîñòîÿíèé):
ψ
s
(1
,
2
, . . . N
) =
N
1
!
. . . N
N
!
N
!
1
2
X
(
p
1
,...p
N
)
ψ
p
1
(1)
ψ
p
2
(2)
. . . ψ
p
N
(
N
)
,
ãäå ñóììà áåð¼òñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì
(
p
1
, . . . p
N
)
. Äëÿ ôåðìèîíîâ ñóììà òà æå, îäíà-
êî êàæäîå ñëàãàåìîå íåîáõîäèìî äîìíîæèòü íà ÷¼òíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåñòàíîâêè
(
p
1
, . . . p
N
)
; ðåçóëüòàòîì ñòàíåò îïðåäåëèòåëü
ψ
a
(1
,
2
, . . . N
) =
1
√
N
!
ψ
p
1
(1)
ψ
p
1
(2)
. . .
ψ
p
1
(
N
)
ψ
p
2
(1)
ψ
p
2
(2)
. . .
ψ
p
2
(
N
)
...
ψ
p
N
(1)
ψ
p
N
(2)
. . . ψ
p
N
(
N
)
.
4.5. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ.
Ïóñòü èìåþòñÿ äâà îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà J
1
è J
2
,
õàðàêòåðèçóþùèåñÿ êâàíòîâû-
ìè ÷èñëàìè
j
k
, m
k
: J
2
k
|
j
k
, m
k
i
=
j
k
(
j
k
+ 1)
~
2
|
j
k
, m
k
i
,
J
zk
|
j
k
, m
k
i
=
m
k
~
|
j
k
, m
k
i
(
k
= 1
,
2)
.
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû
|
j
k
, m
k
i
çàäàþò ïðîñòðàíñòâà
E
k
(
dim
E
k
= 2
j
k
+ 1
); áóäåì ñ÷èòàòü
ýòè ïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòíûìè (
E
1
T
E
2
= 0
), òîãäà êîìïîíåíòû îïåðàòîðîâ óãëîâîãî
ìîìåíòà êîììóòèðóþò:
[
J
1
α
,
J
2
β
] = 0
∀
α, β.
Ââåä¼ì îïåðàòîð J : J
α
=
J
1
α
+
J
2
α
,
äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå
E
=
E
1
⊗
E
2
òåí-
çîðíîì ïðîèçâåäåíèè
E
1
è
E
2
(dim
E
= (2
j
1
+ 1)(2
j
2
+ 1))
.
Î÷åâèäíî, äëÿ J âûïîëíÿþò-
ñÿ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà (ñì. 4.2):
[
J
α
,
J
β
] =
i
J
γ
,
[
J
α
,
J
2
] = 0
,
[
J
2
,
J
2
k
] = 0
,
ïîýòîìó äëÿ J òàêæå ìîæíî ââåñòè äâà êâàíòîâûõ
÷èñëà
j
è
m
: J
2
|
j, m
i
=
j
(
j
+ 1)
~
2
|
j, m
i
,
J
z
|
j, m
i
=
m
~
|
j, m
i
.
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû
|
j, m
i
íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè (áàçèñîì) ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.
Îïåðàòîðû J
2
1
è J
1
z
;
J
2
2
è J
2
z
êîììóòèðóþò, à ïîòîìó èìåþò îáùèå íàáîðû ñîáñòâåí-
íûõ âåêòîðîâ
|
j
1
, m
1
i
,
|
j
2
, m
2
i
ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷¼ì ïðîèçâåäåíèÿ
|
j
1
, m
1
i |
j
2
, m
2
i
=
|
j
1
, m
1
, j
2
, m
2
i
çàäàþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
E
ýòîò ïîëíûé íàáîð íàçûâàþò áàçèñîì íåñâÿ-
çàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò âûðàçèòü âåêòîðû ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ:
|
j, m
i
=
P
m
1
,m
2
(
j
1
j
2
m
1
m
2
|
jm
)
|
j
1
, m
1
, j
2
, m
2
i
, ãäå
(
j
1
j
2
m
1
m
2
|
jm
)
êîýôôèöèåíòû âåêòîðíîãî
33
ñëîæåíèÿ (êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà). Ýòè êîýôôèöèåíòû ðàññ÷èòàíû äëÿ ðàçëè÷-
íûõ çíà÷åíèé
j
1
, j
2
, j, m
1
, m
2
, m
è òàáóëèðîâàíû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî J
=
J
1
+
J
2
,
ïîýòîìó ñêëàäûâàþòñÿ ïðîåêöèè ýòèõ îïåðàòîðîâ:
m
=
m
1
+
m
2
, òî åñòü ôàêòè÷åñêè íà
ñóììèðîâàíèå ïî
m
1
, m
2
íàêëàäûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå
m
=
m
1
+
m
2
.
Íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå
m
îïðåäåëÿåòñÿ êàê
m
max
=
m
1
,max
+
m
2
,max
=
j
1
+
j
2
;
m
max
=
j,
ïîýòîìó
j
max
=
j
1
+
j
2
;
èíà÷å ãîâîðÿ, óñòàíîâëåíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòî-
ðûìè íåñâÿçàííîãî (
|
j
1
, m
1
, j
2
, m
2
i
) è íåñâÿçàííîãî (
|
j, m
i
) ïðåäñòàâëåíèé
|
j
1
, j
1
, j
2
, j
2
i
è
|
j
1
+
j
2
, j
1
+
j
2
i
. Áóäåì è äàëüøå ïðîâîäèòü àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïîäñòàâëÿÿ ðàç-
ëè÷íûå çíà÷åíèÿ
j < j
1
+
j
2
; â êîíöå êîíöîâ äîéä¼ì äî
j
min
.
Êàæäîìó çíà÷åíèþ
j
ñîîò-
âåòñòâóþò
(2
j
+ 1)
ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ, à îáùàÿ ñóììà ýòèõ âåêòîðîâ äîëæíà
äàòü ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà
E
, òî åñòü
j
max
=
j
1
+
j
2
X
j
=
j
min
(2
j
+ 1) = dim
E
= (2
j
1
+ 1)(2
j
2
+ 1)
.
Ñóììà ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíîé ñóììîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ
d
= 2
:
n
X
i
=1
a
i
=
na
1
+
n
(
n
−
1)
2
d,
ïîýòîìó
j
max
=
j
1
+
j
2
X
j
=
j
min
(2
j
+ 1) = (2
j
min
+ 1)(
j
1
+
j
2
−
j
min
+ 1)+
+(
j
1
+
j
2
−
j
min
+ 1)(
j
1
+
j
2
−
j
min
) = (
j
1
+
j
2
−
j
min
+ 1)(
j
1
+
j
2
+
j
min
+ 1) =
= (2
j
1
+ 1)(2
j
2
+ 1)
,
÷òî âûïîëíÿåòñÿ ïðè
j
min
=
|
j
1
−
j
2
|
.
Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ
j
:
|
j
1
−
j
2
| ≤
j
≤
j
1
+
j
2
óñëîâíîå "ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà" äëÿ ñëîæå-
íèÿ ìîìåíòîâ; èíà÷å ãîâîðÿ,
j
ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ìåæäó òåìè ñëó÷àÿìè,
êîãäà
J
1
è
J
2
ïàðàëëåëüíû è àíòèïàðàëëåëüíû.
Ïðèìåð (îáùèé ñïèí äâóõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñïèí
1
2
)
: â äàííîì ñëó÷àå
j
1
=
j
2
=
1
2
,
ïîýòîìó
0
≤
j
≤
1
, òî åñòü
j
= 0; 1
.
Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ÷åòûðüìÿ
âåêòîðàìè
|
0
,
0
i
,
|
1
,
−
1
i
,
|
1
,
0
i
,
|
1
,
1
i
,
îäèí èç êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâóþùèé îáùåìó ñïèíó
S
= 0
, çàäà¼ò ñèíãëåòíîå ñîñòîÿíèå, à òðè äðóãèõ (
S
= 1
) òðèïëåòíîå ñîñòîÿíèå
ñèñòåìû ÷àñòèö.
Ïðèìåð (ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà): â äàííîì ñëó÷àå
j
1
=
l, j
2
=
1
2
.
Ñîîòâåòñòâåííî,
j
=
l
±
1
2
;
m
=
m
l
+
m
s
⇒
m
l
=
m
−
m
s
=
m
±
1
2
.
Áàçèñ íåñâÿçàííîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ âåêòîðîâ
l, m
−
1
2
,
1
2
,
1
2
,
l, m
+
1
2
,
1
2
,
−
1
2
.
Íåñëîæíî
âûïèñàòü âåêòîðû ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
l
+
1
2
, m
=
l,
1
2
, m
−
1
2
,
1
2
l
+
1
2
, m
l, m
−
1
2
,
1
2
,
1
2
+
+
l,
1
2
, m
+
1
2
,
−
1
2
l
+
1
2
, m
l, m
+
1
2
,
1
2
,
−
1
2
,
l
−
1
2
, m
=
l,
1
2
, m
−
1
2
,
1
2
l
−
1
2
, m
l, m
−
1
2
,
1
2
,
1
2
+
+
l,
1
2
, m
+
1
2
,
−
1
2
l
−
1
2
, m
l, m
+
1
2
,
1
2
,
−
1
2
.
Ýòî îðáèòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå; äëÿ òîãî, ÷òîáû
ñôîðìèðîâàòü ïîëíûå âåêòîðû, íåîáõîäèìî äîìíîæèòü îðáèòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå íà ðà-
äèàëüíûå
R
nj
(
r
)
.
34
4.6. Ìåõàíèêà òâ¼ðäîãî òåëà.
Êàê è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ïåðåéä¼ì ê ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì;
ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðåîáðàçîâàíèå îïåðàòîðîâ ïðè ïåðåõîäå ê ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû îïåðàòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, çàïèñàííûå â òàêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, áóäóò ïîä÷èíÿòüñÿ îáðàòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ êîìïîíåíòàìè, çàïèñàííûìè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà:
[
J
α
,
J
β
] =
−
i
~
J
γ
.
Îáîçíà÷àÿ áîëüøèìè áóêâàìè êîîðäèíàòû â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òâ¼äûì òåëîì,
çàïèøåì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
H
=
J
2
X
2
I
X
+
J
2
Y
2
I
Y
+
J
2
Z
2
I
Z
;
îòñþäà H
=
A
J
2
X
+
B
J
2
Y
+
C
J
2
Z
.
Ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:
1. Øàðîâîé âîë÷îê:
A
=
B
=
C,
ïîýòîìó H
=
A
J
2
.
Ýíåðãèÿ êâàíòîâàíà è îïðåäåëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè J
2
E
l
=
Bl
(
l
+ 1)
~
2
=
l
(
l
+ 1)
~
2
2
I
.
2. Ñèììåòðè÷íûé âîë÷îê:
A
=
B
6
=
C
H
=
B
J
2
+(
C
−
B
)
J
2
Z
.
Ýíåðãèÿ
E
lm
=
Bl
(
l
+ 1)
−
(
B
−
C
)
m
2
)
~
2
.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
l
çíà÷åíèÿì
±
m
ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æå
çíà÷åíèå ýíåðãèè îáðàçóåòñÿ âðàùàòåëüíûé ìóëüòèïëåò: íàáîð, ñîñòîÿùèé èç
l
+ 1
ëèíèè,
l
èç êîòîðûõ äâóêðàòíî âûðîæäåíû. Ïðè
B > C
íåâûðîæäåííûé ýíåðãåòè÷åñêèé
óðîâåíü (
m
= 0
) ÿâëÿåòñÿ ñàìûì âåðõíèì; ïðè
B < C
ñàìûì íèæíèì.
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå àñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà àñèììåòðèþ êàêèõ-ëèáî äâóõ ïàðàìåò-
ðîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê çàäà÷å î ñèììåòðè÷íîì âîë÷êå;
íàïðèìåð, H
=
H
0
+
V
=
A
J
2
X
+
B
J
2
Y
+
C
J
2
Z
,
ãäå H
0
=
B
J
2
+(
C
−
B
)
J
2
Z
,
V
= (
A
−
B
)
J
2
X
.
4.7. Îáùèé ñëó÷àé çàäà÷è î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå.
Ïóñòü äàíû îïåðàòîðû P
,
Q :
[
Q
,
P
] =
i
;
H
=
1
2
(
P
2
+
Q
2
)
.
Ðåøèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ H : H
|
λ
i
=
λ
|
λ
i
.
Ââåä¼ì îïåðàòîðû
ˆ
a
±
=
1
√
2
(
Q
∓
i
P
);
î÷åâèäíî, ÷òî
ˆ
a
+
±
= ˆ
a
∓
.
[ˆ
a
−
,
ˆ
a
+
] =
1
2
[
Q
+
i
P
,
Q
−
i
P
] = 1
⇒
ˆ
a
−
ˆ
a
+
−
ˆ
a
+
ˆ
a
−
= 1
.
Ðàññìîòðèì òàêæå îïåðàòîð N
= ˆ
a
+
ˆ
a
−
;
Q
=
1
2
(ˆ
a
−
+ ˆ
a
+
)
,
P
=
−
i
2
(ˆ
a
−
−
ˆ
a
+
)
,
H
=
1
2
(ˆ
a
−
ˆ
a
+
+ ˆ
a
+
ˆ
a
−
) =
1
2
+ ˆ
a
+
ˆ
a
−
=
N
+
1
2
.
N
ˆ
a
−
= ˆ
a
+
ˆ
a
−
ˆ
a
−
= (ˆ
a
−
ˆ
a
+
−
1) ˆ
a
−
= ˆ
a
−
(ˆ
a
+
ˆ
a
−
−
1) = ˆ
a
−
(
N
−
1)
.
Ïóñòü
|
µ
i
ñîáñòâåííûå
âåêòîðû N: N
|
µ
i
=
µ
|
µ
i
;
N
ˆ
a
−
|
µ
i
= ˆ
a
−
(
N
−
1)
|
µ
i
= ˆ
a
−
(
µ
−
1)
|
µ
i
= (
µ
−
1) ˆ
a
−
|
µ
i
.
Èòàê,
|
ν
i
= ˆ
a
−
|
µ
i
ñîáñòâåííûé âåêòîð N, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
µ
−
1
.
Çàìåòèì, ÷òî
0
≤ h
ν
|
ν
i
=
h
µ
|
ˆ
a
+
−
ˆ
a
−
|
µ
i
=
h
µ
|
ˆ
a
+
ˆ
a
−
|
µ
i
=
h
µ
|
N
|
µ
i
=
µ
h
µ
|
µ
i
,
ïîýòîìó
µ
≥
0
.
Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðèì N
ˆ
a
+
= ˆ
a
+
ˆ
a
−
ˆ
a
+
= ˆ
a
+
(1 + ˆ
a
+
ˆ
a
−
) = ˆ
a
+
(
N
+1);
N
ˆ
a
+
|
µ
i
=
ˆ
a
+
(
N
+1)
|
µ
i
= (
µ
+1) ˆ
a
+
|
µ
i
.
Òàêèì îáðàçîì,
ˆ
a
p
+
|
µ
i
ñîáñòâåííûå âåêòîðû N, ñîîòâåòñòâó-
þùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì
µ
+
p,
à
ˆ
a
p
−
|
µ
i
ñîáñòâåííûå âåêòîðû N, ñîîòâåòñòâóþùèå
µ
−
p.
Îäíàêî
∃
n
:
µ
−
n >
0
, µ
−
(
n
+1)
<
0
,
÷òî íåâîçìîæíî; çíà÷èò,
ˆ
a
n
−
|
µ
i 6
=
−
→
0
,
ˆ
a
n
+1
−
|
µ
i
=
−
→
0
,
òî åñòü
µ
−
n
−
1 + 1 = 0
⇒
µ
=
n.
Ìåæäó òåì, âîçðàñòàíèå
µ
ïîä äåéñòâèåì îïåðà-
òîðà
ˆ
a
+
íåîãðàíè÷åííî, ïîýòîìó íàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ N óäîáíî îáîçíà÷èòü êàê
|
0
i
,
|
1
i
, . . .
|
n
i
, . . . .
h
ν
|
ν
i
=
µ
h
µ
|
µ
i ⇒
ˆ
a
−
|
n
i
=
√
n
|
n
−
1
i
(
|
µ
i
îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-
ñòåìà âåêòîðîâ). Ââîäÿ
|
τ
i
= ˆ
a
+
|
µ
i
,
íàõîäèì
h
τ
|
τ
i
= (
µ
+1)
h
µ
|
µ
i
,
ˆ
a
+
|
n
i
=
√
n
+ 1
|
n
+1
i
.
Òàêèì îáðàçîì,
|
n
i
=
1
√
n
!
ˆ
a
n
+
|
0
i
,
N
|
n
i
=
n
|
n
i
, λ
=
n
+
1
2
.
35