ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2160
Скачиваний: 53
120
Глава III. Удивительные функции и линии
Что такое замкнутая линия? Почему она является границей об-
ласти? На сколько частей замкнутая линия разбивает плоскость,
и какую из этих частей рассматривают?
На все эти вопросы математики XVIII века не давали ответа. Они
просто рисовали овал и думали, что этим все сказано. А в XIX веке
рисункам уже не верили. Для аналитиков вопрос «что такое линия?»
тоже стал одним из самых жгучих.
Однако прошло много времени, прежде чем удалось дать на него
исчерпывающий ответ.
Линия — след движущейся точки
Для того чтобы дать строгое определение линии, надо было исхо-
дить из тех наглядных образов, которые привели к созданию этого
математического понятия: длинных и тонких нитей, лучей света,
длинных и узких дорог. Во всех этих случаях длина настолько боль-
ше ширины, что шириной можно пренебречь. В результате матема-
тической идеализации мы и приходим к понятию линии, не имеющей
ширины.
Первым попытался дать строгое определение линии французский
математик Камилл Жордан. Он исходил из того, что траектория
движения очень малого тела представляет собой узкую и длинную
трубочку. По мере уменьшения размеров тела эта трубочка стано-
вится все уже и уже и в пределе превращается в траекторию движу-
щейся точки — линию, не имеющую ширины. Этот образ Жордан
и принял за определение линии. Именно, линией он называл траек-
торию движущейся точки. При этом точка должна была двигаться
непрерывно, не делая скачков.
Более точно определение Жордана звучало следующим образом.
Для того чтобы задать положение движущейся точки, надо задать ее
координаты в каждый момент движения. Так как движение продол-
жается какой-то конечный промежуток времени, то, не теряя общно-
сти, можно считать, что этим промежутком является
[0; 1]
. Иными
словами, точка начинает двигаться в некоторый момент времени,
принимаемый за начало отсчета, и кончает движение по истечении
некоторой единицы времени (одной секунды, минуты, года и т. д.).
В каждый момент времени
t
в течение этого промежутка задаются
координаты движущейся точки. Таким образом, координаты точки
зависят от момента времени
t
, являются его функциями. Обозначим
Линия — след движущейся точки
121
эти функции (для случая, когда движение точки происходит в одной
плоскости) через
f
(
t
)
и
g
(
t
)
:
x
=
f
(
t
)
,
y
=
g
(
t
)
.
Условие, что точка движется непрерывно, означает, что функ-
ции
f
(
t
)
и
g
(
t
)
непрерывны в каждой точке отрезка
[0; 1]
. Грубо
говоря, при малом изменении
t
функции
f
(
t
)
и
g
(
t
)
должны мало
изменяться. Точнее, если
t
1
, . . . , t
n
, . . .
приближаются к некоторому
значению
t
,
lim
n
→∞
t
n
=
t
, то имеют место равенства
lim
n
→∞
f
(
t
n
) =
f
(
t
)
и
lim
n
→∞
g
(
t
n
) =
g
(
t
)
.
Определение Жордана оказалось довольно удачным. Все линии,
с которыми математики в то время имели дело, оказались кривыми
Рис. 49
в смысле Жордана, или, как говорят,
жордановыми кривыми
. Возьмем, напри-
мер, окружность радиуса 1. Длина этой
окружности равна
2
π
. Поэтому, чтобы
обежать окружность за единицу времени,
точка должна двигаться со скоростью
2
π
.
Поэтому за время
t
она пробежит дугу
2
πt
. Из рис. 49 ясно, что ее координаты
в момент времени
t
задаются формулами
x
= cos 2
πt,
y
= sin 2
πt.
Эти уравнения называют
параметриче-
скими уравнениями окружности
. А для
линии, изображенной на рис. 50 (ее называют
астроидой
), парамет-
рические уравнения имеют следующий вид:
x
= cos
3
2
πt,
y
= sin
3
2
πt.
Жордановыми линиями могут быть и линии, составленные из раз-
личных кривых. Возьмем, например, контур полукруга, состоящий
из полуокружности радиуса 1 и диаметра (рис. 51). Движущаяся
точка пробегает за половину времени полуокружность, а за вторую
половину времени — диаметр. Выражения для координат при движе-
нии по окружности мы уже знаем. При движении же по диаметру
y
122
Глава III. Удивительные функции и линии
Рис. 50
Рис. 51
остается равным нулю, а
x
меняется от
−
1
до 1. В результате полу-
чаем следующие параметрические уравнения контура:
x
=
cos 2
πt,
если
0
6
t
6
1
2
,
4
t
−
3
,
если
1
2
6
t
6
1;
y
=
sin 2
πt,
если
0
6
t
6
1
2
,
0
,
если
1
2
6
t
6
1
.
Теорема очевидна, доказательство — нет
Жордану удалось, используя введенное им понятие кривой, уточ-
нить смысл той самой фразы из учебников математического анализа,
о которой мы уже говорили: «Пусть замкнутая линия Г ограничива-
ет область
G
». Замкнутая жорданова кривая — это кривая, которая
при
t
= 1
попадает в ту же точку, где она была при
t
= 0
. Если при
этом различным моментам времени
t
1
и
t
2
, лежащим между 0 и 1,
соответствуют разные точки кривой, то эта кривая не пересекает
саму себя.
Жордан доказал следующую теорему.
Замкнутая жорданова кривая Г, не имеющая точек самопересе-
чения, разбивает всю плоскость на две части. Две точки, принадле-
жащие одной и той же части, можно соединить ломаной, не пересе-
кающей кривую Г, а точки из разных частей нельзя соединить та-
кой ломаной, любая соединяющая их ломаная пересекает кривую Г
(рис. 52).
Эта теорема кажется совершенно очевидной. Однако ее доказа-
тельство потребовало очень тонких рассуждений. Даже в случае, ко-
гда линия Г является замкнутым многоугольником, доказательство
Кривая проходит через все точки квадрата
123
остается очень сложным. Попробуйте сразу сказать, можно ли соеди-
нить ломаной, не пересекающей контура Г, точки
A
и
B
на рис. 53.
Рис. 52
Рис. 53
Две части, на которые замкнутая жорданова линия разбивает
плоскость, называют внутренней и внешней областями, ограничен-
ными этой линией. Таким образом, понятие области, ограниченной
замкнутой линией, приобрело точный смысл.
Кривая проходит через все точки квадрата
Когда Жордан дал свое определение кривой, то сначала каза-
лось, что цель достигнута, получено строгое определение понятия
линии, не опирающееся на наглядность. Но вскоре оказалось, что
это не так — определение Жордана охватывало не только привычные
для математиков линии, но и фигуры, которые никто бы линиями
не назвал. Уж со всюду колючими линиями математики как-ни-
будь примирились бы. Но назвать линией квадрат, на это ни у кого
не хватило бы духу. А оказалось, что и квадрат, и треугольник
(не периметр треугольника, а сам треугольник со всеми его внут-
ренними точками), и круг являются линиями в смысле Жордана.
Доказал это итальянский математик Пеано.
Мы уже рассказывали, что Кантор установил взаимно однознач-
ное соответствие между точками отрезка и квадрата, то есть по-
казал, что на отрезке ровно столько же точек, сколько и на квад-
рате. Это соответствие не было непрерывным. Когда точка двига-
лась по отрезку, соответствующая ей точка на квадрате не ползла
124
Глава III. Удивительные функции и линии
подобно жуку, а прыгала как блоха. В самом деле, возьмём на от-
резке точки
0
,
50000000
. . .
и
0
,
499999990000000
. . .
Эти точки доволь-
но близки друг к другу. Но соответствующие им точки на квадра-
те далеки друг от друга. Ведь первой из них соответствует точка
(0
,
50000
. . .
; 0
,
0000
. . .
)
, лежащая на нижней стороне квадрата, а вто-
рой точка
(0
,
4999000
. . .
; 0
,
9999000
. . .
)
, лежащая у самой верхней сто-
роны квадрата. И если мы будем увеличивать число девяток у вто-
рой точки, приближая ее к первой, то соответствующие точки квад-
рата и не подумают приближаться друг к другу.
Таким образом, канторово отображение отрезка на квадрат, хо-
тя и было взаимно однозначным, но не было непрерывным. Оно
не давало жордановой кривой. Пеано удалось построить другое отоб-
ражение множества точек отрезка на множество точек квадрата, при
котором близким точкам на отрезке соответствовали близкие точки
квадрата. Иными словами, Пеано удалось построить кривую линию
(в смысле Жордана), которая прошла через все точки квадрата!
Разумеется, мы не можем нарисовать кривую Пеано, разве что,
подражая художнику-абстракционисту, нарисуем черный квадрат.
Но ведь на этом квадрате все равно нельзя будет понять, где начина-
ется кривая, где она кончается, как она обходит квадрат. Поэтому по-
следуем примеру не художника-абстракциониста, а физика Перрена
и будем изображать положение движущейся точки прямолинейными
отрезками. Чем меньше будут промежутки времени между отдель-
ными наблюдениями, тем точнее получившаяся ломаная изобразит
кривую Пеано.
Сначала будем отмечать положение движущейся точки через
каждые
1
4
с. Иными словами, отметим ее положение в начале дви-
жения, через
1
4
с после начала движения, через
1
2
с после начала
движения, через
3
4
с и в конце движения. Мы получим 5 точек.
Соединив их, получаем линию
ABCDE
, изображенную на рис. 54
а
.
Разумеется, эта линия не проходит через все точки квадрата.
Но мы уменьшим промежутки времени между отдельными наблю-
дениями и будем отмечать положение точки каждые
1
16
с. Линия
станет более извилистой, увеличится число изломов, и она примет
вид, изображенный на рис. 54
б
. Если еще чаще отмечать положение
движущейся точки, то получим линию, изображенную на рис. 54
в
.
Мы видим, что линия все плотнее и плотнее заполняет квадрат, все
ближе и ближе подходит к каждой его точке. В пределе, если все