Файл: азастан республикасы білім жне ылым министрлігі абай атындаЫ аза лтты педагогикалы университеті.docx

Енді Ньютон әдісінің жинақтылығын бағалайық.

Тэйлор формуласын қолдану арқылы

формуласын аламыз. Мұнда Осыдан . (3.11)

(3.10) формуласынан (3.11) формуласын ескере отырып, мына формуланы аламыз:

.

Егер деп белгілесек, онда

, ( 3.12)

Осыдан Ньютон әдісінің жинақталу жылдамдығы шығады.

3.Қиюшылар әдісі. (Хорда әдісі)

Берілген теңдеуі (3.13)

түріндегі теңдеумен алмастырайық және функциясы Ньютон әдісіндегі бірінші төрт шартты қанағаттандырсын. Бұл әдісті Ньютон әдісіндегі функциясын бөлінген айырымдармен алмастыру арқылы алуға болады. Мысалы нүктесі мен нүктесі өте жақын орналасқан десек, онда деуге болады. Сондықтан десек, онда теңдеуін былай жазуға болады: (3.14)

Ал итерациялық процесс былайша жазылады : . (3.15)

Мұнда нүктесін шарты міндетті түрде орындалатындай етіп аламыз.

Егер (3.10) формуладағы -ді былайша жуықтасақ:

онда мынандай итерациялық формулаға келеміз:

, (3.16)

Бұл әдіспен теңдеуді шешу үшін теңсіздігін қанағат- тандыратын -бастапқы мәндер белгілі болуы керек.

Енді осы әдістің геометриялық мағынасына тоқталайық (2-сурет).

нүктелері арқылы түзу жүргізсек, онда оның теңдеуін былай жазуға болады: . (3.17)

Енді осы түзу осін нүктелерінде қиып өтсе, онда қиылысу нүктесінде болғандықтан (3.17) теңдеуін былай жазуға болады:

Сондықтан (3.15), (3.16) формулалар қиюшылар әдісі деп аталады.

Немесе (3.17) формуласын нүктелері арқылы тұрғызылған бір дәрежелі интерполяциялық көпмүше деп қарап, ал -ді осы көпмүшенің түбірі деп қарауға болады.
2
-сурет

Енді осы әдістің жинақтылығын қарастырайық.

,

болғандықтан теңдігін аламыз. Егер болса, онда . (3.18)

Осы формуладан -нің мәнін бақылау арқылы алдын ала берілген дәлдікпен теңдеуді шешуге болады.



4.Қақ бөлу әдісі. (биссекция әдісі)

Айталық, (3.19)

теңдеуі берілсін және сонымен қоса функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болсын. Теңдеудің алдын ала дәлдікпен берілген түбірін табу үшін кесіндісін қақ бөлеміз, яғни . Егер болса, онда теңдеудің шешуін тапқанымыз, ал олай болмаған жағдайда немесе кесінділерін қарастырамыз, егер болса, онда деп аламыз, олай болмаса , деп аламыз. Осыдан кейін кесіндісін қақ бөлу арқылы табамыз. Егер болса, онда теңдеуді жуық түбірі табылды деп есептейміз, ал олай болмаған жағдайда кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Осы процестерді қайталау арқылы , ,…, кесінділер тізбегін аламыз. Бұл кесіндіде болғандықтан және теңдігі орындалатындықтан тізбектерінің ортақ шегі бар, яғни

---

үзіліссіз болғандықтан Осы теңсіздіктен , яғни -теңдеудің түбірі. Сонымен қоса

. (3.20)

Бұл әдісті көп жағдайларда, теңдеудің түбірлерінің бастапқы жуық мәнін табуға қолдануға болады.

Әдісте функцияның туындыларына ешқандай шек қойылмайтын- дықтан және алгоритмі қарапайым болу себепті, әдіс ЭВМ-де теңдеуді шешуге өте қолайлы.

Лекция 16-17. Анықталған интегралды жуықтап есептеу.

Жалпы түсініктер және анықталған интегралдарды есептеудің қарапайым жолдары.
Егер кесіндісінде үзіліссіз және алғашқы образы- белгілі болса, онда Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша:

(1.1)

Бірақ, көп жағдайда функциясын табу өте күрделі мәселе болғандықтан, (1.1) формуласы іс жүзінде көп қолданылмайды. Ал кейбір уақыттарда функциясы таблица түрінде берілетіндіктен алғашқы образ деген сөздің өзі мағынасын жоғалтады.

Сондықтан (1.2)

интегралын есептеу үшін (1.3)

ақырғы қосындысы қолданылады. Мұндағы -сандық коэффициенті кесіндісінің нүктелері,

Мына жуықтап алынған теңдік (1.4)

квадратуралық формуладеп аталынады. Ал (1.3)-квадратуралық қосынды, -квадратуралық формуланың түйіндері, -kвадратуралық формуланың коэфициентідеп аталынады.

(1.5)

квадратуралық формуланың дәлдігіделінеді. Квадратуралық формуланың дәлдігі квадратуралық формуланың түйіндері- -ның орналасуына, квадратуралық формуланың коэффициенттері- -ның алу жолдарына тікелей байланысты.

Енді берілген анықталған интегралды есептеу үшін кесіндісін тең кесіндіге бөлеміз, яғни нүктелер жиынын аламыз да

(1.6)

теңдігін қарастырамыз.

кесіндісіндегі интегралдың мәнін табу үшін

(1.7)

интегралының аралықтағы мәнін табу жеткілікті, өйткені (1.6) формуласы арқылы интегралдың кесіндісіндегі мәнін табу онша қиындық туғызбайды.
1.Тік төртбұрыш әдісі.

(1.7) интегралын жуықтап былайша есептейміз:

(1.8)

мұндағы

Бұл формуланың геометриялық мағынасы мынандай:

2-сурет
АВСД қисық сызықты трапецияның ауданы биіктігі АВД^/C^/ тік төртбұрышының ауданымен алмастырылады (2-сурет).

Сондықтан бұл формуланы тік төртбұрыш әдісі дейді.

(1.8) формуласының дәлдігі

. (1.9)

Тейлор формуласы арқылы оңай табылады.

Шынында да ді былайша жазып

= (1.10)

және +

десек, онда (1.10) формуласынан

(1.11)

---

формуласын аламыз.

Егер М = деп R -ді жоғарыдан бағаласақ ,онда

Яғни (1.12)

болғандықтан, h 0 ұмтылғандағы дәлдік 0(h ) болады.

Енді (1.8) теңдіктің i-дің 1 ден N ге дейінгі қосындысын қарастырсақ

(1.13)

болады. Сондықтан .

Осыдан

.

Егер десек, онда

, (1.14)

яғни тік төртбұрыш әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі-0(h ).

2.Трапеция әдісі. (1.7) интегралындағы функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған

бір дәрежелі Лагранж көпмүшесімен алмастырсақ, онда

(1.15)

мұндағы

(1.15) формуласын аралығында интегралдау арқылы

(1.16)

теңдігін аламыз. Осыдан

. Бұл формула трапеция әдісі деп аталады,себебі

3-сурет
сызықтарымен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы трапециясының ауданымен алмастырылады (3сурет).

(1.16) формуладан бұл әдістің жіберетін қатесі

(1.18)

екенін көреміз. Ал жоғарыдан бағаласақ

, 19)

Енді (1.2) интегралын былай есептесек:

(1.20)

Онда

(1.21)

трапеция әдісінің жалпы формуласы шығады.

Ал жіберілетін қате

(1.22)

Жоғарыдан бағаласақ

, (1.23)

.

Сонымен, трапеция әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі екенін көреміз.
3.Парабола әдісі. (Симпсон формуласы).

(1.7) интегралын жуықтап есептеу үшін функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған Лагранж көп мүшесімен алмастырамыз. Яғни

. (1.24)

Осыдан

Сонымен мына формуланы –

(1.25)

Симпсон немесе парабола формуласы деп атайды.

Бұл формуланың парабола формуласы деп атайтын себебі

сызықтарымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы нүктелері арқылы өтетін парабола және түзулерімен шектелген трапецияның ауданымен алмастырылады (4-сурет).

Симпсон формуласы кесіндісінде былайша жазылады

Бөлшекті индекстерден құтылу үшін

десек,онда Симпсон формуласын былайша жазамыз:

. (1.26)


4-сурет

О х у x_i-1x_i-1/2x_iy=f(x) y=L₂(x) + -

Симпсон формуласының жіберетін қатесін қарастырардың алдында, оның үш дәрежелі көпмүше үшін дәл екенін көрсетейік. Шынында да

болса, онда

Осыдан

Екіншіден

екенін ескерсек

формуласын аламыз.

Сонымен Симпсон формуласының үшінші дәрежеге дейінгі кез келген көпмүшелер үшін дәл екенін көрдік.

---

Енді Симпсон формуласының қатесін қарастыру үшін мына шарттарды қанағаттандыратын

интерполяциялық Эрмит көпмүшелігін пайдаланамыз .

Симпсон формуласы кез келген үш дәрежелі көпмүшеліктер үшін дәл болғандықтан

(1.28)

Енді

десек,онда

мұндағы (1.29)
-Эрмит көпмүшесінің жіберетін қатесі.

кесіндісінде көпмүшесі өзінің таңбасын өзгертпейтін болғандықтан

Сондықтан Симпсон формуласының жіберетін қатесi

. (1.30)

Hемесе

(1.31)

Симпсон формуласының кесіндісінде жіберетін қатесі

Болғандықтан (1.32)

Яғни Симпсон әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі .

Лекция 18-21. Жәй дифференциалдық теңдеулерге қойылған Коши есебін шешу

1. Эйлер әдісі
Айталық, функциясы облысында үзіліссіз және Липшитц шарттарын қанағаттандырсын, яғни

(1.1)

теңсіздігі орындалсын, онда жоғарыдан шектелген, яғни , және

(1.2)

(1.3)

есебінің бір ғана шешуі бар.

Енді осы шешуді табу үшін (7)- ші интегралға тік төртбұрыш әдісін қолдану арқылы (6) теңдіктен, торында мына теңдікті аламыз:

(1.4)

Осыдан кезде 0(һ) нөлге ұмтылыды деп шешсек, онда

деп белгілеу арқылы

, (1.5)

теңдіктерін аламыз.

5. 
   теңдігін, әдетте, Эйлер әдісі деп атайды.
   

Енді кезде осы әдіс бойынша табылған тізбегі (1.2)-(1.3) есебінің шешуіне жинақталатынын, яғни

болатынын қарастырайық.

Ол үшін функциясын нүктесінің кіші аймағында Тэйлор қатарына жіктейміз:

Содан кейін осы теңдікті пайдаланып мәнін есептейміз:

(1.6)

Мұнда (1.2) теңдеуіне сәйкес болатыны есекерілген. Енді (1.6) өрнегінен (1.5) өрнегін шегерсек, онда

Осыдан белгілеуін еңгізіп, әдіс қаталігінің абсолют мәнін бағаласақ:

Соңғы теңсіздікке - Липшитц шартын пайдаланып:

(1.7)

теңсіздігін аламыз, мұндағы

Енді (1.7) теңсіздігін k-ның k=0, 1, ... мәндері үшін ашып жазсақ:

Эйлер әдісі үшін болғандықтан

Ал кезде болатындықтан

Демек, Эйлер әдісі кезінде (1.2) - (1.3) есебінің дәл шешуіне жинақталады және оның жинақталу реті 1-ге тең.

2. Жетілдірілген Эйлер әдісі.

(Предиктор-корректор әдісі).

Егер функциясының кесіндісінде екінші ретті туындысы жоғарыдан шектелген деп есептеп, (7) –ші интегралға орта нүктелік тік төртбұрыш формуласын қолдансақ, онда (6)-шы формуладан

---

(2.1)
формуласын аламыз. Мұндағы Енді мәнін

деп жуықтап алатын болсақ, онда (2.1) формуласынан

(2.2)

формуласын аламыз. Яғни бұл әдістің есептеу алгоритімі мынадай болады:

, (2.3)

, (2.4)

Енді берілген Коши есебінің бір ғана шешуі бар, функциясы бойынша Липшитц шартын қанағаттандырады және 3-ші ретке дейін дифференциалданады деп есептеп, (2.3)-(2.4) айырымдық есептің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне жинақталу дәлдігі болатынын көрсетейік.

Ол үшін функциясын нүктесінде Тейлор қатарына жіктейік: (2.5)

Енді ретімен десек, онда

(2.6)

(2.7)

формулаларын аламыз.

Егер (2.7) теңдігінен (2.6) теңдігін шегерсек, онда

(2.8)

теңдігін аламыз. Мұндағы .

Енді (2.8) теңдігінен (2.4) теңдігін шегерсек, онда

теңдігін аламыз.

белгілеулерін еңгізіп және Липшитц шартын пайдалансақ, онда соңғы теңдіктен

(2.9)

теңсіздігін аламыз. Ал мына теңдікті

(2.10)

ескерсек, онда (2.9) теңсіздіктен

теңсіздігін аламыз.Осыдан

(2.11)

теңсіздігін шығады. Енді k-ның k=0,1,2,... мәндері үшін

. . . . . . . . . . . . . . . . .

теңсіздігін аламыз.

Мұндағы

Тордағы түйіні түйіндік нүкте болып қала береді деп есептесек, деп жазуға болады және екенін ескерсек, онда

Осыдан болғандықтан (2.3)-(2.4) айырымдық есебінің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне дәлдікпен жинақталады.

3. Рунге –Кутт әдісі.

Берілген

(3.1)

(3.2)

есебінің аралығындағы жуық шешуінің дәлдігі –

(3.3)

Теңдігінің оң жағындағы интегралды есептеу дәлдігімен тікелей байланысты болғандықтан,осы интегралды жуықтап есептеудің Рунге-Кутт әдісін қарастырайық.Ол үшін алдымен айнымалысын енгізу арқылы (3.3) теңдігін былайша түрлендірейік:

(3.4)

мұнда .Енді

(3.5)

интегралын есептеу үшін

(А)

параметрлерін алайықта, , параметрлерін пайдаланып

біртіндеп есептелетін тізбек құрастырып,

(3.6)

жуықтауы орындалатындай , , (А) параметрлерін табу жолын қарастырайық.

---