ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 473
Скачиваний: 1
26
V.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1.
Что
называется
абсолютно
твердым
телом
,
числом
степеней
свобо
-
ды
?
Сколько
степеней
свободы
имеет
абсолютно
твердое
тело
?
2.
Охарактеризуйте
плоское
движение
абсолютно
твердого
тела
.
Сформулируйте
и
докажите
теорему
Эйлера
для
плоского
движения
.
3.
Получите
выражение
кинетической
энергии
твердого
тела
при
плоском
движении
.
4.
Выведите
рабочую
формулу
для
определения
момента
инерции
ма
-
ятника
Максвелла
,
используя
закон
сохранения
механической
энергии
.
5.
Выведите
рабочую
формулу
для
определения
момента
инерции
ма
-
ятника
Максвелла
,
используя
уравнения
движения
системы
.
6.
Каковы
возможные
погрешности
при
определении
момента
инер
-
ции
маятника
Максвелла
?
7.
Выведите
формулу
для
расчета
погрешности
определения
момента
инерции
маятника
Максвелла
.
27
РАБОТА
№
7.
ИЗУЧЕНИЕ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО
ТЕЛА
НА
МАЯТНИКЕ
ОБЕРБЕКА
Цель
работы
:
экспериментальная
проверка
основного
уравнения
ди
-
намики
вращательного
движения
твердого
тела
.
I.
ВВЕДЕНИЕ
Любое
сложное
движение
твердого
тела
сводится
к
поступательному
движению
и
вращению
.
При
поступательном
движении
все
точки
твердого
тела
движутся
с
одинаковыми
скоростями
и
ускорениями
.
В
каждом
теле
существует
такая
точка
,
что
при
описании
движения
всю
массу
тела
m
можно
считать
сосредоточенной
в
этой
точке
,
а
все
внешние
силы
–
прило
-
женными
к
ней
.
Данная
точка
называется
центром
масс
или
инерции
.
По
-
ступательное
движение
тел
обычно
рассматривается
как
движение
матери
-
альной
точки
массой
m
,
находящейся
в
центре
инерции
.
Вращательное
движение
твердого
тела
можно
рассматривать
как
вращение
в
системе
координат
,
начало
которой
совпадает
с
центром
инер
-
ции
.
Рассмотрим
твердое
тело
А
(
рис
. 1),
которое
может
вращаться
вокруг
неподвижной
оси
.
Для
того
,
чтобы
вызвать
вращение
тела
,
необходимо
внешнее
воз
-
действие
.
Однако
сила
F’
,
продолжение
которой
прохо
-
дит
через
ось
вращения
,
или
сила
F”
,
параллельная
оси
,
не
могут
изменить
угловую
скорость
.
Поэтому
из
при
-
ложенной
к
телу
силы
R
G
можно
выделить
составляющие
F’
и
F”
,
не
вызы
-
вающие
вращения
.
Вращение
может
быть
вызвано
только
силой
F
,
распо
-
ложенной
в
плоскости
,
перпендикулярной
оси
вращения
и
направленной
по
касательной
к
окружности
,
которую
описывает
точка
ее
приложения
.
Одной
из
основных
характеристик
движения
является
момент
им
-
пульса
.
Рассмотрим
движение
частицы
,
положение
которой
характеризует
-
ся
радиусом
-
вектором
r
G
относительно
произвольной
точки
О
выбранной
системы
отсчета
в
некоторый
момент
времени
(
рис
. 2).
Импульс
частицы
в
данный
момент
времени
.
p m
υ
= ⋅
G
G
Рис
. 1
28
Моментом
импульса
частицы
А
относительно
точки
О
называется
вектор
L
G
,
равный
векторному
произведению
векторов
r
G
и
p
G
:
[ ]
,
.
L
r p
=
G
G G
(1)
Из
определения
следует
,
что
вектор
L
G
перпендикулярен
плоскости
,
в
которой
находятся
векторы
r
G
и
p
G
,
и
образует
с
ними
правую
тройку
векторов
.
Это
значит
,
что
если
вектор
r
G
вращать
в
направлении
,
указанном
вектором
p
G
,
то
вектор
L
G
дол
-
жен
совпадать
с
направлением
поступательного
движения
правого
винта
.
Модуль
вектора
момента
импульса
равен
:
sin
,
L r p
p
α
= ⋅ ⋅
= ⋅
A
(2)
где
sin
r
α
= ⋅
A
–
плечо
вектора
p
G
относительно
точки
О
.
Дифференцирование
уравнения
(1)
по
времени
дает
:
,
,
.
dL
dr
dp
p
r
dt
dt
dt
⎡
⎤ ⎡
⎤
=
+
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
G
G
G
G
G
Поскольку
вектор
скорости
/
dr dt
υ
=
G
G
и
вектор
импульса
p
G
коллинеарны
,
первое
слагаемое
правой
части
последнего
равенства
равно
нулю
.
Поэтому
,
dL
dp
r
dt
dt
⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎣
⎦
G
G
G
,
Где
,
согласно
второму
закону
Ньютона
,
,
dp
F
dt
=
G
G
следовательно
,
,
.
dL
r F
dt
⎡
⎤
= ⎣
⎦
G
G
G
(3)
Векторное
произведение
,
r F
⎡
⎤
⎣
⎦
G
G
называется
моментом
силы
M
G
,
дей
-
ствующей
на
частицу
,
относительно
точки
О
,
то
есть
,
.
M
r F
⎡
⎤
= ⎣
⎦
G
G
G
(4)
Рис
. 2
29
Вектор
,
M
G
как
и
вектор
,
L
G
является
аксиальным
.
Векторы
, ,
M r F
G
G
G
образуют
правую
тройку
векторов
,
и
направление
вектора
M
G
определяется
из
правила
правого
винта
.
Модуль
момента
силы
равен
:
sin
,
,
M
r F
r F
F
∧
⎛
⎞
= ⋅ ⋅
= ⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
G
G
A
где
sin
,
r
r F
∧
⎛
⎞
= ⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
G
G
A
–
плечо
силы
F
G
относительно
точки
О
.
Подстановка
формулы
(4)
в
уравнение
(3)
дает
:
dL
M
dt
=
G
G
, (5)
то
есть
,
производная
по
времени
от
момента
импульса
частицы
относитель
-
но
некоторой
точки
О
выбранной
системы
отсчета
равна
моменту
дейст
-
вующей
силы
относительно
той
же
точки
О
.
Соотношение
(5)
называется
уравнением
моментов
.
Если
точку
О
считать
началом
декартовой
системы
координат
,
то
векторное
уравнение
(5)
эквивалентно
трем
уравнениям
:
,
,
,
y
x
z
x
y
z
dL
dL
dL
M
M
M
dt
dt
dt
=
=
=
где
L
x
, L
y
, L
z
–
проекции
вектора
L
G
на
оси
координат
.
Их
называют
момен
-
тами
импульса
твердого
тела
относительно
неподвижных
осей
OX, OY, OZ
соответственно
.
Из
уравнения
моментов
(5),
в
частности
,
следует
,
что
если
M
G
= 0
,
то
L
G
= const
,
то
есть
если
относительно
некоторой
точки
О
выбранной
систе
-
мы
отсчета
момент
всех
сил
,
действующих
на
частицу
,
равен
нулю
в
те
-
чение
некоторого
промежутка
времени
,
то
относительно
этой
точки
момент
импульса
частицы
остается
постоянным
в
течение
этого
промежутка
време
-
ни
.
Умножив
обе
части
уравнения
моментов
(5)
на
dt
,
можно
получить
выражение
dL M dt
=
⋅
G
G
,
определяющее
элементарное
приращение
вектора
L
G
.
Интегрирование
данного
выражения
по
времени
позволяет
получить
при
-
ращение
вектора
L
G
за
конечный
промежуток
времени
:
2
1
0
.
t
L
L
M dt
−
=
⋅
∫
G
G
G
30
Величину
0
t
M dt
⋅
∫
G
называют
импульсом
момента
силы
.
Таким
обра
-
зом
,
приращение
момента
импульса
частицы
за
произвольный
промежуток
времени
равно
импульсу
момента
силы
за
этот
же
временной
интервал
.
Рассмотрим
вращение
частицы
массой
m
под
действием
силы
F
G
по
окружности
радиусом
r
.
Тогда
радиус
-
вектор
частицы
относительно
центра
О
окружности
в
любой
момент
времени
равен
r
G
.
Если
линейная
скорость
частицы
равна
υ
G
,
то
импульс
частицы
равен
.
p m
υ
= ⋅
G
G
Подстановка
последнего
выражения
в
формулу
(1)
дает
:
[ ] [
]
[
]
2
,
,
,
.
L
r p
r m
m r
r
mr
υ
ω
ω
⎡
⎤
=
=
=
=
⎣
⎦
G
G
G
G
G G
G
G
G
(6)
Скалярная
физическая
величина
J
,
равная
произведению
массы
час
-
тицы
на
квадрат
ее
расстояния
до
оси
вращения
частицы
,
называется
мо
-
ментом
инерции
частицы
относительно
оси
вращения
:
2
2
.
J
mr
кг м
⎡
⎤
=
⋅
⎣
⎦
(7)
Уравнение
(6)
с
учетом
формулы
(7)
принимает
вид
:
.
L J
ω
=
G
G
(8)
Подстановка
формулы
(8)
в
уравнение
моментов
(5)
дает
:
( )
,
d J
M
dt
ω
=
G
G
окончательно
:
,
J
M
ε
=
G
G
(9)
где
ε
G
–
угловое
ускорение
.
Соотношение
(9)
называется
основным
уравнением
динамики
враща
-
тельного
движения
.
Из
уравнения
(9),
которое
называют
также
вторым
за
-
коном
Ньютона
для
вращательного
движения
,
следует
,
что
момент
вра
-
щающей
силы
относительно
центра
вращения
,
приложенный
к
телу
,
равен
произведению
момента
инерции
тела
относительно
центра
вращения
на
уг
-
ловое
ускорение
.
Таким
образом
,
угловое
ускорение
,
сообщаемое
телу
вра
-
щающим
моментом
M
G
,
зависит
от
момента
инерции
тела
J
:
чем
больше
момент
инерции
,
тем
меньше
угловое
ускорение
.
Следовательно
,
момент