ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2287
Скачиваний: 55
Непонятная аксиома
95
любое множество можно перенумеровать с помощью трансфинитных
чисел.
Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 го-
ду Цермело: ему удалось доказать, что всякое множество можно
вполне упорядочить (Г. Кантор предугадал этот ответ еще в 1883 го-
ду). Однако доказательство Цермело понравилось далеко не всем
математикам. Дело в том, что это доказательство опиралось на од-
но утверждение, которое ему самому, да и другим математикам,
казалось далеко не очевидным. Это утверждение, названное впослед-
ствии
аксиомой выбора
или
аксиомой Цермело
, заключается в сле-
дующем.
Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок.
Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сло-
жить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать
и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок,
а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома
выбора:
Если дано бесконечное множество бесконечных множеств,
то из каждого множества можно выбрать по одному элементу,
не указывая заранее закона выбора
.
Вот в этих-то последних словах все дело — аксиома выбора при-
водит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается,
например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя
было упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения
из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики
пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной.
Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все
более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с помощью
аксиомы выбора, совершенно противоречили наглядности. Поэтому
один из видных математиков Бертран Рассел так высказался об этой
аксиоме:
«Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься
в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под
конец же перестаешь понимать, что же она означает».
Тем не менее большинство математиков спокойно пользуется
в своих исследованиях аксиомой выбора.
В последнее время удалось доказать, что с аксиомой выбора дело
обстоит так же, как и с континуум-гипотезой, то есть что эта аксиома
не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не выво-
дима из них.
96
Глава II. В мире чудес бесконечного
Из одного яблока — два
Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы
выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эст-
раде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек,
потом опустил туда шарик, а вынул
. . .
два; опустив два шарика, он
вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все
понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится,
«ловкость рук». Но в теории множеств такие чудеса бывают.
Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом
на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих
частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как,
съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек це-
лый апельсин).
Ловкость рук...
Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные
части, что из двух частей можно составить целый шар того же ра-
диуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые
тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же
шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему
шара. Жаль, что эта проблема решена только теоретически, иначе
из одного яблока можно было бы сделать два таких же яблока, потом
Конечные разбиения
97
четыре, потом восемь и т. д. Конечно, практическое решение задачи
и невозможно — оно противоречило бы закону сохранения материи.
Такое разбиение шара на четыре части и основано как раз на ак-
сиоме выбора.
О других, также весьма странных следствиях этой аксиомы мы
не будем сейчас говорить.
Конечные разбиения
F
Читатель, вероятно, помнит из курса геометрии, что такое рав-
носоставленные фигуры. Две фигуры
X
и
Y
называют
равносостав-
ленными
, если их можно разбить на фигуры
X
1
, . . . , X
m
и
Y
1
, . . . , Y
m
соответственно — так, что фигуры
X
1
и
Y
1
одинаковы, фигуры
X
2
и
Y
2
одинаковы,
. . .
, фигуры
X
m
и
Y
m
одинаковы. Например, ясно,
что квадрат со стороной
a
и равнобедренный прямоугольный тре-
угольник с основанием
2
a
равносоставлены (рис. 34).
Рис. 34
Но с точки зрения теории множеств это определение не столь
уж ясно. Ведь при разрезании фигуры мы как бы удваиваем точ-
ки, лежащие на линии разреза: из каждой такой точки получаются
две точки — по одной в каждой части. И на самом деле, разбиение
квадрата
ABCD
и треугольника
EF G
на рис. 34 не годится в смыс-
ле теории множеств: после разрезания треугольника и складывания
из полученных частей квадрата точки катетов
EF
и
F G
сливаются
и дают одну диагональ
AC
квадрата, зато точки высоты
F H
«раз-
дваиваются» и дают стороны квадрата
AB
и
CD
.
Поэтому в теории множеств равносоставленность фигур надо
определять по-другому. Назовем фигуры
X
и
Y
равносоставлен-
ными, если их можно разбить на конечное множество
попарно
непересекающихся
частей
X
=
X
1
∪
X
2
∪
. . .
∪
X
m
,
Y
=
Y
1
∪
Y
2
∪
. . .
∪
Y
m
98
Глава II. В мире чудес бесконечного
так, что
X
1
и
Y
1
одинаковы,
X
2
и
Y
2
одинаковы,
. . .
,
X
m
и
Y
m
оди-
наковы.
Оказывается, что и с этой точки зрения квадрат
ABCD
равносо-
ставлен с треугольником
EF G
. Однако теперь доказать это утвер-
ждение гораздо труднее. Читатель, желающий познакомиться с этим
доказательством, может найти его в книге В. Серпинского «О теории
множеств», изд-во «Просвещение», 1966, с. 49–52.
Польские математики С. Банах и А. Тарский доказали, что необ-
ходимым и достаточным условием того, чтобы два плоских много-
угольника были равносоставлены в смысле теории множеств, явля-
ется равенство их площадей. Казалось бы естественным ожидать,
что для многогранников таким условием является равенство их объе-
мов. Однако это совсем не так. С помощью теоремы выбора С. Банах
и А. Тарский доказали, что любые два (ограниченных) многогранни-
ка равносоставлены в смысле теории множеств, даже если их объемы
различны. Более того, они доказали, что шар равносоставлен в этом
смысле с кубом и вообще любые два ограниченных тела равносо-
ставлены. Разумеется, как и в случае разбиения шара, о котором
мы говорили выше, равносоставленность шара и куба доказывается
лишь с помощью операции произвольного выбора. Указать конкрет-
ный способ разбиения здесь невозможно. В предлагаемом же разби-
ении получаются очень уж «чудные» части: у них нет объемов, они,
как говорят математики, неизмеримы.
Глава III. Удивительные функции
и линии, или прогулки
по математической кунсткамере
Как развивалось понятие функции
Большинство математических понятий прошло долгий путь раз-
вития. Первоначально они возникали как обобщение каких-то на-
глядных представлений, повседневного опыта. Постепенно из этих
наглядных представлений путем отбрасывания частного и случай-
ного выкристаллизовывались точные математические определения.
Но часто оказывалось, что эти определения охватывают не толь-
ко те объекты, изучение которых привело к формулировке данного
определения, но и многие объекты, о которых раньше и не думали.
Начиналось изучение этих новых объектов, переход к абстракции
более высокого уровня, а потом на этой базе — расширение первона-
чально введенных определений. При этом в математические понятия
вкладывался все более и более широкий смысл, они охватывали все
более и более широкий круг объектов, получали все более разнооб-
разные приложения.
Какой большой путь прошло, например, понятие числа от до-
исторических времен, когда умели считать лишь «один, два, много»,
до наших дней! Натуральные числа, дроби, отрицательные числа,
комплексные числа, кватернионы, гиперкомплексные числа... И надо
сказать, что не всегда новое обобщение того или иного понятия с вос-
торгом встречалось всеми математиками. Например, долгое время
не только комплексные, но даже отрицательные числа не признава-
лись многими учеными за настоящие.
Сложный путь прошло и понятие функции. Идея зависимости
некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке.
Но там величины имели лишь геометрическую природу. Даже Нью-
тон, один из основателей математического анализа, при рассмот-
рении зависимых величин использовал геометрический язык. Хотя
фактически понятием функции пользовались уже Ферма и Декарт,