Файл: азастан республикасы білім жне ылым министрлігі абай атындаЫ аза лтты педагогикалы университеті.docx

Тейлор формуласы бойынша

,

мұнда .

(2.13) теңдігін (2.12) теңдікке қойсақ, онда

. (2.14)

14. 
    теңдігінің оң жағы мен сол жағын салыстыру арқылы мына теңдеулер жүйесін аламыз:
    

(2.15)

Егер болса, онда (2.15) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешуі бар , себебі оның матрицасының анықтауышы - Вандермонд анықтауышы. Егер болса, онда коэффиценттерін әртүрлі жолдармен анықтауға болады.

Мысалы: Егер , , , болса, .

Енді (2.15) жүйесін қолдансақ, онда

болады да ,

формуласын аламыз. Ал

деп ұйғарсақ , онда (2.15) жүйеден , екенін табамыз және екенін көреміз.

Жалпы бұл әдіс бойынша берілген операторын қалаған дәлдікпен жуықтауға болады .

Енді жоғарыдағы дифференциалдық операторларды айырымдық функциялармен жуықтауды сипаттау үшін мынадай анықтама енгізейік:

Анықтама 1. Егер берілген функциялар жиынының элементі үшін 1. жағдайда , ,онда операторы операторын жуықтайды (аппроксимациялайды) дейміз.

2. (2.16)

теңсіздігі орындалса , онда айырымдық операторы операторын функциялар жиынында -тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимация) деп атайды .

Әдетте өскен сайын функциясына қойылатын талапта өсіп отырады. Мысалы , айырымдық операторлары үшін , ал үшін талабы қойылады.

4. операторын торлық функциямен алмастыру.


Айталық, операторы облысында анықталсын . Енді осы облысты

торымен қаптап операторын айырымдық операторымен алмастыру жолын қарастырайық. Ол үшін торының ішкі нүктелеріндегі мынандай шаблондарды алайық .

Егер шаблонымыз төрт нүктеден тұрса (сурет-2а) , онда
(2.17)

Формулаларды ықшам түрде жазу үшін мынандай белгілеулерді енгізсек:

онда . ( 2.18)

Мұнда біз өрнегінің мәнін а) шаблонының төменгі нүктелерінен алдық . Ал операторын б) шаблоны арқылы жуықтасақ, онда

(2.19)

Егер ( 2.18) және (2.19) әдістерінің сызықтық комбинациясын алсақ , онда

(2.20)

айырымдық операторда в) шаблоны қолданылады.

Енді осы айырымдық операторлардың жуықтау дәлдігін зерттейік . Ол үшін мына формулаларды қолданамыз:

Осы өрнектерді

операторларына қойсақ, онда мына теңдіктерді аламыз:

1. 
   
   

2. 
   
   

---

Енді жоғарыдағы дифференциалдық операторларды айырымдық функциялармен жуықтауды сипаттау үшін мынадай анықтама енгізейік:

Анықтама 1. Егер берілген функциялар жиынының элементі үшін 1. жағдайда , ,онда операторы операторын жуықтайды (аппроксимациялайды) дейміз.

2. (2.16)

теңсіздігі орындалса , онда айырымдық операторы операторын функциялар жиынында -тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимация) деп атайды .

Әдетте өскен сайын функциясына қойылатын талапта өсіп отырады. Мысалы , айырымдық операторлары үшін

, ал үшін талабы қойылады.
§3. Шекаралық есептерді жуықтау

(Айырымдық есептерді қою)

Айталық, дифференциалдық теңдеу

, , (3.1)

шекаралық теңдеу

(3.2)

сызықты дифференциалды есебі берілсін . облысын торымен жауып (3.1)-(3.2) есебіндегі операторларды айырымдық операторлармен жуықтасақ, онда

(3.3)

(3.4)

есебін аламыз. Ал функциялары тан тәуелді болғандықтан ты өзгерту арқылы, шешулері параметріне тәуелді (3.3)- (3.4) айырымдық есептер аламыз. Осы айырымдық есептер жиынын айырымдық схема деп атаймыз.

1. 
   Жай дифференциалдық теңдеудің Коши есебі:
   

Айталық,

(3.1)

есебі берілсін. Бұл есепті шешу үшін торын алайық та осы торда (3.1) есебін шешу үшін мынандай айырымдық есеп қоялық.

Мұндағы болуы мүмкін .

Есептің жуық шешуі мына рекурентті формула арқылы табылады.

2. Бір ретті дифференциалды теңдеулер жүйесіне қойылған Коши есебі:

Есепті былайша қоямыз.

(3.2)

Мұнда квадрат матрица. өлшемі ге тең вектор. Бұл есепті шешу үшін торында

айырымдық схеманы пайдаланамыз, яғни

2. 
   Шекаралық есеп. (Дирихле есебі)
   

Есеп былайша қойылсын:

(3.3)

Есептің жуық шешуін табу үшін кесіндісін

торымен жабамыз да

үш диагональді алгебралық теңдеулер жүйесімен айырбастаймыз.

Бұл теңдеулер жүйесі қуалау әдісімен шешіледі.
4. Жылу өткізгіштіктің теңдеуіне қойылған бірінші шекаралық есеп.

Бұл есеп былайша қойылады:

(3.4)

облысын

торымен жапсақ, онда (3.4) есебін мына

(3.5)

айырымдық есебімен жуықтауға болады. Мұндағы

---

т.с. болуы мүмкін. (3.5) айырымдық схемасын “анықталған ” деп атайды, себебі -ші қабатта табылған мәндері арқылы анықталады, яғни вектор түрінде жазсақ:

Ал анықталмаған схема былайша жазылады.

,

немесе

Біздің қарастырған мысалдарымызда шекаралық шарттар дәл алынды. Ал есепке екінші және үшінші шекаралық шарттар қойылса, онда оны жуықтау күрделі мәселе болғандықтан кейінге қалдырамыз.

5. Жылу өткішгіштік теңдеуіне қойылған аралас шекаралық есеп
Айталық, облысында

(3.6)

жылу өткішгіштіктің теңдеуі және

(3.7)

шекаралық шарты берілсін. Мұндағы белгілі функциялар мен параметрлер. облысын

торымен жабайық та есептің бірнеше айырымдық схемасын қарастырайық.

1 Айқындалған схема; қолданылған шаблон

(3.8)

(жуықтау дәлдігі- );

(3.9)

(жуықтау дәлдігі- ).

Схеманың жалпы дәлдігі- .

2. Айқындалмаған схема; қолданылған шаблон
(3.10)

(жуықтау дәлдігі- );

(3.11)

(жуықтау дәлдігі- ).

Схеманың жалпы дәлдігі- .

3 Крайк-Никольсон схемасы; қолданылған шаблон

(3.12)

(жуықтау дәлдігі- ).

(3.13)

(жуықтау дәлдігі- ).

Схеманың жалпы дәлдігі- .

Егер

(3.14)

(жуықтау дәлдігі- ).

Айырымымен жуықтасақ, онда (3.12),(3.14) схемалары (3.6), (3.7) есебін дәлдікпен жуықтайды.
Лекция 28-30 4. Айырымдық есептің шешуінің жинақталуы

туралы түсінік

Айталық, облысында сызықты дифференциалды теңдеу

(4.1)

және оның қосымша шарты

(4.2)

берілсін. Мұнда берілген функциялар , сызықты дифференциалды оператор. (4.1)-(4.2) есебінің бір ғана шешуі бар деп ұйғарамыз. Енді облысын торымен жабайық. түйіндердің тығыздығын анықтайтын параметр болсын. (4.1)-(4.2) есебін

, (4.3)

(4.4)

айырымдық есебімен алмастырайық. Мұндағы белгілі торлық функциялар. (4.3)-(4.4) есебінің шешуі торында анықталған торлық функция. параметрін өзгерту арқылы, яғни торының тығыздығын өзгерту арқылы (4.3)-(4.4) есебінің тан тәуелді шешулерінің жиынын аламыз.

(4.1)-(4.2) есебінің шешуін (4.3)-(4.4) есебінің шешуі қаншалықты жуықтайтындығын -торлық функциялар кеңістігінде қарастырамыз.

Айталық, функциясының торының түйіндеріндегі, яғни болсын.

---

Енді айырымдық схеманың шешуінің дәлдігін былай белгілесек:

, (4.5)

(4.6)

есебін аламыз. Мұндағы

шамалары жуықтау қателігі (апроксимация қателігі). Яғни (4.1)-(4.2) есебін (4.3)-(4.4) есебімен алмастырғандағы жіберілген қате.

Енді шамаларын бағалау үшін оларды тиісінше шекті өлшемді торлық функциялар жиынында жатады деп есептеп, осы жиындарда нормаларын енгізейік.

Анықтама-1 Егер шарттары орындалса, онда (4.3)-(4.4) айырымдық схемасы (4.1)-(4.2) есебіноның шешуінде тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимациялайды) дейді. Мұндағы

Анықтама-2. Егер нөлге ұмтылғанда нөлге ұмтылса, онда (4.3)-(4.4) есебінің шешуі (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейміз. Егер жеткілікті аз шама табылып, және болғанда бағалауы орындалса, онда айырымдық схеманың шешуі жылдамдықпен (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейді немесе айырымдық схеманың дәлдігі -ге тең дейді. Мұндағы -тан тәуелсіз сан.

Кейде (4.3)-(4.4) есебін функциясының шекаралық (шеткі) нүктелердегі белгілі мәндерін теңдіктің оң жағына шығару арқылы,

(4.7)

түрінде жазуға болады. Бұл жағдайда айырымдық схеманың жуықтау қателігін былайша жазады:

Ал

теңдігін ретті жуықтау қателігі (аппроксимациясы) дейміз.
5.Айырымдық схеманың орнықтылығы

туралы түсінік
1-анықтама. Егер сандары табылып, орындалғанда кез-келген үшін

(5.1)

айырымдық есебінің бір ғана шешуі бар болып,

(5.2)

теңсіздігі орындалса, онда

(5.3)

айырымдық схемасын орнықты дейміз. Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан.

(5.2) теңсіздігі (5.3) айырымдық схемасының оң жағына өсімше берсек, онда оның шешуі бойынша бірқалыпты

аз шамаға өзгеретінін көрсетеді.

Егер операторы -ты қа кескіндейтін сызықты оператор болса, онда жоғарғы анықтамаға пара-пар мына анықтаманы беруге болады.

2-анықтама. Егер кез-келген үшін сызықты айырымдық есебінің бір ғана шешуі- бар болып,

(5.4)

теңсіздігі орындалса, онда айырымдық есепті орнықты дейміз.

Айталық,

(6.1)

айырымдық схемасы

(6.2)

шекаралық есебін шешуі бойынша дәлдікпен жуықтайтын болсын. Яғни (6.2) теңдеуінің шешуін (6.1) теңдеуіне қойсақ, онда

---

Осыдан

. (6.3)

Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан. Енді (6.1) айырымдық есебінің жуықтау дәлдігімен оның орнықтылығының және шешуінің (6.2) теңдеуінің шешуіне жинақталуының арасындағы байланысы, яғни жуықтау дәлдігі мен орнықтылықтан жинақтылық шарты орындалатынын көрсететін теореманы берейік.

Теорема. айырымдық схемасы есебін дәлдікпен жуықтайтын және орнықты болса, онда шешуі шешуіне жинақталады және

(6.4)

бағалауы орындалады.
Қорытындысында мынаны ескерген жөн:

1. сызықты айырымдық есебінің шешуі теңдеуінің шешуіне жинақталатынын тексеру үшін теңдеуінің орнықтылығымен жуықтау дәлдігін анықтау жеткілікті. Мұнда есебі тек дифференциалды теңдеудің шекарадық есебі емес, кез-келген функционалды теңдеу болуы мүмкін. Ол тек айырымдық есебінің конструкциясын жасау үшін ғана қажетті

Зертханалық және студиялық сабақтарды орындаудың нұсқаулығы

№1 Лабораториялық жұмыстар.

Тапсырма: Өрнектерді есептеңіздер және жіберілген қателерді аңықтаңыздар.

1) 2) егер

3) 4) егер

5) 6) егер

7) 8) егер

9) 10) егер

11) 12) егер

14) 15) егер

№2 Лабораториялық жұмыстар

1-тапсырма: Таблица арқылы берілген функцияның Лагранж формуласы арқылы нүктесіндегі мәнін табыңыз:

2-тапсырма: Лагранж көпмүшесін есептеудің программасын құрыңыз және осы программаның көмегімен функциясының мәндерін- пайдаланып нүктесіндегі мәнін табыңыз. (x-тің мәнін өздеріңіз алыңыздар)

Сонымен қоса жіберілген қатені есептеп шығарыңыздар.
Таблица №1

		Варианттың номері
0.43	1.63597	1	0.5
0.48	1.73234	13	0.6
0.55	1.87686	15	0.55
0.62	2.03345	7	0.65
0.70	2.22846	9	0.45

Таблица №2

		Варианттың номері
0.02	1.02316	6	0.03
0.08	1.09590	8	0.05
0.12	1.14725	12	0.1
0.17	1.21483	14	0.15
0.23	1.30120	4	0.20

---