ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 367
Скачиваний: 1
âåëè÷èíû îáðàùàþòñÿ â íîëü, åñëè äèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ ñîá-
ñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé âåëè÷èíå.
Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé: ïóñòü
A
è
B
ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, äëÿ êî-
òîðûõ
[
A
,
B
] =
i
~
. Ðàññìîòðèì
α
=
A
−
A, β
=
B
−
B
ýòèì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì
ñîîòâåòñòâóþò îïåðàòîðû
ˆ
a =
A
−
A,
ˆ
b =
B
−
B
;
î÷åâèäíî,
[ˆ
a
,
ˆ
b] =
i
~
. α
=
β
= 0
⇒
(∆
α
)
2
= (∆
A
)
2
=
α
2
,
(∆
β
)
2
= (∆
B
)
2
=
β
2
.
(∆
α
)
2
·
(∆
β
)
2
=
α
2
·
β
2
= (
ψ,
ˆ
a
2
ψ
)(
ψ,
ˆ
b
2
ψ
) = (ˆ
a
ψ,
ˆ
a
ψ
)(ˆ
b
ψ,
ˆ
b
ψ
)
≥ |
(ˆ
a
ψ,
ˆ
b
ψ
)
|
2
(íåðàâåí-
ñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî). Òàêèì îáðàçîì,
(∆
A
)
2
·
(∆
B
)
2
≥ |
(
ψ,
ˆ
a ˆ
b
ψ
)
|
2
.
ˆ
a ˆ
b =
ˆ
a ˆ
b
2
+
ˆ
b ˆ
a
2
+
ˆ
a ˆ
b
2
−
ˆ
b ˆ
a
2
=
ˆ
a ˆ
b + ˆ
b ˆ
a
2
+
1
2
[ˆ
a
,
ˆ
b]
,
ïîýòîìó
(
ψ,
ˆ
a ˆ
b
ψ
) =
ψ,
ˆ
a ˆ
b + ˆ
b ˆ
a
2
ψ
!
+
1
2
i
~
(
ψ, ψ
)
.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ïîñêîëüêó îïåðàòîð
ˆ
a ˆ
b + ˆ
b ˆ
a
2
ýðìè-
òîâ. Òàêèì îáðàçîì,
|
(
ψ,
ˆ
a ˆ
b
ψ
)
|
2
≥
~
2
4
⇒
(∆
A
)
2
·
(∆
B
)
2
≥
~
2
4
.
Òàêèì îáðàçîì,
δA
·
δB
≥
~
2
,
ãäå
δA, δB
ñðåäíèå êâàäðàòè÷íûå îòêëîíåíèÿ (êîðíè èç äèñïåðñèé)
A
è
B
.  ÷àñòíîñòè,
[
x,
ˆ
p
] =
i
~
⇒ |
δx
·
δp
| ≥
~
2
.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó
F
è ñïåêòð å¼ îïåðàòîðà F; ñëó÷àé
äèñêðåòíîãî ñïåêòðà äîñòàòî÷íî ïðîñò êàê èçâåñòíî, èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ëèíåéíî-
ãî îïåðàòîðà âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ïîëíûé ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð, êîòîðûé, ïîñëå
ïðîöåäóðû îðòîíîðìèðîâêè, äàñò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
L
2
(ïîëíîòà
ñëåäóåò èç ïîñòóëàòû ïîëíîòû ñì. 2.1). Ïðîáëåìà ñàìîé âîçìîæíîñòè íîðìèðîâêè (ñõî-
äèìîñòè
R
ψ
∗
n
ψ
n
dx
) â äàííîì ñëó÷àå íå ñòîèò: ìû ïîëàãàåì, ÷òî ñèëû äåéñòâóþò ëèøü â
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, à ïîòîìó âîëíîâûå ôóíêöèè äîñòàòî÷íî áûñòðî óáû-
âàþò ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè ñëó÷àé èõ áåñêîíå÷íîãî âîçðàñòàíèÿ ëèø¼í ôèçè÷åñêîãî
ñìûñëà, ïîñêîëüêó îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà "óõîäèò" îò äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë. Îáîçíà÷èì
ïîëíûé íàáîð ÷åðåç
{
ψ
n
}
n
: F
ψ
n
=
λψ
n
,
(
ψ
m
, ψ
n
) =
δ
mn
(çíà÷åíèÿ
λ
n
ìîãóò è ñîâïàäàòü);
ïðîèçâîëüíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
ψ
ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå ïî ýòîìó íàáîðó:
ψ
=
P
n
C
n
ψ
n
,
ãäå
C
n
= (
ψ, ψ
n
)
.
Íà êîýôôèöèåíòû Ôóðüå íàêëàäûâàåòñÿ âñåãî îäíî óñëî-
âèå íîðìèðîâêà
ψ
, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ
1 =
||
ψ
||
2
= (
ψ, ψ
) =
P
n
|
C
n
|
2
.
(
ψ,
F
ψ
) =
P
m,n
C
∗
m
C
n
(
ψ
m
,
F
ψ
n
) =
P
m,n
C
∗
m
C
n
λ
n
δ
mn
=
P
n
|
C
n
|
2
λ
n
.
Òàêèì îáðàçîì, ôèçè÷åñêèì
ñìûñëîì êâàäðàòîâ ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ðàçëîæåíèÿ
ψ
ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî â õîäå êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà
F
ïðèìåò çíà÷åíèå
λ
n
.
Îòìåòèì åù¼ îäíî âàæíîå ñâîéñòâî:
δ
-ôóíêöèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ïî ïîëíî-
ìó íàáîðó
ψ
n
:
δ
(
x
−
x
0
) =
P
n
a
n
(
x, x
0
)
ψ
n
(
x
)
.
Äîìíîæàÿ ñëåâà íà
ψ
m
è èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó
îáú¼ìó êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîëó÷èì
R
ψ
∗
m
(
x
)
δ
(
x
−
x
0
) =
a
m
(
x, x
0
) =
ψ
∗
m
(
x
0
)
,
ïîýòîìó
P
n
ψ
∗
n
(
x
0
)
ψ
n
(
x
) =
δ
(
x
−
x
0
)
.
Ïðèìåð (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
ˆ
l
z
): â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
l
z
=
xp
y
−
yp
x
,
ïîýòîìó
ˆ
l
z
=
−
i
~
·
x
∂
∂ y
−
y
∂
∂ x
.
Ïåðåéä¼ì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì (
x
=
r
cos
ϕ
sin
θ,
y
=
r
sin
ϕ
sin
θ, z
=
r
cos
θ
). Ïóñòü
ψ
=
ψ
(
x, y, z
) =
ψ
(
r, ϕ, θ
)
, òîãäà
∂ ψ
∂ ϕ
=
−
∂ ψ
∂ x
·
r
sin
ϕ
sin
θ
+
∂ ψ
∂ y
·
r
cos
ϕ
sin
θ
=
−
y
∂ ψ
∂ x
+
x
∂ ψ
∂ y
=
ˆ
l
z
ψ
−
i
~
.
6
Òàêèì îáðàçîì, â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
ˆ
l
z
=
−
i
~
·
∂
∂ ϕ
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàâèñè-
ìîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îò
r
è
θ
ïðîèçâîëüíà:
ψ
(
r, ϕ, θ
) =
f
(
r, θ
)Φ(
ϕ
)
, à óðàâíåíèå
íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðèìåò âèä
−
i
~
Φ
0
=
λ
Φ
⇒
Φ = Φ
0
e
iλ
~
ϕ
.
Çíà÷åíèÿ
ϕ
è
ϕ
+ 2
π
ýêâèâàëåíòíû, ïîýòîìó
Φ
äîëæíà áûòü ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîì
2
π
. Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî
e
2
πiλ
~
= 1
⇒
2
πλ
~
= 2
πm, m
∈
Z
⇒
λ
=
m
~
.
Ìåæäó òåì, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñïåêòð îïåðàòîðà F ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì; ðàññìîò-
ðèì, íàïðèìåð, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: T
ψ
=
λψ
⇒
ψ
00
+
2
m
λ
ψ
= 0
⇒
ψ
=
Ae
iωx
+
Be
−
iωx
, ω
=
r
2
m
λ
âñå
λ >
0
ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè
çíà÷åíèÿìè T
.
Ïðè ýòîì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïðåäñòàâèìû â âèäå
ψ
=
C
1
sin(
ωx
+
C
2
)
,
òî åñòü èõ êâàäðàòû íåèíòåãðèðóåìû íà
R
. Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê ðàññìîòðåíèþ òàêèõ
ôóíêöèé ââåäåíèå ñîáñòâåííûõ äèôôåðåíöèàëîâ èëè íîðìèðîâêà íà
δ
-ôóíêöèþ.
Ñîáñòâåííûå äèôôåðåíöèàëû: ðàññìîòðèì ìàëûå ó÷àñòêè
δp
÷èñëîâîé îñè;
Y
(
x, p, δp
) =
1
√
δp
·
p
+
δp
Z
p
e
i
~
p
0
x
dp
0
=
1
√
δp
~
ix
·
e
i
~
px
e
i
~
δp
·
x
−
1
,
à, ïîñêîëüêó
e
iα
−
1 = cos
α
+
i
sin
α
−
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
= cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
+ 2
i
sin
α
2
cos
α
2
−
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
= 2 sin
α
2
i
cos
α
2
−
sin
α
2
= 2
i
sin
α
2
cos
α
2
+
i
sin
α
2
= 2
i
sin
α
2
·
e
iα
2
,
Y
(
x, p, δp
) =
1
√
δp
2
~
x
·
e
i
~
p
+
δp
2
x
·
sin
δp
2
~
x.
Ñîîòâåòñòâåííî,
(
Y, Y
) =
4
~
2
δp
·
Z
R
1
x
2
·
sin
2
δp
2
~
x
·
dx
=
8
~
2
δp
·
+
∞
Z
0
sin
2
δp
2
~
x
2
dx
=
8
~
2
δp
·
π
2
·
δp
2
~
= 2
π
~
<
∞
,
ïîñêîëüêó
+
∞
R
0
sin
2
αx
x
2
dx
=
π
2
|
α
|
.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü íîðìèðóåìûå ñîáñòâåí-
íûå äèôôåðåíöèàëû âîëíîâûõ ôóíêöèé
Y
∈
L
2
.
Îäíàêî áîëåå óäîáåí äðóãîé ïðè¼ì: ïóñòü ñïåêòð îïåðàòîðà A íåïðåðûâåí è íåâûðîæ-
äåí, ïðè÷¼ì
y
p
(
x
)
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè A (A
y
p
=
py
p
). Ôóíêöèè
y
p
âçàèìíî îðòîãîíàëü-
íû, à îáùåå ðåøåíèå
ψ
(
x
)
ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå
ψ
(
x
) =
R
{
p
}
c
(
p
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
,
ãäå
c
(
p
0
) = (
y
p
0
, ψ
) =
R
{
p
}
c
(
p
00
)(
y
p
0
, y
p
00
)
dp
00
=
R
{
p
}
c
(
p
00
)
·
f
(
p
0
, p
00
)
dp
00
,
ïîñêîëüêó
(
y
p
0
, y
p
00
) =
R
{
x
}
y
∗
p
0
(
x
)
y
p
00
(
x
)
dx
=
f
(
p
0
, p
00
)
.
Îäíàêî âûïîëíåíèå
ïîäîáíîãî ñîîòíîøåíèÿ âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå
f
(
p
0
, p
00
) = (
y
p
0
, y
p
00
) =
δ
(
p
0
−
p
00
)
.
Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà äîñòàòî÷íî
ðàñøèðèòü ïðîñòðàíñòâî
L
2
âîçìîæíîñòüþ íîðìèðîâêè íà
δ
-ôóíêöèþ, òî åñòü ýëåìåíòû
f
:
(
f, f
) =
δ
(0)
. Íîðìèðîâêà
ψ
îïðåäåëèòñÿ óñëîâèåì
1 = (
ψ, ψ
) =
Z
{
p
}
Z
{
p
}
c
∗
(
p
0
)
c
(
p
00
)(
y
p
0
, y
p
00
)
dp
0
dp
00
=
Z
{
p
}
Z
{
p
}
c
∗
(
p
0
)
c
(
p
00
)
δ
(
p
0
−
p
00
)
dp
0
dp
00
=
Z
{
p
}
|
c
(
p
0
)
|
2
dp
0
.
7
A
= (
ψ,
A
ψ
) =
Z
{
p
}
c
(
p
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
,
Z
{
p
}
p
00
c
(
p
00
)
y
p
00
dp
00
=
Z
{
p
}
c
∗
(
p
0
)
Z
{
p
}
p
00
c
(
p
00
)
·
(
y
p
0
, y
p
00
)
dp
00
dp
0
=
=
Z
{
p
}
c
∗
(
p
0
)
Z
{
p
}
p
00
c
(
p
00
)
δ
(
p
0
−
p
00
)
dp
00
dp
0
=
Z
{
p
}
p
0
|
c
(
p
0
)
|
2
dp
0
.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
ψ
(
x
) =
R
{
p
}
c
(
p
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
=
=
Z
{
p
}
y
p
0
(
x
)
Z
{
x
}
ψ
(
x
0
)
y
∗
p
0
(
x
0
)
dx
0
dp
0
=
Z
{
x
}
ψ
(
x
0
)
Z
{
p
}
y
∗
p
0
(
x
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
dx
0
=
Z
{
x
}
ψ
(
x
0
)
g
(
x, x
0
)
dx
0
,
÷òî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå
g
(
x, x
0
) =
R
{
p
}
y
∗
p
0
(
x
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
=
δ
(
x
0
−
x
)
àíàëîãè÷íîå ñîîò-
íîøåíèå óæå áûëî âûâåäåíî äëÿ ñëó÷àÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà.
 îáùåì ñëó÷àå ñïåêòðà, èìåþùåãî êàê äèñêðåòíóþ, òàê è íåïðåðûâíóþ ñîñòàâëÿþùèå,
íåîáõîäèìî îáúåäèíèòü ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ:
ψ
(
x
) =
X
n
c
n
ψ
n
(
x
) +
Z
{
p
}
c
(
p
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
,
1 = (
ψ, ψ
) =
X
n
|
c
n
|
2
+
Z
{
p
}
|
c
(
p
0
)
|
2
dp
0
,
X
n
ψ
∗
n
(
x
0
)
ψ
n
(
x
) +
Z
{
p
}
y
∗
p
0
(
x
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
=
δ
(
x
0
−
x
)
, A
=
X
n
λ
n
|
c
n
|
2
+
Z
{
p
}
p
0
|
c
(
p
0
)
|
2
dp
0
.
Çàìå÷àíèå: ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ìû óæå ñòàëêèâà-
ëèñü ñ äâóìÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè îïåðàòîðà F êîîðäèíàòíûì è èìïóëüñíûì (ïðè ýòîì îïå-
ðàòîðû
ˆ
x
è
ˆ
p
ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿëèñü ìóëüòèïëèêàòèâíûìè). Âûðàæåíèÿ
(
ψ
m
, ψ
n
) =
δ
mn
,
(
y
p
, y
p
0
) =
δ
(
p
−
p
0
)
çàäàþò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé
â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè, à
P
n
ψ
∗
n
(
x
0
)
ψ
n
(
x
) +
R
{
p
}
y
∗
p
0
(
x
0
)
y
p
0
(
x
)
dp
0
=
δ
(
x
0
−
x
)
ñêàëÿð-
íûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé â
p
-ïðåäñòàâëåíèè, òî åñòü ïðåäñòàâëåíèè âåêòîðîâ
áàçèñà êàê ôóíêöèé
p
, à íå
x
; ïðè ýòîì
p
ïðîèçâîëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ïîäðîáíåå
î ïðåäñòàâëåíèÿõ ñì. 2.7.
2.3. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è åãî ïðîñòåéøèå ñëåäñòâèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
ψ
(
x, t
) =
e
i
~
(
px
−
Et
)
óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ
i
~
∂ ψ
∂ t
=
−
~
2
2
m
∂
2
ψ
∂ x
2
=
T
ψ
. Ïî àíàëîãèè ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
i
~
∂ ψ
∂ t
=
H
ψ
, îñíîâíîå óðàâíåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Çäåñü H ãàìèëüòîíèàí; îïåðàòîð,
ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H
=
H
( ˆ
q
i
,
ˆ
p
i
)
.
Çíà÷åíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà åñòü
ýíåðãèÿ ñèñòåìû, ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð ýíåðãèè.
1. Ïîñòîÿíñòâî ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè.
|
ψ
|
2
=
ψ
∗
ψ
⇒
∂
∂ t
|
ψ
|
2
=
ψ
∗
·
∂ ψ
∂ t
+
ψ
·
∂ ψ
∗
∂ t
=
ψ
∗
·
H
ψ
i
~
−
ψ
·
H
ψ
∗
i
~
;
ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî âñåìó îáú¼ìó êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà,
òîãäà
∂
∂ t
(
ψ, ψ
) =
1
i
~
((
ψ,
H
ψ
)
−
(
H
ψ, ψ
)) = 0
.
8
2. Óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Íàéä¼ì ñêî-
ðîñòü èçìåíåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû
F
; ïóñòü F
,
H íå çàâèñÿò ÿâíûì
îáðàçîì îò âðåìåíè. Òîãäà, ïîñêîëüêó
F
= (
ψ,
F
ψ
)
,
dF
dt
=
∂ ψ
∂ t
,
F
ψ
+
ψ,
F
∂ ψ
∂ t
=
1
i
~
H
ψ,
F
ψ
+
F
ψ,
1
i
~
H
ψ
+
ψ,
∂
F
∂ t
ψ
=
=
−
1
i
~
((
ψ,
H F
ψ
)
−
(
ψ,
F H
ψ
)) +
ψ,
∂
F
∂ t
ψ
=
1
i
~
(
ψ,
[
F
,
H
]
ψ
) +
ψ,
∂
F
∂ t
ψ
.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿìè ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû
F
(ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà äâèæåíèÿ)
ÿâëÿþòñÿ
∂ F
∂ t
= 0
,
[
F
,
H
] = 0
.
3. Ïîòîê âåðîÿòíîñòè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
∂ ρ
∂ t
=
ψ
∗
∂ ψ
∂ t
+
ψ
∂ ψ
∗
∂ t
=
1
i
~
(
ψ
∗
H
ψ
−
ψ
(
H
ψ
)
∗
) =
1
i
~
−
~
2
2
m
(
ψ
∗
∆
ψ
−
ψ
∆
ψ
∗
) =
=
i
~
2
m
· ∇
(
ψ
∗
∇
ψ
−
ψ
∇
ψ
∗
)
,
ãäå
ρ
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â òîé èëè èíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
Ëîãè÷íî îáîçíà÷èòü
j
=
−
i
~
2
m
(
ψ
∗
∇
ψ
−
ψ
∇
ψ
∗
)
⇒
∂ ρ
∂ t
+
∇
j
= 0
óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïîòîêà âåðîÿòíîñòè (çäåñü
j
ïîòîê âåðîÿòíîñòè).
Ðàññìîòðèì òåïåðü âîçìîæíîñòü ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà;
î÷åâèäíî, îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
i
~
∂
∂ t
−
H
Ψ = 0
. Òîãäà, â ñëó÷àå
Ψ(
x, t
) =
ψ
(
x
)
f
(
t
)
, ïîëó÷èì ïðè ïîäñòàíîâêå
i
~
f
0
f
=
H
ψ
ψ
çäåñü ïðèðàâíåíû ôóíêöèè ðàçíûõ ïåðå-
ìåííûõ (
x
è
t
), ïîýòîìó îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííû è ðàâíû íåêîòîðîé
E
ïîñòîÿííîé ðàçäåëåíèÿ. Êàê îêàçàëîñü, ýòà ïîñòîÿííàÿ èìååò ñìûñë ýíåðãèè, à ïî-
òîìó îíà ñðàçó æå ïîëó÷àåò ñîîòâåòñòâóþùåå îáîçíà÷åíèå. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷èì
i
~
f
0
=
Ef
⇒
f
=
e
−
i
~
Et
è H
ψ
=
Eψ
ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ÿâëÿþùå-
åñÿ, ïî ñóòè äåëà, çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà H. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è
ìîãóò áûòü êàê äèñêðåòíûé, òàê è íåïðåðûâíûé ñïåêòðû H, à ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
ψ
n
ñâÿçàíû òåìè æå ñîîòíîøåíèÿìè, ÷òî äëÿ äðóãèõ íàáëþäàåìûõ (ñì. 2.2). Îáû÷íî èìåííî
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà èñïîëüçóþò â êà÷åñòâå áàçèñíûõ.
Îïðåäåëåíèå: ñòàöèîíàðíûìè ñîñòîÿíèÿìè íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå îïðå-
äåë¼ííóþ ýíåðãèþ, òî åñòü ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìûå âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè âèäà
ψ
n
e
−
i
~
E
n
t
,
ãäå
ψ
n
ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà. Îñíîâíûìè îñîáåííîñòÿìè ñòàöèîíàðíûõ
ñîñòîÿíèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïëîòíîñòè è ïîòîêà âåðîÿòíîñòè.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: ëó÷øèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ óêàçà-
íèå ÿâíîãî âèäà âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè (
Ψ(
x,
0)
). Èç ïðåäûäóùåãî
àáçàöà ñëåäóåò, ÷òî
Ψ(
x,
0) =
P
n
C
n
ψ
n
(
x
);
äîìíîæèì ñêàëÿðíî ýòî ðàâåíñòâî íà
ψ
m
(
m
6
=
n
)
ñëåâà; òîãäà
(
ψ
m
,
Ψ(
x,
0)) =
P
n
C
n
δ
mn
=
C
m
,
òî åñòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò ëåãêî
îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì. Äî-
ìíîæåíèå òàêèõ ñëàãàåìûõ íà
e
−
i
~
E
n
t
è íîðìèðîâêà ïðèâîäÿò ê îòâåòó èñêîìîé âîëíîâîé
ôóíêöèè.
9
2.4. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Ïðèìåð (÷àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîì ÿùèêå): ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë, îïèñûâàåìûé
çàâèñèìîñòüþ
V
(
x
) =
0
,
|
x
| ≤
a
2
∞
,
|
x
|
>
a
2
Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòà ÷àñòèöû íå ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ïðå-
âîñõîäÿùèå
a
2
ïî ìîäóëþ, ïîýòîìó
∀
x
:
|
x
| ≥
a
2
ψ
(
x
) = 0
.
Çàïèøåì ôóíêöèþ Ãàìèëü-
òîíà ñèñòåìû
H
(
x, p, t
) =
p
2
2
m
; ñîîòâåòñòâåííî, ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä H
=
−
~
2
2
m
∂
2
∂ x
2
.
Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííû-
ìè êîýôôèöèåíòàìè
ψ
00
+
2
mE
~
= 0
.
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ
ψ
=
C
1
cos
ωx
+
C
2
sin
ωx
ω
=
√
2
mE
~
!
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü êðàåâûì óñëîâèÿì
ψ
±
a
2
= 0
,
òî åñòü
aω
=
πn
⇒
E
n
=
n
2
π
2
~
2
2
ma
2
.
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü ñ÷¼òíîå ÷èñëî
çíà÷åíèé ñïåêòð ãàìèëüòîíèàíà ÷àñòèöû äèñêðåòåí, à ýíåðãèÿ êâàíòîâàíà.
Ïðèìåð (ñëó÷àé ñòóïåí÷àòîãî ïîòåíöèàëà): ïóñòü ïîòåíöèàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòó-
ïåí÷àòóþ ôóíêöèþ è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
V
n
; óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä
−
~
2
2
m
d
2
ψ
dx
2
+
V ψ
=
Eψ
, ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà, íà êîòîðîì çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà
ïîñòîÿííî,
ψ
00
+
2
m
~
2
(
E
−
V
n
)
ψ
= 0
⇒
ψ
(
x
) =
A
n
e
k
n
x
+
B
n
e
−
k
n
x
, k
2
n
=
−
2
m
~
2
(
E
−
V
n
)
.
Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå
E
≥
V
n
ψ
(
x
)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ýêñïîíåíò (èëè ïðîñòî
ýêñïîíåíòó), à ïðè
E < V
n
ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âõîäÿùèõ â ðåøå-
íèå ïîñòîÿííûõ íóæíî èñïîëüçîâàòü óñëîâèÿ ãëàäêîñòè ôóíêöèè
ψ
: åñëè
x
n
êîîäèíàòà
êîíöà "ñòóïåíüêè", òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ
ψ
(
x
n
+ 0) =
ψ
(
x
n
−
0)
ψ
0
(
x
n
+ 0) =
ψ
0
(
x
n
−
0)
.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé äâóõñòóïåí-
÷àòîãî ïîòåíöèàëà, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñóíêå (âåëè-
÷èíû
E
è
U
ó÷èòûâàþò ìíîæèòåëü
2
m
~
2
):
x >
0
, òîãäà
ψ
00
+
Eψ
= 0
⇒
ψ
=
A
1
sin(
kx
+
ϕ
)
, k
=
√
E.
Ïðè
x <
0
è
E
≤
U ψ
00
+(
E
−
U
)
ψ
= 0
⇒
ψ
=
A
2
e
κx
, κ
=
√
U
−
E
(÷ëåí
ñ
e
−
κx
â ýòîé îáëàñòè íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ïðèâî-
äèò ê íåîãðàíè÷åííîìó óâåëè÷åíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè).
Óñëîâèÿ ãëàäêîñòè:
A
1
sin
ϕ
=
A
2
A
1
k
cos
ϕ
=
κA
2
⇒
sin
ϕ
=
A
2
A
1
cos
ϕ
=
A
2
A
1
κ
k
⇒
ctg
ϕ
=
r
U
−
E
E
,
A
2
A
1
=
r
E
U
.
10