ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2175
Скачиваний: 53
Одна задача почему-то не выходит
85
групп цифр
3
|
95
|
994
|
997
|
5
|
8
|
9996
|
0
|
7
|
90
|
. . .
Поставим впереди этой последовательности нуль и опустим чер-
точки. Получим десятичную дробь
z
= 0
,
3959949975899960790
. . . ,
соответствующую точке квадрата
M
(
x
;
y
)
.
Можно показать, что это соответствие между точками квадра-
та
0
6
x <
1
,
0
6
y <
1
и промежутка
0
6
z <
1
взаимно однозначно.
Теперь уже легко получить соответствие между точками всего квад-
рата
ABCD
и точками некоторого отрезка. Для этого достаточно
взять отрезок длины 3 и взаимно однозначно отобразить часть квад-
рата
0
6
x <
1
,
0
6
y <
1
на промежуток
0
6
z <
1
, а ломаную
BCD
—
на отрезок
1
6
z
6
3
.
F
Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколько
и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть
одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие мно-
жества назвали множествами мощности
континуума
(от латинского
continuum — непрерывный). Мощность континуума имеет и множе-
ство бесконечных телеграмм.
Одна задача почему-то не выходит
Мы познакомились пока что с двумя типами бесконечных мно-
жеств. Одни из них имеют столько же элементов, сколько и множе-
ство натуральных чисел, а другие — столько же, сколько и множе-
ство точек на прямой. Оказалось, что во втором множестве больше
элементов. Естественно, возникает вопрос, а нет ли «промежуточ-
ного» множества, которое имело бы больше элементов, чем множе-
ство натуральных чисел, и меньше, чем множество точек на пря-
мой? Этот вопрос получил название
проблемы континуума
. Над ним
думали многие выдающиеся математики, начиная с самого Георга
Кантора, но до самого последнего времени проблема оставалась не-
решенной.
В течение долгих лет думал над проблемой континуума один
из крупнейших математиков, основатель отечественной научной
школы теории функций действительного переменного, академик
Н. Н. Лузин. Но решение ускользало, как мираж в пустыне (правда,
86
Глава II. В мире чудес бесконечного
в ходе размышлений над этой проблемой Н. Н. Лузин решил це-
лый ряд труднейших задач теории множеств и создал целый отдел
математики — дескриптивную теорию множеств).
Однажды к Н. Н. Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика
Льва Шнирельмана, обладавшего исключительными математиче-
скими способностями (впоследствии он стал одним из виднейших
советских математиков, членом-корреспондентом АН СССР). Чтобы
проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил
ему тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал, а од-
ной была... проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой
математик пришел к Н. Н. Лузину и грустно сказал: «Одна задача
почему-то не выходит».
Неудачи попыток решить проблему континуума не были случай-
ными. Положение дел здесь напоминает историю постулата о парал-
лельных прямых. Этот постулат пытались на протяжении двух ты-
сячелетий вывести из остальных аксиом геометрии. После работ Ло-
бачевского, Гильберта и других ученых выяснилось, что он не про-
тиворечит остальным аксиомам, но и не может быть выведен из них.
Точно так же оказалось, что для подходящей аксиоматики теории
множеств утверждение о существовании промежуточной мощности
не противоречит остальным аксиомам (результат немецкого мате-
матика К. Г¨
еделя, 1938 г.), но и не выводимо из них (это почти
одновременно и независимо друг от друга доказали американец Ко-
эн, 1963–1964 гг. и чех Вопенка, 1964 г.).
Существует ли множество
самой большой мощности?
F
Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, явля-
ется мощность множества точек на прямой, то есть мощность кон-
тинуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба
не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуу-
ма самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет
множества самой большой мощности. Для любого множества
A
есть
множество, мощность которого больше мощности
A
. Этим множе-
ством является, например, множество
B
всех функций, заданных
на множестве
A
и принимающих значения 0 и 1.
Покажем сначала, что мощность множества
B
не меньше, чем
мощность множества
A
. Для этого каждой точке а множества
A
Существует ли множество самой большой мощности?
87
поставим в соответствие функцию
f
a
(
x
)
, принимающую в этой точке
значение 1, а в остальных точках значение 0. Ясно, что разным точ-
кам соответствуют разные функции. Например, если множество
A
состоит из трех точек 1, 2, 3, то точке 1 соответствует функция,
принимающая в этой точке значение 1, а точке 2 — функция, при-
нимающая в точке 1 значение 0. Эти функции не равны друг другу.
Итак, мощность множества
B
не меньше мощности множества
A
.
Покажем теперь, что эти мощности не равны друг другу, то есть,
что нет взаимно однозначного соответствия между элементами мно-
жеств
A
и
B
. В самом деле, предположим, что такое соответствие
существует.
Обозначим тогда функцию, соответствующую элементу
a
из
A
,
через
f
a
(
x
)
. Напомним, что все функции
f
a
(
x
)
принимают только
два значения 0 и 1.
Составим новую функцию
ϕ
(
x
)
, заданную равенством
ϕ
(
x
) = 1
−
f
x
(
x
)
.
Таким образом, чтобы найти значение функции
ϕ
(
x
)
в некоторой
точке
a
из
A
, надо найти сначала соответствующую этой точке функ-
цию
f
a
(
x
)
и вычесть из 1 значение этой функции при
x
=
a
. Ясно,
что функция
ϕ
(
x
)
также задана на множестве
A
и принимает зна-
чения 0 и 1. Следовательно,
ϕ
(
x
)
является элементом множества
B
.
Но тогда, по предположению,
ϕ
(
x
)
соответствует некоторой точке
b
из
A
, а значит,
ϕ
(
x
) =
f
b
(
x
)
.
Учитывая первое равенство для
ϕ
(
x
)
,
получаем, что для всех
x
из
A
1
−
f
x
(
x
) =
f
b
(
x
)
.
Положим в этом
равенстве
x
=
b
. Мы найдем тогда, что
1
−
f
b
(
b
) =
f
b
(
b
)
и потому
f
b
(
b
) =
1
2
.
Но это противоречит тому, что значения функции
f
b
(
x
)
равны 0 и 1.
Полученное противоречие показывает, что взаимно однозначного со-
ответствия между множествами
A
и
B
быть не может.
Итак, для любого множества
A
можно построить множество
B
большей мощности. Поэтому
множества самой большой мощности
не существует
.
Заметим, что множество
B
можно построить и иначе. Именно,
B
можно рассматривать как множество всех подмножеств множе-
ства
A
. В самом деле, пусть
C
— некоторое подмножество в
A
.
Возьмем функцию
f
(
x
)
, принимающую значение 1, если
x
∈
C
,
88
Глава II. В мире чудес бесконечного
и значение 0, если
x
∈
C
. Ясно, что разным подмножествам соот-
ветствуют различные функции. Наоборот, каждой функции
f
(
x
)
,
принимающей два значения 0 и 1, соответствует подмножество в
A
,
состоящее из элементов
x
, в которых функция принимает значение 1.
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между
множеством функций, заданных на множестве
A
и принимающих
значения 0 и 1, и множеством всех подмножеств в
A
.
Арифметика бесконечного
F
Мы познакомились с мощностями различных множеств. Как уже
говорилось, понятие мощности является обобщением понятия чис-
ла элементов конечного множества. Но над натуральными числами
можно производить арифметические операции — их можно склады-
вать, вычитать, умножать и т. д. Эти операции отражают некоторые
операции над множествами. Например, сложение натуральных чи-
сел соответствует сложению двух непересекающихся конечных мно-
жеств. Если в одном множестве
m
элементов, а в другом
n
элементов,
то в их сумме будет
m
+
n
элементов.
Аналогично определяются операции над мощностями. Мы бу-
дем при этом обозначать мощности особыми знаками, Например,
мощность счетного множества обозначают
ℵ
0
(
ℵ
— первая буква
древнееврейского алфавита, называемая
алеф
). Мощность континуу-
ма обозначают
c
(це готическое), мощность множества всех функций,
заданных на действительной оси, — через
f
и т. д.
Мощности можно складывать точно так же, как складывают на-
туральные числа. Именно, если мощность множества
A
равна
m
,
а мощность множества
B
равна
n
, причем
A
и
B
не пересекаются,
то через
m
+
n
обозначают мощность множества
A
+
B
. Из свойств
сложения множеств следует, что
m
+
n
=
n
+
m
,
m
+ (
n
+
p
) = (
m
+
n
) +
p
.
Однако многие правила сложения бесконечных мощностей непохо-
жи на обычные правила арифметики. Но это и не удивительно, ведь
свойства бесконечных множеств, как мы уже знаем, совсем непохожи
на свойства конечных множеств. Например, в арифметике бесконеч-
ного имеют место равенства:
1)
n
+
ℵ
0
=
ℵ
0
,
3)
ℵ
0
+
c
=
c
,
5)
c
+
f
=
f
.
2)
ℵ
0
+
ℵ
0
=
ℵ
0
,
4)
c
+
c
=
c
,
Арифметика бесконечного
89
Первое из них означает, что сумма конечного и счетного мно-
жеств является счетным множеством, второе — что сумма двух счет-
ных множеств есть счетное множество, третье — что прибавление
счетного множества к множеству мощности континуума дает мно-
жество мощности континуума. Читатель легко истолкует остальные
равенства.
Теперь посмотрим, как умножают друг на друга бесконечные
мощности. Для этого надо сначала понять, с какой операцией над
множествами связано умножение натуральных чисел. Пусть
A
—
конечное множество, состоящее из
n
элементов, а
B
— конечное
множество, состоящее из
m
элементов. Образуем новое множе-
ство
A
×
B
, элементами которого являются всевозможные пары
(
a
;
b
)
, где
a
∈
A
и
b
∈
B
. Если обозначить элементы первого мно-
жества через
a
1
, . . . , a
m
, а второго — через
b
1
, . . . , b
n
, то эти пары
можно расположить в виде следующей таблицы:
(
a
1
;
b
1
)
. . .
(
a
1
;
b
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
a
m
;
b
1
)
. . .
(
a
m
;
b
n
)
Отсюда ясно, что число таких пар равно
mn
, то есть произведению
Рис. 32
чисел
m
и
n
.
Перенесем эту операцию на бесконечные множе-
ства. Пусть
A
и
B
— бесконечные множества. Назовем
их
прямым произведением
множество
A
×
B
, элемен-
тами которого являются всевозможные пары
(
a
;
b
)
, где
a
∈
A
,
b
∈
B
. Например, если
A
— множество точек
отрезка
[0; 1]
, а
B
— множество точек отрезка
[1; 3]
,
то множество
A
×
B
можно изобразить точками пря-
моугольника, показанного на рис. 32. В самом деле,
каждой точке этого прямоугольника соответствуют ее
две проекции на оси.
Если мощность множества
A
равна
m
, а мощность множества
B
равна
n
, то через
mn
мы обозначим мощность множества
A
×
B
. Име-
ют место следующие законы умножения мощностей:
mn
=
nm
,
(
mn
)
p
=
m
(
np
)
,
m
(
n
+
p
) =
mn
+
mp
.
Далее, справедливы равенства
ℵ
0
ℵ
0
=
ℵ
0
,
ℵ
0
c
=
c
,
cc
=
c
.