Файл: азастан республикасы білім жне ылым министрлігі абай атындаЫ аза лтты педагогикалы университеті.docx

6.3-теорема: Егер болса, онда

(6.14)

Көп жағдайда және нормаларын салыстыруға тура келеді.

Зейдель әдісі.

Айталық,

теңдеулер жүйесі

( )

түрінде жазылды делік. Берілген жүйені былайша жазайық

. (6.22)

Енді осы теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті қолданамыз:

, (6.23)

яғни белгілі болса, онда (6.23) формуласын пайдалану арқылы векторының компонентін табамыз, содан кейін векторын пайдаланып векторын табамыз. Сол сияқты векторының компонентері табылады.

Енді осы итерациялық процестің жинақтылығын зерртеу үшін (6.23) итерациялық процесін былайша жазайық:

, (6.24)

мұнда .

Осыдан

(6.24)

болғандықтан итерациялық әдістің жинақталуы үшін матрицасының меншікті санының абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті. Яғни теңдеуінің түбірлерінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы керек. Егер теңдеуді -ге көбейітсек, онда екі матрицаның анықтауыштарының көбейтіндісі туралы теореманы еске ала отырып, теңдеуді мына түрде жазуға болады:

, немесе

. (6.25)

Сонымен Зейдель әдісінің жинақталуы үшін (6.25) теңдеуінің барлық шешуінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.

Енді әдістің жинақталуының жеткілікті шартын қарастырайық.

Айталық ,

. (6.26)

Бұл жағдайда біртіндеп жуықтау әдісі үшін мына бағалау орындалады

(6.27)

мұнда
. (6.28)

Сонымен Зейдель әдісінің жинақты болуы үшін (6.26) шартының жеткілікті екенің көрдік. (6.28) теңсіздігінен, біртіндеп жуықтау әдісі мен Зейдель әдістері берілген теңдеулер жүйесі үшін жинақты болса, Зейдель әдісінің жинақтылығы біртіндеп жуықтау әдісінің жинақтылғынан жылдамырақ екенің көреміз. Бірақ кей жағдайларда берілген теңдеулер жүйесі үшін біртіндеп жуықтау әдісі жинақты, ал Зейдель әдісі жинақты емес және керісінше Зейдель әдісі жинақты, ал біртіндеп жуықтау әдісі жинақты балмауы мүмкін.

Ричардсон әдісі.

---

Бұл әдісті кейде “Чебышевтің тиімді итерациялық әдісі ” деп те атайды.

Берілген

теңдеулер жүйесін шешу үшін стационарлы емес итерациялық процессін қолданайық

. (7.1)

Итерациялық процесстің жинақталуы -параметріне тікелей байланысты болғандықтан, оны табу жолдарына тоқталайық.

Айталық, -оң анықталағн болсын, яғни оның оң меншікті сандары және өзара ортогональды меншікті векторлары бар.

Егер десек, онда (7.1) теңдігін былай жазуға болады:

. (7.2)

векторын А матрицасының меншікті векторына жіктесек, онда

.

Енді (7.2) теңдігін ескере отырып

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

теңдіктерін аламыз.

Соңғы теңдіктен мына бағалауды алуға болады: ,

мұнда .

Біздің негізгі мақсатымыз берілген үшін -ға минимум беретін параметрлерін табу керек болғандықтан, кесіндісінде анықталған

көпмұшесін қарастырайық.

Егер десек, онда

(7.4)

алмастыру арқылы аралығын аралығымен алмастыру арқылы көпмүшесін көпмүшесіне түрлендіреміз. Және болғандықтан .

Егер десек , онда көпмүшесі мен -Чебышев көпмүшесінің түбірлері бірдей болғандықтан, Чебышев көпмүшесінің түбірлері - көпмүшесінің модуліне минимум мән береді.

Ал көпмүшесінің түбірлері

(7.5)

боғандықтан және (7.4) теңдігін ескерсек, онда

. (7.6)

Бұл жағдайда . (7.7)

Себебі . Шынында да десек, онда

(7.8)

мұндағы

болғандықтан

. (7.9)

Енді екенің ескерсек, онда . Сонымен

(7.10)

болғандықтан Ричардсонның итерациялық әдісінің жинақталу жылдамдығы үшін мынандай бағалау орындалады:

(7.11)
Ричардсон әдісін іс жүзінде қолдану үшін біріншіден мен белгілі болуы тиіс, екіншіден саны тұрақты болуы қажет. Сондықтан Ричардсон әдісін қолданбастан бұрын А матрицасының меншікті сандарының төменгі және жоғарғы шегін анықтап алған жөн. Сонымен қоса итерациялық процесстің қанша итерациядан кейін алдын-ала берілген дәлдікті қанағаттандыратындығы белгісіз болса және алдын-ала берілген дәлдік орындалмаса, онда табылған параметрлерін қайта қолданады. Бұл жағдайда итерациялық процессті былай жазған дұрыс:
(7.12)

мұнда циклді итерациялық процесстің параметрлерінің саның көрсетеді. Егер болса, онда итерациялық процесс (7.1) стационар, ал болса стационар емес делінеді.Ричардсон әдісін қолданған кездегі келесі проблема- параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде әдіс орнықсыз болуы мүмкін.

---

Лекция 12-15. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу єдістері
Біз түрінде берілген теңдеуді n дәрежелі алгебралық теңдеу, ал , , түрінде, яғни құрамы көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функциялардан тұратын теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.

Егер алгебралық көпмүше болса, онда 5-дәрежелі көпмүшеге дейін ғана теңдеуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы әдісі жоқ. Сондықтан көптеген мәселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала берілген дәлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі.
Графиктер әдісі.

теңдеуінің бастапқы мәндерін табудың бір жолы функциясының графигін сызу арқылы, осы функцияның осімен қиылысу нүктелерін тауып, соларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.

Мысалы функциясының графигі 1-суреттегідей болсын.

1
-сурет

Онда нүктелерінің біреуін бастапқы мән ретінде алуға болады.

Егер функциясын екі функцияның айырымы немесе қосын- дысы түрінде жазуға болатын болса, яғни болса, онда теңдеуін түрінде жазып, функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мән ретінде аламыз.

Бөлшектеу әдісі.
Бөлшектеу әдісі математикалық анализдегі мына теоремаларға сүйенеді:

Теорема-1. Егер үзіліссіз функциясы кесіндісінде теңсіз- дігін қанағаттандырса, онда теңдеуінің аралығында ең болмағанда бір түбірі болады.

Теорема-2. Егер дифференциалданатын функциясының аралығында- ғы туындысы болса, онда осы аралықта өспелі (кемімелі) болады.

Осы теоремаларға сүйенсек, онда және аралығында (немесе ) болғанда теңдеуінің осы аралығында бір ғана түбірі болады.

Енді функцияның ерекшеліктерін ескере отырып теңдеудің аралығында жатқан түбірлерін іздестіру жолын қарастырайық. Ол үшін кесіндісін нүктелерінің арақашықтығы -қа тең бөлікке бөлеміз, яғни , , . Егер болса, онда осы аралықта f(x)=0 теңдеуінің ең болмағанда бір түбірі бар екені айқын. Осы кесіндісінде таңбасын өзгертпесе, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болғаны. Ал -тың таңбасын анықтау қиын болған жағдайда

---

кесіндісін тағы да бөлікке бөлу арқылы ( ) нүктелер тізбегін аламыз да өрнегінің немесе өрнегінің таңбасын ( ) қарастырамыз. Егер тек к-ның бір мәнінде ғана болса немесе өрнегінің таңбасы барлық үшін өзгермесе, онда теңдеуінің кесіндісінде бір ғана түбірі бар деп тұжырымдауға болады.

Осы процестерді қайталау арқылы теңдеудің түбірлерінің (түбір- лердің еселігін есептемегенде) бастапқы мәнін табуға болады.

Итерациялық процестің жалпы қойылуы

және сығу принципі.

Жуық түбірі аралығында жатқан теңдеуін

(2.1)

түріне келтірейік те, кез келген a,b арқылы

(2.2)

итерациялық формула бойынша тізбегін құрайық. (2.1) теңдеуін әр түрлі жолдармен алуға болатындықтан, оны тізбегі жинақталатындай етіп алуымыз керек. Енді осы итерациялық формуланың қандай жағдайда жинақталатынын қарастырайық.

Айталық -метрикалық кеңістік, ал -осы кеңістікте анықталған оператор болсын.

Анықтама. Егер -метрикалық кеңістігінің кез келген және элементтері үшін , (2.3)

теңсіздігі орындалса, онда сығу операторы деп аталады.

Теорема-1. сығымдап бейнелеу принципі

Егер -толық метрикалық кеңістік болса, ал А өзін-өзіне бейне- лейтін сығу операторы болса, онда 2.4

теңдеуінің бір ғана шешімі бар. Ол

, (2.5)

тізбегінің шегі болады.

Енді осы теореманы қолдану арқылы итерациялық тәсілінің жинақталуын зерттейік.

Айталық, теңдеуінің түбірі болсын және дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырсын:

,

мұндағы -кез келген нүкте.

Теорема-2. гер , дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырса және болса, онда кез келген -де

(2.8)

тізбегі нүктесіне жинақталып,

(2.9)

теңсіздігі орындалады.

Ал енді -дің кез келген және нүктелері үшін Липщиц шартының орындалатынын немесе орындалмайтынын тексеру тәжірибе жүзінде іске асыру күрделі мәселе. Бірақ, егер аралығында функциясының үзіліссіз туындысы бар болса және

(2.10)

шартын қанағаттандырса, онда (2.10) шартын жинақталудың жеткілікті шарты деп қарауға болады. Бұл тұжырым мына теоремаға сүйенеді:

---

Теорема-3.Айталық, -де анықталған және дифференциалданатын, сонымен қоса болсын. Егер (2.11)

болса, онда кез келген үшін (2.12)

итерациялық процесі жинақталады және берілген

(2.13)

теңдеуінің бір ғана шешуі болады.
Итерациялық әдістер.

Бұл параграфта теңдеуін теңдеуімен алмастыру жолдарын қарастырамыз.

Айталық, кесіндісінде үзіліссіз және бір ғана түбірі бар болсын, яғни .

Енді берілген теңдеуін түрінде жазсақ, онда (3.1)

теңдеуінің шешуі теңдеуінің шешуімен бірдей. Ал итерациялық процесті былай жазуға болады . (3.2)

Енді функциясын таңдап алу арқылы әр түрлі итерациялық әдістерді қарастырайық.

1.Релаксация әдісі. Айталық, болсын. Онда (3.1) теңдеуін былай жазуға болады: (3.3)

Осыдан . Енді , (3.4)

итерациясы жинақты болуы үшін

(3.5)

шарты орындалуы тиіс. Мұндағы теңдеуінің шешімі. Егер -ның маңайында , (3.6)

шарттары орындалса, онда аралығында итерациялық процесс жинақталады. Енді тиімді итерациялық параметр -ды табу үшін қатесін (3.4) теңдеуіне қойып

теңдеуін аламыз. Орта мән туралы теореманы қолдансақ

,

мұнда .

Сондықтан

теңдігін бағалау арқылы

теңсіздігін аламыз. Егер (3.6) шарты орындалса, онда .

Сонымен тиімді параметрін функциясы ең аз мән қабылдайтын етіп алуымыз керек. функциясының минимумы шартын қанағаттандыратындықтан . (3.7)

Сондықтан ,

болғандықтан

2.Ньютон әдісі. (Жанама әдісі)

Айталық, функциясы кесіндісінде төмендегі шарт- тарды қанағаттандырсын:

функциялары үзіліссіз.

таңбаларын өзгертпейді.

.

болғанда теңсіздігі орындалады.

.

Енді берілген теңдеуінің шешуі, ал теңдеудің жуық шешуі болса, онда жеткілікті аз шама. Осыдан .

Егер (3.8)

теңдеуінің сол жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктесек

теңдігін аламыз. Осыдан өте аз шама десек, онда жуықтау теңдігінен -ды табамыз:

, (3.9)

Сондықтан . Немесе деп аламыз. Яғни дәлдігі жоғары келесі жуық шешу былайша табылады:

. (3.10)

Бұл формуланы Ньютон әдісі деп атайды.

---