Файл: Сборник олимпиадных задач по математике для 5 класса.docx

Задача № 11 : У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

---

ГЛАВА V1 Задания на восстановление записей вычислений

Условие математического ребуса содержит либо целиком зашифрованную запись (цифры заменены буквами), либо только часть записи (стертые цифры заменены точками или звездочками). 
Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения. Есть математические ребусы, имеющие несколько решений.

Математический ребус – задание на восстановление записей вычислений.

Математические ребусы обычно используются для развития логического мышления у школьников, поскольку их решение построено на логических рассуждениях.

Математические ребусы бывают нескольких видов, например:

1. 
   Цифры в записи вычисления заменены буквами. В таких ребусах необходимо восстановить всю запись.
   
2. 
   Некоторые цифры в записи стёрты, вместо них поставлены «звездочки». В таких ребусах необходимо восстановить часть записи.
   

Некоторые математические ребусы имеют несколько вариантов решения. При разгадывании математических ребусов обычно условием ставится проверка всех возможных вариантов.

№ 1 :Задача

Восстановите поврежденную запись



Ответ. 99 + 9 = 108

Задача № 2

 Восстановите поврежденную запись Ответ. 99 + 99 = 198

Задача № 3 :

Решите ребус:



Решение:

Очевидно, Д≤4. В разряде сотен имеем А + А = А, значит, А = 0 (без перехода) или А = 9 (с переходом). Значение А = 0 не подходит, так как в разряде единиц А + А = Р (получаем А = Р = 0). Значит, А = 9, Р = 8, Е = 7. Тогда 2М + 1 = 10 + Т, Т < 9, значит М = 5 или 6 (так как получается переход), а значения 7 и 8 уже заняты буквами Е и Р. При М = 6 получается решение: 

---

18969 + 18969 = 37938. 

Ответ:18969 + 18969 = 37938.

Задача № 4Решите ребус:    

     

Решение:

Так как КА + КА + КА оканчивается на КА, то КА = 50, а значит, К = 5, А = 0. Так как Ш + Ш + Ш + 1 оканчивается на 0, то Ш = 3.

Так как сумма трех чисел, начинающихся на 5 может начинаться лишь с 1, то С = 1. 

Рассматривая варианты для О, получаем, что О = 6 или О = 7, а значит, Б = 9 или Б = 2. 

Итак, получаем два варианта решения: 

 и 

• 
  Задача № 5 Решите ребус:    
  

Ответ:С = 4; П = 3; Т = 2; Р = 7; К = 8; О = 9.

 

• 
  
  

Задача № 6Решите ребус, если известно, что наибольшая цифра 

в числе СИЛЕН равна 5.

Решение:

Так как наибольшая цифра в числе «СИЛЕН» равна 5, а С = 1, то остальные 4 цифры в данном числе будут 2, 3, 4, 5. 

Так как Н < 6, то И = 2. А значит, Н = 4. Так как Л > Е (в самом деле так как Е + 1 = Л, то Л > Е, ведь Л и Е меньше 5 по условию), то Л = 5, Е = 3.

А тогда уже легко находим остальные цифры: Ш = 8, Р = 9. 

В итоге получается: 9382 + 3152 = 12534 

Ответ:9382 + 3152 = 12534

 Задача № 7 Решите ребус Ответ.54271 + 54271 = 108542

Задача № 8 Решите ребус

• 
  
  Ответ.3930 + 3980 = 7910 (начать с А = 0, К < 5, так как О + О = О и О ≠ А, то О = 9. Рассматривая К = 1, 2, 3, 4, получим искомое решение).
  

ГЛАВА У1 ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ:

---

1. Решите задачу (7 баллов)

На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?

Решение: Ответ: 5 пиастров

2.Решите задачу (7 баллов)

Три синих попугая капитана Флинта съедают 3кг. корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5кг. корма за пять дней, а семь оранжевых – 7кг. корма за семь дней. Какие попугаи самые прожорливые?

• 
  Решение:
  
• 
  За один день три синих съедают – 1кг. корма, пять зеленых и семь оранжевых тоже съедают в день по 1кг корма.
  
• 
  Ответ: Синие попугаи самые прожорливые.
  

3.Решите задачу (7 баллов)

Крепость имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен крепости охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?

Решение: Комментарии по оцениванию:  Занумеруем башни подряд 1, 2, 3,…,7.

Тогда в первой башне находится х₁ стражник, во второй – х₂ стражник, … в седьмой – х₇ стражник. Каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками, значит,

х₁+х₂ <7, х₂+х₃ >7 и т.д. Складывая эти неравенства, получим: 2(х₁+х₂+…+х₇) > 49, отсюда (х₁+х₂+…+х₇) > 49:2, поскольку число стражников целое, то оно не может быть меньше 25.

Ответ: 25.

4. Решите задачу (7 баллов)

Пират испортил карту сокровищ, имеющую форму квадрата. Он вырезал из неё восьмиугольник, а 5 отрезанных многоугольников выбросил. Оставшейся восьмиугольник имеет стороны равной длины, и внутренние углы равной величины.

а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ?

б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников.

• 
  Решение:
  
• 
  Комментарии по оцениванию:
  
• 
   а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ? (3 балла)
  
• 
  б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников. (за каждый приведенный пример 2 балла)
  
• 
  Так как оставшийся кусок имеет форму правильного восьмиугольника, а отрезанных кусков – 5, то они могут иметь не больше одной общей стороны со стороной восьмиугольника. Значит, минимум три стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Поэтому форма искомой карты сокровищ будет квадрат со стороной, равной расстоянию между противоположными сторонами восьмиугольника. Отрезанные многоугольнику будут: 1) 5 треугольников; 2) 4 треугольника и один четырехугольник.
  

---

5.Решите задачу (7 баллов)

Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.

Решение: В течение недели Робинзон вырежет на доске по две буквы «п» (понедельник, пятница), «в» (вторник, воскресенье), «с» (среда, суббота) и одну букву «ч» (четверг). Так как 2013=287·7+4=2009+4, то через 2009 дней будет вырезано по 574 буквы «п», «в», «с» и 287букв «ч». Через четыре дня количества букв оказались различными. Для этого нужно, чтобы в эти четыре дня одна из букв «п», «в», «с» появилась дважды, одна – один раз и одна не появлялась. Значит, четвертой появившейся буквой должна быть «ч». Буквы идут в следующем порядке: «п», «в», «с», «ч», «п», «с», «в», «п», «в», «с» …

Таким образом, возможна лишь ситуация: «с», «ч», «п». Это означает, что Робинзон попал на остров в среду.

Ответ: среда

Задачи по математике для 5 - 6 класса с конкурса «Кенгуру» :

 

Задача № 1  На день рождения пришло двенадцать детей следующих возрастов: 6 лет, 7 лет, 8 лет, 9 лет и 10 лет, причем четырем детям было по 6 лет, а восьмилетних было больше всех. Вычислите их средний возраст.

Решение: Так как число детей младшего возраста равно 4, то число восьмилетних может быть не менее 5. Если их больше 5, то шести и восьмилетних будет больше 9. Тогда на детей возрастов 7 лет, 9 лет и 10 лет останется в сумме только или 1 год или 2 года. Этого быть не может. Значит восьмилетних детей ровно 5 человек. Остаток от 12 составит 3 ребенка. Их надо распределить между возрастами 7 лет, 9 лет и 10 лет. Легко понять, что их ровно по одному человеку.

 Получаем следующий расклад:  6 лет — 4 человека; 7 лет — 1 человек; 8 лет — 5 человек; 9 лет — 1 человек;10 лет — 1 человек.

Найдем теперь средний возраст — среднее арифметическое имеющихся возрастов. Напомню, что средним арифметическим нескольких чисел называют результат деления их суммы на их количество. Вычисляем его так: ( 6*4 + 7*1 + 8*5 + 9*1 + 10*1) / 12 = 7,5

Ответ:   7,5 лет.

• 
  Задача № 2 :
  

---