ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2170
Скачиваний: 53
90
Глава II. В мире чудес бесконечного
Первое из этих равенств означает, что если
A
и
B
— счетные множе-
ства, то и множество всех пар
(
a
;
b
)
,
a
∈
A
,
b
∈
B
, счетно. Это другая
формулировка утверждения, что сумма счетного множества счетных
множеств является счетным множеством. А равенство
cc
=
c
означа-
ет, что число точек на отрезке и в квадрате — одно и то же. Ведь
c
—
это число точек на отрезке, а
cc
— число точек в прямом произведе-
нии отрезка на себя, то есть число точек в квадрате.
Возведение в бесконечную степень
F
Поскольку мы уже умеем умножать мощности друг на друга,
то любую мощность можно возвести в любую степень с натуральным
показателем. А теперь выясним, как возводить мощности в степе-
ни с бесконечным показателем, то есть выясним, что означает за-
пись
n
m
. Для этого снова надо вернуться к конечным множествам
и дать описание множества, число элементов которого равно
n
m
.
Это делается следующим образом. Пусть множество
A
содер-
жит
m
элементов, а множество
B
содержит
n
элементов. Обозна-
чим
B
A
множество, элементами которого являются всевозможные
функции, заданные на множестве
A
и принимающие значения в мно-
жестве
B
. Иными словами, каждый элемент множества
B
A
указы-
вает закон, по которому элементам
a
из
A
сопоставляются элементы
b
=
f
(
a
)
из
B
. Пусть, например, множество
A
состоит из трех чи-
сел: 1, 2, 3, а множество
B
— из двух элементов: точки и тире.
Тогда элементы множества
B
A
состоят из «функций» вида
f
(1) =
·
,
f
(2) =
·
,
f
(3) =
—, или
f
(1) =
—,
f
(2) =
·
,
f
(3) =
·
. Эти «функции»
можно просто задавать последовательностями точек и тире, состоя-
щими из трех знаков. Легко видеть, что число таких последователь-
ностей равно 8, то есть
2
3
. Именно, имеем такие последовательности:
1)
· · ·
;
2)
· ·
— ;
3)
·
—
·
;
4)
·
— — ;
5) —
· ·
;
6) —
·
— ;
7) — —
·
;
8) — — — .
Мы получили
8 = 2
3
последовательностей. Это не случайно. Если
множество
A
состоит из
m
элементов, а множество
B
— из
n
эле-
ментов, то
B
A
состоит из
n
m
элементов. Предоставляем читателю
самому доказать это утверждение.
А теперь мы уже можем объяснить, что значит символ
n
m
, если
m
и
n
— бесконечные мощности. Именно, возьмем множество
A
мощно-
сти
m
и множество
B
мощности
n
и обозначим через
B
A
множество
По порядку номеров...
91
всех «функций», заданных на
A
и принимающих значения в
B
. Его
мощность и есть
n
m
.
Выше мы показали, что для любого множества
A
мощность мно-
жества функций, заданных на
A
и принимающих два значения 0
и 1, больше, чем мощность самого множества
A
. Это значит, что
для любой мощности
m
выполняется неравенство
2
m
>
m
.
Отметим
еще, что
c
= 2
ℵ
0
.
В самом деле, мы видели выше, что множество всех
бесконечных телеграмм имеет мощность континуума. Но каждая
бесконечная телеграмма есть не что иное, как функция, заданная
на множестве натуральных чисел и принимающая лишь два значе-
ния: точка и тире. Поэтому множество всех бесконечных телеграмм
имеет мощность
2
ℵ
0
. Тем самым наше равенство доказано.
По порядку номеров...
Мощности множеств (или, как их еще называют,
кардинальные
числа
) выполняют лишь половину работы натуральных чисел. Ведь
натуральные числа применяются не только для того, чтобы отве-
тить на вопрос «сколько?», но и для того, чтобы ответить на вопрос
«какой по порядку?». Иными словами, мы говорим не только «два»,
«пять», «двадцать», но и «второй», «пятый», «двадцатый». А мощно-
сти ничего не говорят о том, в каком порядке идут элементы. И хотя
множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько
и множество всех целых чисел, упорядочены они совсем по-разно-
му. У множества натуральных чисел есть самый первый элемент,
а у множества всех целых чисел первого элемента нет.
Поэтому, чтобы изучить порядок расположения элементов в мно-
жестве, кардинальных чисел (мощностей) недостаточно, нужны но-
вые понятия. Сначала введем понятие
упорядоченного множества
.
Говорят, что множество
A
упорядочено, если для любой пары его
элементов определено понятие неравенства
a < b
, обладающее следу-
ющими свойствами:
1) если
a < b
, то
a
6
=
b
;
2) если
a < b
и
b < c
, то
a < c
.
Легко упорядочить множества всех действительных чисел, всех
рациональных чисел, всех натуральных чисел и т. д. В множество
всех комплексных чисел тоже можно ввести порядок. Именно, мы
скажем, что
a
+
bi < c
+
di
, если либо
a < c
, либо
a
=
c
, но
b < d
.
Например,
2 + 15
i <
3 + 10
i,
2 + 4
i <
2 + 5
i
. Аналогичным образом
92
Глава II. В мире чудес бесконечного
можно упорядочить множество всех многочленов. Разумеется, одно
и то же множество можно упорядочить различными способами.
Например, рассмотрим множество всех различных слов, входя-
щих в эту книгу. Это множество можно, например, упорядочить
так: взять книгу и, читая ее подряд, выписывать все встречающиеся
в ней слова в том порядке, как они встречаются. В этом случае закон
упорядочивания можно сформулировать так: слово
A
предшествует
слову
B
, если при чтении книги подряд слово
A
встречается ранее
слова
B
.
Можно, однако, поступить и другим образом: считать, что сло-
во
A
предшествует слову
B
, если слово
A
в алфавитном порядке
предшествует слову
B
. Ясно, что эти два упорядочивания одного
и того же множества окажутся различными.
Говорят, что два упорядоченных множества
A
и
B
имеют один
и тот же
порядковый тип
, если между ними можно установить вза-
имно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов.
Иными словами, если
a
1
↔
b
1
и
a
2
↔
b
2
, то из
a
1
< a
2
следует, что
b
1
< b
2
. Например, любые два отрезка имеют один и тот же поряд-
ковый тип. Отображение, показанное на рис. 28, сохраняет порядок
точек. Сохраняет порядок и отображение всей прямой на промежу-
ток (отрезок с отброшенными концами), изображенное на рис. 29.
А вот отрезок и прямая имеют разные порядковые типы. Хотя меж-
ду ними и можно установить взаимно однозначное соответствие, это
соответствие обязательно нарушит порядок — ведь у отрезка есть
начальная и конечная точки, а у всей прямой их нет.
Вполне упорядоченные множества
Даже счетное множество может быть упорядочено самыми раз-
личными способами. Ведь счетными являются и множество всех на-
туральных чисел, и множество всех целых чисел, и множество всех
рациональных чисел. А упорядочены эти множества совсем по-раз-
ному. В множестве натуральных чисел есть самый первый элемент
(число 1), а ни во множестве всех целых чисел, ни во множестве
всех рациональных чисел первого элемента нет. С другой стороны,
во множествах натуральных и целых чисел можно указать пары
элементов, между которыми нет других элементов этих множеств
(например, числа 5 и 6), а во множестве всех рациональных чисел
между любыми двумя элементами лежит бесконечно много других
элементов того же множества.
Вполне упорядоченные множества
93
Чтобы хоть как-нибудь разобраться в этом разнообразии упоря-
дочений, Г. Кантор выделил особый класс упорядоченных множеств,
некоторые свойства которых весьма напоминали свойства множества
натуральных чисел. Если во множестве натуральных чисел выбрать
любое непустое подмножество, то среди его элементов обязательно
окажется самый меньший, самый левый. Множества, обладающие
таким свойством, Г. Кантор назвал вполне упорядоченными. Ины-
ми словами, упорядоченное множество
A
называют
вполне упорядо-
ченным
, если любое его непустое подмножество имеет первый эле-
мент.
Как мы уже говорили, самым простым вполне упорядоченным
множеством является множество натуральных чисел. Его можно
изобразить точками 1, 2, 3,
. . .
на луче
(0;
∞
)
. Но отображение
прямой на промежуток, изображенное на рис. 29, сохраняет поря-
док точек. При этом луч
(0;
∞
)
переходит в промежуток
(0; 1)
.
Поэтому вместо точек 1, 2, 3,
. . .
можно брать точки на промежутке
(0; 1)
. Мы получим бесконечное множество точек
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .
,
приближающихся к точке 1 (см. рис. 33
а
).
а
)
б
)
Рис. 33
Рассмотрим теперь точку 1. Эту точку уже невозможно зануме-
ровать обычными числами — мы истратили их на нумерацию точек
a
1
, . . . , a
n
, . . .
Чтобы занумеровать и эту точку, нам понадобится
новое число, не являющееся натуральным. Так как точка 1 лежит
за всеми точками
a
1
, . . . , a
n
, . . .
, которые уже занумерованы с помо-
щью обычных чисел, то это новое число назовем «трансфинитным»
(от латинских слов trans — через, finitus — конечный). Принято
обозначать трансфинитное число, сразу идущее за всеми натураль-
ными числами 1, 2, 3,
. . .
, через
ω
. Поэтому точку 1 обозначим
a
ω
.
Множество
A
всех точек
a
1
, . . . , a
n
, . . . , a
ω
также является вполне
упорядоченным (подумайте, почему!).
94
Глава II. В мире чудес бесконечного
А теперь возьмем и сдвинем получившееся множество
A
вперед
на 1. При этом точка
a
1
перейдет в точку
a
0
1
=
a
1
+ 1
, точка
a
2
—
в точку
a
0
2
=
a
0
1
+ 1
и т. д. В результате получится множество
B
,
состоящее из точек
a
0
1
, . . . , a
0
n
, . . . , a
0
ω
. Нетрудно проверить, что мно-
жество
A
+
B
вполне упорядочено. Постараемся занумеровать его
элементы. Точки множества
A
мы уже умеем нумеровать. А точка
a
0
1
идет сразу после точки
a
ω
(см. рис. 33
б
). Поэтому ее естествен-
но занумеровать трансфинитным числом
ω
+ 1
, то есть положить
a
0
1
=
a
ω
+1
. Точно так же следующую точку, то есть
a
0
2
, естественно за-
нумеровать трансфинитным числом
ω
+ 2
и т. д. А точку
a
0
ω
, которая
идет за всеми точками
a
ω
+1
, . . . , a
ω
+
n
, . . .
, занумеруем трансфинит-
ным числом
2
ω
:
a
0
ω
=
a
2
ω
.
Читатель, вероятно, уже догадался, что мы теперь сдвинем точ-
ки множества
A
на 2 вправо и получим новые точки, которые на-
до нумеровать трансфинитными числами
2
ω
+ 1
, . . . ,
2
ω
+
n, . . . ,
3
ω
.
Продолжая таким же путем, мы получим вполне упорядоченное мно-
жество, состоящее из точек, нумеруемых трансфинитными числами
вида
kω
+
n
, где
k
и
n
— натуральные числа.
Но на этом построение трансфинитных чисел не заканчивается.
Ведь у нас снова получилось множество, расположенное на всем луче
(0;
∞
)
. При этом на каждом отрезке
[
n
;
n
+ 1]
этого луча есть беско-
нечно много точек нашего множества. Отобразим снова луч
(0;
∞
)
на промежуток
(0; 1)
. Мы получим множество точек, приближаю-
щихся к точке 1. Чтобы теперь занумеровать точку 1, понадобится
новое трансфинитное число, которое обозначают через
ω
2
. А даль-
ше строят трансфинитные числа
ω
2
+ 1
, . . . , ω
3
, . . . , ω
n
, . . .
и даже
ω
ω
.
Есть и такое трансфинитное число:
ω
ω
ω
ω
· ·
·
но мы не будем подробнее останавливаться на этих вопросах.
Непонятная аксиома
Мы уже говорили, что некоторые множества можно упорядочи-
вать различными способами. А можно ли вообще упорядочить любое
множество, и если можно, то всегда ли удается из данного множества
получить вполне упорядоченное? Над этой задачей работали многие
математики — ведь из положительного решения следовало бы, что