ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 415
Скачиваний: 1
— 11 —
Доказательство.
Для каждой функции
x
k
∈
C
+
возьмем соответству-
ющую последовательность ступенчатых функций
{
h
kn
}
∞
n
=1
, в частности та-
кую, что
h
kn
(
t
)
%
x
k
(
t
)
при
n
→ ∞
. Определим ступенчатые функции
h
n
(
t
) = max
{
h
1
n
(
t
)
, h
2
n
(
t
)
, ..., h
nn
(
t
)
}
. Последовательность
{
h
n
(
t
)
}
монотонно
возрастает. Заметим, что
h
n
(
t
)
≤
max
{
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, ..., x
n
(
t
)
}
=
x
n
(
t
)
. Поэтому
Ih
n
≤
(
C
+
)
Ix
n
≤
c
.
Обозначим
x
∗
(
t
) = lim
n
→∞
h
n
(
t
)
. Из определения множества
C
+
следует,
что функция
x
∗
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ix
∗
= lim
n
→∞
Ih
n
. Заметим, что
h
kn
(
t
)
≤
h
n
(
t
)
≤
x
n
(
t
)
при любом фиксированном
k
и
n
≥
k
. Переходя к пределу в последнем
неравенстве при
n
→ ∞
, получим
x
k
(
t
)
≤
x
∗
(
t
)
≤
x
(
t
)
. Отсюда при
k
→ ∞
следует
x
∗
(
t
)
п.в.
=
x
(
t
)
. Таким образом,
x
∈
C
+
. Далее воспользуемся неравен-
ством
h
n
(
t
)
≤
x
n
(
t
)
≤
x
(
t
)
, из которого получим
Ih
n
≤
(
C
+
)
Ix
n
≤
(
C
+
)
Ix
.
Так как
(
C
+
)
Ix
= (
C
+
)
Ix
∗
= lim
n
→∞
(
C
+
)
Ih
n
, то из последней оценки следу-
ет
(
C
+
)
Ix
= lim
n
→∞
(
C
+
)
Ix
n
.
♥
Следствие.
Пусть дан функциональный ряд
P
∞
k
=1
y
k
(
t
)
, где все функции
y
k
∈
C
+
и
y
k
(
t
)
≥
0
п.в. на
[
a, b
]
. Пусть также
(
∃
c
)(
∀
n
) [
P
n
k
=1
(
C
+
)
Iy
k
≤
c
]
.
Тогда функция
x
(
t
) =
P
∞
k
=1
y
k
(
t
)
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ix
=
P
∞
k
=1
(
C
+
)
Iy
k
.
Доказательство.
Следует определить функции
x
n
(
t
) =
P
n
k
=1
y
k
(
t
)
и при-
менить доказанную теорему 2.
♥
6. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
Напомним известную из курса математического анализа (напр., [7]) схе-
му построения интеграла Римана от ограниченной на
[
a, b
]
функции
x
(
t
)
.
Обозначим через
P
разбиение
a
=
t
0
< t
1
< ... < t
k
=
b
отрезка
[
a, b
]
на
частичные отрезки
4
j
= [
t
j
−
1
, t
j
]
, где
j
= 1
, k
. Обозначим
m
j
= inf
t
∈4
j
x
(
t
)
,
M
j
= sup
t
∈4
j
x
(
t
)
.
Составим две суммы, зависящие от разбиения
P
,
s
P
=
X
j
m
j
|4
j
|
,
S
P
=
X
j
M
j
|4
j
|
,
которые называются соответственно нижней и верхней интегральными сум-
мами Дарбу.
Пусть даны два разбиения
P
1
и
P
2
, а разбиение
P
=
P
1
∪
P
2
. Тогда, оче-
видно,
s
P
1
≤
s
P
≤
S
P
≤
S
P
2
. Таким образом, при добавлении новых точек де-
ления нижняя сумма Дарбу может лишь увеличиться, а верхняя сумма лишь
уменьшиться. Кроме того, для произвольных разбиений любая нижняя сум-
ма Дарбу не превосходит любой верхней суммы. Следовательно, определены
— 12 —
два числа:
s
= sup
P
s
P
,
S
= inf
P
S
P
,
где точные верхняя и нижняя границы берутся по всем разбиениям
P
отрезка
[
a, b
]
. Очевидно, что
s
≤
S
.
Если
s
=
S
, то говорят, что функция
x
(
t
)
интегрируема на
[
a, b
]
по Риману,
причем значение интеграла Римана
(
R
)
Z
b
a
x
(
t
)
dt
= (
R
)
Ix
=
s
=
S.
Если же
s < S
, то говорят, что функция
x
(
t
)
по Риману на
[
a, b
]
не интегри-
руема.
Возьмем последовательность разбиений
{
P
n
}
отрезка
[
a, b
]
такую, что дли-
на максимального промежутка в разбиении
P
n
стремится к нулю при
n
→ ∞
.
Оказывается, что тогда
s
P
n
=
s
n
→
s
и
S
P
n
=
S
n
→
S
.
Ограниченной на
[
a, b
]
функции
x
(
t
)
и разбиению
P
сопоставим две сту-
пенчатые функции
h
P
(
t
)
и
H
P
(
t
)
, первая из которых в промежутке
4
j
при-
нимает значения
m
j
, а вторая –
M
j
. Тогда
s
p
=
Ih
P
и
S
p
=
IH
P
.
Предположим далее, что на
[
a, b
]
задана последовательность разбиений
{
P
n
}
такая, что
P
n
⊂
P
n
+1
, то есть разбиение
P
n
+1
получается из разбиения
P
n
путем добавления новых точек деления. Кроме того, считаем что длина
максимального промежутка в разбиении
P
n
стремится к нулю при
n
→ ∞
.
Такую последовательность разбиений будем называть
стандартной
. После-
довательности таких разбиений сопоставим, как было описано выше, две по-
следовательности ступенчатых функций:
{
h
n
(
t
)
}
и
{
H
n
(
t
)
}
, где
h
n
(
t
) =
h
P
n
(
t
)
и
H
n
(
t
) =
H
P
n
(
t
)
. Заметим, что п.в. на
[
a, b
]
h
1
(
t
)
≤
h
2
(
t
)
≤
...
≤
h
n
(
t
)
≤
...
≤
x
(
t
)
≤
...
≤
H
n
(
t
)
≤
...
≤
H
2
(
t
)
≤
H
1
(
t
)
.
Обозначим через
x
(
t
)
и
x
(
t
)
предельные функции этих последовательностей
ступенчатых функций, то есть
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
H
n
(
t
)
&
x
(
t
)
. Очевидно, что
x
(
t
)
≤
x
(
t
)
≤
x
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
.
Теорема 3.
Ограниченная на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману
тогда и только тогда, когда
x
(
t
) =
x
(
t
) =
x
(
t
)
п.в. на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Пусть прежде функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману.
Последовательность ступенчатых функций
{
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
}
монотонно убы-
вает, то есть
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
≥
H
n
+1
(
t
)
−
h
n
+1
(
t
)
, и
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
≥
0
. Кроме
того,
I
(
H
n
−
h
n
) =
IH
n
−
Ih
n
→
S
−
s
= 0
. Воспользовавшись леммой 8,
получим
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
&
0
. С другой стороны,
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
&
x
(
t
)
−
x
(
t
)
.
Следовательно,
x
(
t
) =
x
(
t
) =
x
(
t
)
.
— 13 —
Теперь предположим, что
x
(
t
) =
x
(
t
)
. Следовательно,
H
n
(
t
)
−
h
n
(
t
)
&
x
(
t
)
−
x
(
t
) = 0
. Воспользовавшись леммой 7, получим
I
(
H
n
−
h
n
)
&
0
. Но, с
другой стороны,
I
(
H
n
−
h
n
) =
IH
n
−
Ih
n
→
S
−
s
. Таким образом,
s
=
S
и
функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману.
♥
Следствие.
Пусть функция
x
(
t
)
ограничена и интегрируема на
[
a, b
]
по
Риману. Тогда
x
∈
C
+
и
(
C
+
)
Ix
= (
R
)
Ix
.
Доказательство.
По произвольной стандартной последовательности раз-
биений отрезка
[
a, b
]
определим, как описано выше, последовательность сту-
пенчатых функций
{
h
n
(
t
)
}
. Заметим, что
h
n
(
t
)
%
x
(
t
) =
x
(
t
)
и, кроме того,
Ih
n
=
s
n
≤
s
= (
R
)
Ix <
∞
. Следовательно,
x
∈
C
+
, а также выполняется
(
C
+
)
Ix
= lim
n
→∞
Ih
n
= lim
n
→∞
s
n
=
s
= (
R
)
Ix
.
♥
•
Задача
10.16.
7. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА
Пусть
x
(
t
)
– ограниченная на
[
a, b
]
функция. По стандартной последова-
тельности разбиений
{
P
n
}
были построены функции
x
(
t
)
и
x
(
t
)
, которые, ко-
нечно же, зависят от последовательности
{
P
n
}
. Покажем, что функции
x
(
t
)
и
x
(
t
)
можно задавать непосредственно по функции
x
(
t
)
, во всяком случае с
точностью до ММН.
Определим на
[
a, b
]
две функции
x
∗
(
t
)
и
x
∗
(
t
)
, которые для
t
0
∈
[
a, b
]
за-
даются выражениями:
x
∗
(
t
0
) = lim inf
t
→
t
0
x
(
t
)
,
x
∗
(
t
0
) = lim sup
t
→
t
0
x
(
t
)
.
Здесь через
lim inf
t
→
t
0
x
(
t
)
обозначен нижний предел
x
(
t
)
при
t
→
t
0
, а через
lim sup
t
→
t
0
x
(
t
)
, соответственно, верхний предел. Напомним, что для
t
0
∈
[
a, b
]
(
∀
ε >
0)(
∃
δ >
0)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [ (
|
t
−
t
0
|
< δ
)
→
(
x
∗
(
t
0
)
−
ε < x
(
t
)
< x
∗
(
t
0
) +
ε
) ]
.
Заметим также, что для
t
∈
[
a, b
]
всегда
x
∗
(
t
)
≤
x
(
t
)
≤
x
∗
(
t
)
.
Лемма 12.
Функция
x
(
t
)
, ограниченная на
[
a, b
]
, непрерывна в точке
t
0
∈
[
a, b
]
тогда и только тогда, когда
x
∗
(
t
0
) =
x
(
t
0
) =
x
∗
(
t
0
)
.
Доказательство.
Пусть функция
x
(
t
)
непрерывна в точке
t
0
∈
[
a, b
]
. Тогда
x
(
t
)
→
x
(
t
0
)
при
t
→
t
0
, что означает
lim inf
t
→
t
0
x
(
t
) = lim
t
→
t
0
x
(
t
) = lim sup
t
→
t
0
x
(
t
)
.
Таким образом,
x
∗
(
t
0
) =
x
(
t
0
) =
x
∗
(
t
0
)
.
Пусть теперь в точке
t
0
∈
[
a, b
]
выполняется
x
∗
(
t
0
) =
x
(
t
0
) =
x
∗
(
t
0
)
. Это
означает, что
x
(
t
0
) = lim
t
→
t
0
x
(
t
)
, то есть
x
(
t
)
непрерывна в точке
t
0
.
♥
— 14 —
Лемма 13.
Пусть
x
(
t
)
– ограниченная на
[
a, b
]
функция. Пусть
{
P
n
}
–
стандартная последовательность разбиений отрезка
[
a, b
]
, по которой опреде-
лены функции
x
(
t
)
и
x
(
t
)
. Тогда
x
(
t
)
п.в.
=
x
∗
(
t
)
и
x
(
t
)
п.в.
=
x
∗
(
t
)
.
Доказательство.
Из отрезка
[
a, b
]
удалим множество точек, образующих
разбиения
P
n
, а также множество точек, в которых не выполняются свойства:
h
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
H
n
(
t
)
&
x
(
t
)
. Оставшееся на
[
a, b
]
множество полной меры
обозначим
[
a, b
]
0
.
Возьмем произвольное
t
0
∈
[
a, b
]
0
и покажем, что
x
(
t
0
) =
x
∗
(
t
0
)
. По произ-
вольному заданному
ε >
0
(
∃
δ >
0)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [ (
|
t
−
t
0
|
< δ
)
→
(
x
(
t
)
> x
∗
(
t
0
)
−
ε
) ]
.
С другой стороны,
(
∃
n
∈
N
) [
t
0
∈ 4
n
j
⊂
(
t
0
−
δ, t
0
+
δ
) ]
, где
4
n
j
= [
t
n
j
−
1
, t
n
j
]
–
некоторый отрезок, порожденный разбиением
P
n
. Но тогда
h
n
(
t
0
) = inf
t
∈4
n
j
x
(
t
)
≥
x
∗
(
t
0
)
−
ε .
Из последней оценки при
n
→ ∞
получим
x
(
t
0
)
≥
x
∗
(
t
0
)
−
ε
. С другой
стороны,
(
∃
t
∈ 4
n
j
) [
x
(
t
)
< x
∗
(
t
0
) +
ε
]
. Следовательно, справедлива оценка
h
n
(
t
0
) = inf
t
∈4
n
j
x
(
t
)
< x
∗
(
t
0
) +
ε ,
из которой при
n
→ ∞
получим
x
(
t
0
)
≤
x
∗
(
t
0
) +
ε
. Таким образом, п.в. на
[
a, b
]
для произвольного
ε >
0
установлены оценки
x
∗
(
t
)
−
ε
≤
x
(
t
)
≤
x
∗
(
t
)+
ε
.
Следовательно, установили, что
x
(
t
)
п.в.
=
x
∗
(
t
)
.
Аналогично доказывается, что
x
(
t
)
п.в.
=
x
∗
(
t
)
.
♥
Теорема (Лебега) 4.
Ограниченная на отрезке
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
инте-
грируема по Риману тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва
есть ММН.
Доказательство.
Пусть задана
{
P
n
}
– стандартная последовательность
разбиений
[
a, b
]
, по которой определены функции
x
(
t
)
и
x
(
t
)
.
Предположим прежде, что функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману. Тогда
(теорема 3 и лемма 13) п.в. на
[
a, b
]
выполняется
x
∗
(
t
) =
x
(
t
) =
x
(
t
) =
x
(
t
) =
x
∗
(
t
)
.
Следовательно (лемма 12), п.в. на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
непрерывна.
Теперь предположим, что функция
x
(
t
)
на
[
a, b
]
непрерывна на множестве
точек полной меры. Тогда (леммы 12 и 13) п.в. на
[
a, b
]
выполняется
x
(
t
) =
x
∗
(
t
) =
x
(
t
) =
x
∗
(
t
) =
x
(
t
)
.
Следовательно (теорема 3), функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману.
♥
— 15 —
•
Задачи:
10.17 – 10.24.
8. СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Функция
x
(
t
)
, определенная п.в. на
[
a, b
]
, называется
суммируемой
, если
п.в. на
[
a, b
]
функция
x
(
t
) =
f
(
t
)
−
g
(
t
)
, где
f, g
∈
C
+
. Заметим, что указан-
ное представление суммируемой функции в виде разности двух функций из
C
+
не однозначно. Множество всех функций, суммируемых на
[
a, b
]
, будем
обозначать
L
[
a, b
]
или просто
L
.
Очевидно, что всякая суммируемая функция измерима. Если
x
∈
C
+
, то
x
∈
L
. Заметим также, что если на
[
a, b
]
выполняется
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и функция
x
∈
L
, то и функция
y
∈
L
.
•
Задача
11.6.
Лемма 14.
Пусть функции
x, y
∈
L
. Тогда множеству
L
принадлежат и
следующие функции:
x
(
t
) +
y
(
t
)
,
αx
(
t
) (
α
∈
R
)
,
|
x
(
t
)
|
,
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
,
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
}
.
Доказательство.
Пусть
x
(
t
) =
f
1
(
t
)
−
g
1
(
t
)
и
y
(
t
) =
f
2
(
t
)
−
g
2
(
t
)
, где
f
1
, g
1
, f
2
, g
2
∈
C
+
. Тогда
x
+
y
= (
f
1
+
f
2
)
−
(
g
1
+
g
2
)
∈
L
, так как по лемме 9
f
1
+
f
2
, g
1
+
g
2
∈
C
+
.
Для функции
αx
(
t
)
в случае
α
≥
0
получим
αx
= (
αf
1
)
−
(
αg
1
)
∈
L
,
так как опять по лемме 9
αf
1
, αg
1
∈
C
+
. В случае
α <
0
получим
αx
=
(
−
αg
1
)
−
(
−
αf
1
)
∈
L
, ибо здесь
−
α >
0
и
−
αg
1
,
−
αf
1
∈
C
+
.
Для функции
|
x
(
t
)
|
отметим представление
|
x
(
t
)
|
= max
{
f
1
(
t
)
, g
1
(
t
)
} −
min
{
f
1
(
t
)
, g
1
(
t
)
}
.
Так как (лемма 9)
max
{
f
1
(
t
)
, g
1
(
t
)
}
,
min
{
f
1
(
t
)
, g
1
(
t
)
} ∈
C
+
, то и
|
x
(
t
)
| ∈
L
.
Наконец, из равенств
min
{
x, y
}
=
1
2
(
x
+
y
− |
x
−
y
|
)
,
max
{
x, y
}
=
1
2
(
x
+
y
+
|
x
−
y
|
)
следует, что
min
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
} ∈
L
и
max
{
x
(
t
)
, y
(
t
)
} ∈
L
.
♥
Определим для функции
x
∈
L
интеграл
. Пусть
x
(
t
) =
f
(
t
)
−
g
(
t
)
, где
f, g
∈
C
+
. Положим по определению
(
L
)
Ix
= (
C
+
)
If
−
(
C
+
)
Ig
. Покажем,
что это определение корректно, то есть не зависит от представления
x
=
f
−
g
.
Пусть есть еще представление
x
(
t
) =
f
1
(
t
)
−
g
1
(
t
)
. Тогда
f
−
g
=
f
1
−
g
1
и,
следовательно,
f
+
g
1
=
f
1
+
g
. Отсюда получим
(
C
+
)
I
(
f
+
g
1
) = (
C
+
)
I
(
f
1
+
g
)
.
Учитывая свойства интеграла в
C
+
, приходим к равенству
(
C
+
)
If
−
(
C
+
)
Ig
=
(
C
+
)
If
1
−
(
C
+
)
Ig
1
, которое означает, что определение
(
L
)
Ix
корректно.
Обратим внимание, что если
x
∈
C
+
, то
(
C
+
)
Ix
= (
L
)
Ix
. Далее, если
x
∈
L
и
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
, то
(
L
)
Ix
= (
L
)
Iy
.