Файл: азастан республикасы білім жне ылым министрлігі абай атындаЫ аза лтты педагогикалы университеті.docx

Айталық,

(3.7)

болсын. жеткілікті жатық функция деп есептеп,оны былайша жіктейік:

Енді , , (А) параметрлерін
(3.8)

болатындай етіп тапсақ, онда біздің жіберетін қатеміз:

(3.9)

(3.8) теңдігін қанағаттандыратындай , , (А) параметрлерін табу алгоритімі былайша іске асырылады.

Алдымен - ты нүктесінде Тэйлор қатарына жіктейміз:

. (3.10)

Оны -тың дәрежесі бойынша жіктелген өрнегімен салыстыру арқылы, белгісіздері , , (А) параметрлерінен тұратын, сызықтық емес теңдеулер жүйесін аламыз.Осы теңдеулер жүйесін шешу арқылы , , (А) параметрлерін табамыз.

Кез келген үшін , , (А) параметрлерін табу күрделі мәселе болғандықтан біз бұл әдістің тек дербес жағдайларын ғана қарастырамыз.
4.Адамстың экстраполяциялық әдiсi.

Енді (4.5) теңдігінің екі жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктеп және оларды салыстыру арқылы барлық саны , белгісіздерінінен тұратын сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:

(4.6)

Бұл жағдайда жіберілетін қате

(4.7)

Егер десек, онда

(4.8)

сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз,

Жүйенің, анықтауышы-Вандермод анықтауышы болғандықтан, бір ғана шешуі бар.

Қорытындысында біз (4.1)-(4.2) есебін шешудің мынадай формуласын аламыз :

(4.9)

Бұл формуланы «Адамстың экстрополяциялық әдісі» деп атайды.Әдістің жіберетін қатесі –

(4.10)

(4.9) –шы формула арқылы есептің шешуін табу үшін белгілі болуы керек . болғандықтан оны есептеудің қажеті жоқ,ал қалған Эйлер немесе Рунге-Кутт әдісі арқылы табылады .
5. Адамстың интерполяциялық әдісі .

Егер (4.3)–теңдіктегі интегралды

(4.16)

қосындымен алмастырсақ, онда

(4.17)

формуласын аламыз.Мұндағы параметірлерін жоғарыда көрсетілген жолдармен анықтаймыз.

Яғни, десек онда

(4.18)

теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл теңдеудің

кез келген болған жағдайда шешуі бар. Немесе параметрлерін былайша да табуға болады:

Ал жіберілген қате –

(4.19)

Енді осы әдістің дербес жағдайларын қарастырайық:

1. 
   Онда (4.20)
   

2. Бұл жағдайда (4.21)

3. Онда

(4.22)

4. .

---

Онда

(4.23)

Жалпы Адамстың (4.14) экстрополяциялық формуласы сияқты, Адамстың интерполяциялық формуласын былайша жазуға болады:

(4.24)

мұнда

Ал жіберілетін қате –

(4.25)

Адамстың интепрполяциялық әдісі айқындалмаған сызықты емес теңдеу болғандықтан , оның шешуін табу үшін көп жағдайда итерациялық әдістер қолданылады.Сондықтан оны

(4.26)

Түрінде жазу арқылы итерация әдістерін қолдануға ыңғайлы түрге келтіреміз.

Мұнда (4.27)

(4.27) формуладағы көрсетілген аргументтері бойынша белгілі функция.

Енді (4.26) –теңдеуді шешу үшін

(4.28)

Итерациялық әдісін қолдансақ, онда оның жинақталуы үшін аралығында үзіліссіз болуы және бастапқы мән теңдеудің шешуіне жақын болуы жеткілікті.
Лекция 22-26. Айрымдық схемалардың негізгі түсінігі

1. Тор және торлық функциялар
Жай немесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешкенде торлық немесе айырымдық деп аталатын, сандық әдістер жиі қолданылады. Ал теңдеулердің шешуі, - торлық функция деп аталады да сандық кесте түрінде орындалады.

Енді осы тор және торлық функцияларға түсінік берейік:

1. Бір өлшемді кеңістіктегі тор және торлық функция.

Айталық, кесіндісінде жататын саны шектеулі кез-келген

нүктелер жиыны берілсе, оны тор деп атаймыз, ал осы нүктелердегі функцияның мәнін торлық функция деп атаймыз. Егер торлық нүктелер үшін

шарты орындалса, онда торды деп белгілейміз. Ал нүктесін тордың түйіні (торабы деп те атайды) дейміз, нүктелерін шеттік нүкте дейміз.

Егер шарты орындалса, онда торын бірқалыпты тор дейді. Мұнда тордың қадамы деп аталады. Бұл жағдайда тор параметріне тәуелді. Яғни нөлге ұмтылған жағдайда торының тығыздығы ұлғая түседі. Ал функциясының нүктелер жиынындағы мәндерін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер саны жоғарыдан шектелген болса, онда торлық функцияларды векторлық функция деп қарастыруға болады, яғни

.

Торлық функциялардың бір-біріне жақындығын көбінесе норма арқылы бағалайтындықтан, торлық функцияның нормасы деген анықтама енгіземіз.

---

Анықтама. Егер торлық функциялар жиынында

сандық функциясы үшін

1. 
   егер
   
2. 
   (С-кез-келген сан)
   
3. 
   (үшбұрыштар теңсіздігі)
   

шарттары орындалса, онда санын торлық функциясының нормасы және деп белгілейді.

Осы анықтаманы қанағаттандыратын норманы әртүрлі жолмен алуға болады.

Жалпы торлық функциялардың нормаларын басқа да жолдармен анықтауға болады.

Айталық, торлық функциялары , ал торлық функцияларының нүктелеріндегі жуық мәндері болсын, онда және функцияларының бір-біріне жуықтығын

шамасы арқылы бағалаймыз.

2. Екі өлшемдегі кеңістіктегі тор және торлық функция.

Айталық, ( ) жуықтығында шекарасы болатын формасы күрделі облысы берілсін және осы облыста анықталған жеткілікті үзіліссіз функция болсын. Енді облысына

, , , ,

түзу сызықтарын жүргіземіз. Мұндағы шамалары ретімен және айнымалылары бойынша алынған тордың қадамдары деп аталады. Осы түзу сызықтардың қиылысу нүктелерін түйіндер (торап) деп атаймыз.

Егер екі түзудің түйіндері - болса, онда оларды ішкі түйіндер дейміз, ал түзулерінің шекарасымен қиылысқан нүктелерді шеттік түйіндер деп атаймыз. Егер екі түйін бір-бірімен және остері бойынша немесе -дегі ара қашықтықта жатса, көрші тораптар дейміз. Егер түйіні үшін ең болмағанда бір көрші түйін -да жатпаса, онда оны шекаралық түйін дейміз.

1-суретте белгілері ішкі , белгілері шекаралық, шеттік түйіндерді көрсетеді.

Ішкі нүктелер жиынын- шеттік нүктелер жиынын- деп белгілесек, онда түйіндер жиынын облысын жапқан тор деп дейміз .

1-сурет .

Егер болса, онда торды квадрат, ал болса, онда тіктөртбұрышты тор дейді. (Кейбір жағдайларда үшбұрышты т.б. торлар болуы мүмкін) тізбегін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер үзіліссіз функциялар кеңістігі болса, функциясының нормасын

деп белгілесек, онда торлық функциялардың нормасын

деп белгілейміз, немесе тізбегін вектор деп қарасақ

онда

деп алуға болады.

Егер қарастырып отырған функциямыз облысында

нормасына сәйкес квадраты бойынша интегралданатын болса, онда

---

нормасын қолдануға болады.

Егер торлық функциялары торлық функцияларының жуық мәндері болса, онда олардың жуықтығын, жоғарыда көрсеткендей ,

нормасы арқылы анықтайды.

Көпөлшемді функциялар үшін де, жоғарыда көрсетілгендей, тордың, торлық функциялардың және олардың жуықтауына анықтама енгізуге болады.
2. Жай дифференциалдық операторларды жуықтау
Есептеу математикасында дифференциалды теңдеулерді шешу кезінде, дифференциалдық операторларды торлық функциялардың комбинациясымен алмастырады. Бұл алмастыру әртүрлі жолдармен іске асырылуы мүмкін. Біз төменде жай дифференциалдық операторларды торлық функциямен алмастырудың кейбір жолдарын қарастырамыз.

1. 
   операторын торлық функциялармен алмастыру.
   

Айталық, функциасы аралығында анықталған және жеткілікті үзіліссіз туындылары бар функция болсын.

Математикалық анализ курсында төмендегі шек арқылы анықталады.

, (2.1)

немесе

(2.2)

(2.3)

Енді өте аз шама деп белгісін алып тастасақ, онда

, (2.4)

, (2.5)

. (2.6)

операторларын жуықтау операторлары (айырымдық операторлар) дейді.

Енді осы операторлардың операторын қаншалықты жуықтайдығын қарастырайық. Айталық ,

,

болсын , онда операторын операторының жуықтау қателігі дейді. Енді осы қателіктерді бағалайық. Ол үшін , шамаларын нүктесінде Тейлор қатарына жіктеп,

,

,

(2.1)-(2.2) теңдіктеріне қойсақ



Осыдан , .

Егер мынандай белгілеу енгізсек: ,

онда жуықтау қателіктері былайша бағаланады:

, (2.7)

. (2.8)

Дәл осы жолмен

, функцияларын дәрежесіне дейін Тейлор қатарына жіктеп, (2.6) теңдігіне қойсақ

, (2.9)

бағалауын аламыз. Мұнда

2. 
   операторын торлық функцияларымен алмастыру.
   

Бұл операторды былайша жуықтайық:

. (2.10)

операторының жуықтау қателігін табу үшін төмендегі Тейлор қатарын пайдаланамыз:

,

.

Осы теңдіктерді (2.10) теңдігіне қойсақ , онда

.

теңдігін аламыз.

Ал болса, онда

---

. (2.11)

(2.11) теңдігін былай жазуға болады:

3. 
   операторын торлық функциялармен алмастыру .
   

Бұл операторды торлық функциялармен алмастыру үшін белгісіз

коэффиценттер әдісін қолданамыз.Яғни

(2.12)

деп аламыз да тан тәуелсіз коэффиценттерін табу жолын қарастырамыз. Мұнда және , кез келген бүтін сан. Оларды міндетті түрде

теңсіздігі орындалатындай етіп алу керек.

---