ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 420
Скачиваний: 1
— 31 —
Заметим также, что в точках, где функция
x
(
t
)
конечна, то есть п.в. на
[
a, b
]
,
|
x
(
t
)
−
x
P
(
t
)
| ≤
max
0
≤
i
≤
k
−
1
(
x
i
+1
−
x
i
)
.
Пусть теперь задана последовательность разбиений
{
P
n
}
отрезка
[
m, M
]
такая, что длина наибольшего интервала в разбиении
P
n
стремится к ну-
лю при
n
→ ∞
. Тогда получим последовательность суммируемых функций
x
n
(
t
) =
x
P
n
(
t
)
такую, что
|
x
n
(
t
)
| ≤
max
{|
m
|
,
|
M
|}
и
|
x
(
t
)
−
x
n
(
t
)
| →
0
при
n
→ ∞
п.в. на
[
a, b
]
. Из теоремы 7 следует, что
(
L
)
Ix
= lim
n
→∞
(
L
)
Ix
n
= lim
n
→∞
S
n
(
x
)
.
Последнее равенство означает, что
(Λ)
Ix
существует и при этом выполня-
ется
(Λ)
Ix
= (
L
)
Ix
.
♥
Перейдем к определению интеграла по Лебегу от неограниченной измери-
мой функции. Предположим сначала, что измеримая неограниченная функ-
ция
x
(
t
)
≥
0
п.в. на
[
a, b
]
. Рассмотрим для
n
∈
N
измеримые, неотрицатель-
ные и ограниченные функции
x
n
(
t
) = min
{
x
(
t
)
, n
}
. Для этих функций инте-
гралы
(Λ)
Ix
n
= (
L
)
Ix
n
существуют и неотрицательны. С ростом
n
последова-
тельность
{
(Λ)
Ix
n
}
возрастает. Если существует конечный
lim
n
→∞
(Λ)
Ix
n
, то
говорят, что функция
x
(
t
)
интегрируема
по Лебегу и
(Λ)
Ix
= lim
n
→∞
(Λ)
Ix
n
.
В общем случае измеримой неограниченной функции
x
(
t
)
она называется
интегрируемой
по Лебегу, если по Лебегу интегрируемы неотрицательные
функции
x
+
(
t
)
и
x
−
(
t
)
. В таком случае полагают
(Λ)
Ix
= (Λ)
Ix
+
−
(Λ)
Ix
−
.
Теорема 17.
Множество функций, суммируемых на отрезке
[
a, b
]
, совпа-
дает с множеством функций, интегрируемых на
[
a, b
]
по Лебегу, и значения
соответствующих интегралов равны.
Доказательство.
Для измеримых ограниченных функций утверждение
установлено в теореме 16. Поэтому следует рассмотреть лишь случай неогра-
ниченных измеримых функций. Более того, из представления
x
(
t
) =
x
+
(
t
)
−
x
−
(
t
)
видно, что достаточно рассмотреть только случай неограниченных из-
меримых неотрицательных функций.
Итак, пусть неограниченная измеримая функция
x
(
t
)
≥
0
и суммируема
на
[
a, b
]
. Для
n
∈
N
функции
x
n
(
t
) = min
{
x
(
t
)
, n
} ∈
L
и
x
n
(
t
)
≤
x
(
t
)
.
Здесь
(Λ)
Ix
n
= (
L
)
Ix
n
≤
(
L
)
Ix
. Отсюда следует существование конечного
lim
n
→∞
(Λ)
Ix
n
= (Λ)
Ix
. Кроме того,
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
. Тогда по следствию 1 из
теоремы 5 получим
(
L
)
Ix
= lim
n
→∞
(
L
)
Ix
n
= lim
n
→∞
(Λ)
Ix
n
= (Λ)
Ix
.
Теперь пусть неограниченная измеримая функция
x
(
t
)
≥
0
и интегрируема
на
[
a, b
]
по Лебегу. Вновь
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
и
(
L
)
Ix
n
= (Λ)
Ix
n
≤
(Λ)
Ix
. Как и
выше, по следствию 1 из теоремы 5 получим, что функция
x
∈
L
, то есть
суммируема на
[
a, b
]
.
♥
— 32 —
Далее равносильные интегралы
(Λ)
Ix
и
(
L
)
Ix
обозначаем просто
Ix
.
17. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ИЗМЕРИМОМУ МНОЖЕСТВУ
Пусть
E
⊂
[
a, b
]
– измеримое множество и
χ
E
(
t
)
– характеристическая
функция этого множества. Определенная на
E
функция
x
(
t
)
называется
сум-
мируемой на
E
, если на
[
a, b
]
суммируема функция
χ
E
(
t
)
x
(
t
) =
½
x
(
t
)
,
t
∈
E
0
,
t
∈
[
a, b
]
\
E .
Множество всех функций, суммируемых на
E
, будем обозначать
L
(
E
)
.
Для функции
x
∈
L
(
E
)
определим интеграл по множеству
E
.
I
E
x
=
Z
E
x
(
t
)
dt
=
Z
b
a
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
dt
=
I
(
χ
E
x
)
.
Этот интеграл по измеримому множеству, как легко видеть, обладает все-
ми обычными свойствами интеграла по отрезку, включая теоремы о предель-
ном переходе под знаком интеграла.
Далее рассмотрим некоторые специфические свойства интеграла по изме-
римому множеству.
Простейшие свойства интегрирования.
1.
Пусть множество
E
⊂
[
a, b
]
и измеримо, а функция
x
∈
L
[
a, b
]
. Тогда
функция
x
∈
L
(
E
)
.
Доказательство.
Функция
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
измерима как произведение измери-
мых функций. Кроме того,
|
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
| ≤ |
x
(
t
)
| ∈
L
. По следствию 1 теоремы
7 функция
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
. Следовательно,
x
(
t
)
∈
L
(
E
)
.
♥
2.
Пусть
E
и
E
1
– измеримые на
[
a, b
]
множества и
E
1
⊂
E
. Пусть функция
x
∈
L
(
E
)
. Тогда
x
∈
L
(
E
1
)
.
Доказательство.
Заметим, что
χ
E
1
(
t
)
x
(
t
) =
χ
E
1
(
t
) [
χ
E
(
t
)
x
(
t
)]
. Здесь по
условию функция
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
. Тогда по первому свойству
χ
E
1
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
.
Следовательно,
x
(
t
)
∈
L
(
E
1
)
.
♥
3.
Пусть
E
1
и
E
2
– измеримые на
[
a, b
]
множества такие, что
E
1
∩
E
2
=
∅
и
E
=
E
1
∪
E
2
. Пусть на
E
задана функция
x
(
t
)
такая, что
x
∈
L
(
E
1
)
и
x
∈
L
(
E
2
)
. Тогда
x
∈
L
(
E
)
и
I
E
x
=
I
E
1
x
+
I
E
2
x
.
Доказательство.
Характеристическая функция
χ
E
(
t
) =
χ
E
1
(
t
) +
χ
E
2
(
t
)
.
Следовательно, функция
χ
E
(
t
)
x
(
t
) =
χ
E
1
(
t
)
x
(
t
) +
χ
E
2
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
, то есть
функция
x
(
t
)
∈
L
(
E
)
. Кроме того,
I
E
x
=
I
(
χ
E
x
) =
I
(
χ
E
1
x
) +
I
(
χ
E
2
x
) =
I
E
1
x
+
I
E
2
x
.
♥
Теорема 18.
Пусть множество
E
=
S
∞
n
=1
E
n
, где все множества
E
n
изме-
— 33 —
римы на
[
a, b
]
и
E
i
∩
E
j
=
∅
для
i
6
=
j
. Пусть функция
x
∈
L
(
E
)
. Тогда
I
E
x
=
Z
E
x
(
t
)
dt
=
∞
X
n
=1
Z
E
n
x
(
t
)
dt
=
∞
X
n
=1
I
E
n
x .
Доказательство.
По свойству 2 получим, что
(
∀
n
∈
N
) [
x
∈
L
(
E
n
)]
. За-
метим, что
χ
E
(
t
) =
P
∞
n
=1
χ
E
n
(
t
)
. Поэтому
χ
E
(
t
)
x
(
t
) =
∞
X
n
=1
χ
E
n
(
t
)
x
(
t
) = lim
n
→∞
n
X
k
=1
χ
E
k
(
t
)
x
(
t
) = lim
n
→∞
y
n
(
t
)
,
где
y
n
(
t
) =
P
n
k
=1
χ
E
k
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
. Кроме того,
|
y
n
(
t
)
| ≤ |
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
| ∈
L
. Из
теоремы 7 следует, что
I
(
χ
E
x
) = lim
n
→∞
Iy
n
= lim
n
→∞
n
X
k
=1
I
(
χ
E
k
x
) =
∞
X
k
=1
I
(
χ
E
k
x
)
.
Таким образом,
I
E
x
=
P
∞
n
=1
I
E
n
x
.
♥
Замечание.
Пусть множество
E
=
S
∞
n
=1
E
n
, где множества
E
n
измеримы
на
[
a, b
]
и
E
i
∩
E
j
=
∅
для
i
6
=
j
. Если предположить, что на
E
задана
функция
x
(
t
)
такая, что
(
∀
n
∈
N
) [
x
∈
L
(
E
n
)]
, то отсюда не следует, что
функция
x
∈
L
(
E
)
.
В качестве такого примера рассмотрим на
(0
,
1]
функцию
x
(
t
)
, которая
для всех
n
∈
N
на
(
1
n
+1
,
1
n
] =
E
n
задается формулой
x
(
t
) =
(
−
n,
1
n
+1
< t
≤
2
n
+1
2
n
(
n
+1)
n,
2
n
+1
2
n
(
n
+1)
< t
≤
1
n
.
Заметим, что
(0
,
1] =
S
∞
n
=1
E
n
. На
E
n
функция
x
(
t
)
ступенчатая, следова-
тельно,
x
∈
L
(
E
n
)
. Очевидно,
(
∀
n
∈
N
) [
I
E
n
x
= 0]
.
Предположим, что функция
x
∈
L
(0
,
1]
. Тогда и
|
x
| ∈
L
(0
,
1]
, где для
t
∈
E
n
функция
|
x
(
t
)
|
=
n
. Из теоремы 18 тогда следует, что
I
E
|
x
|
=
Z
1
0
|
x
(
t
)
|
dt
=
∞
X
n
=1
Z
E
n
|
x
(
t
)
|
dt
=
∞
X
n
=1
n
³
1
n
−
1
n
+ 1
´
=
∞
X
n
=1
1
n
+ 1
=
∞
.
Получили, что функция
|
x
|
/
∈
L
(0
,
1]
, но тогда и
x /
∈
L
(0
,
1]
.
♥
Теорема 19.
Пусть множество
E
=
S
∞
n
=1
E
n
, где множества
E
n
измеримы
на
[
a, b
]
и
E
i
∩
E
j
=
∅
для
i
6
=
j
. Пусть на
E
задана функция
x
(
t
)
≥
0
и
(
∀
n
∈
N
) [
x
∈
L
(
E
n
)]
. Предположим, что
P
∞
n
=1
I
E
n
x <
∞
. Тогда
x
∈
L
(
E
)
.
Доказательство.
Здесь, как и в теореме 18,
χ
E
(
t
)
x
(
t
) =
∞
X
n
=1
χ
E
n
(
t
)
x
(
t
) = lim
n
→∞
n
X
k
=1
χ
E
k
(
t
)
x
(
t
) = lim
n
→∞
y
n
(
t
)
,
— 34 —
где
y
n
(
t
) =
P
n
k
=1
χ
E
k
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
. Последовательность
y
n
(
t
)
%
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
.
Кроме того,
Iy
n
=
n
X
k
=1
I
(
χ
E
k
x
) =
n
X
k
=1
I
E
k
x
≤
∞
X
k
=1
I
E
k
x <
∞
.
По следствию 1 теоремы 5 получим, что
χ
E
(
t
)
x
(
t
)
∈
L
, то есть
x
∈
L
(
E
)
.
♥
Лемма 21.
Пусть дано измеримое множество
E
⊂
[
a, b
]
и функция
x
∈
L
(
E
)
. Пусть также
|
x
(
t
)
| ≤
c
п.в. на
E
. Тогда
I
E
|
x
| ≤
c µE
.
Доказательство
следует из оценки
I
E
|
x
|
=
I
(
χ
E
|
x
|
)
≤
I
(
c χ
E
) =
c Iχ
E
=
c µE .
♥
Теорема 20.
Пусть функция
x
∈
L
[
a, b
]
. Тогда
(
∀
ε >
0)(
∃
δ >
0)(
∀
E
⊂
[
a, b
]) [(
µE < δ
)
→
(
I
E
|
x
|
< ε
)]
.
Доказательство.
Рассмотрим представление
x
(
t
) =
f
(
t
)
−
g
(
t
)
, где функ-
ции
f, g
∈
C
+
. Возьмем соответствующие последовательности ступенчатых
функций
{
h
n
(
t
)
}
и
{
k
n
(
t
)
}
, что
h
n
(
t
)
%
f
(
t
)
и
k
n
(
t
)
%
g
(
t
)
. Зададим
ε >
0
.
По определению интеграла в
C
+
(
∃
N
∈
N
)(
∀
n
≥
N
) [(0
≤
I
(
f
−
h
n
)
< ε/
4)
∧
(0
≤
I
(
g
−
k
n
)
< ε/
4)]
.
Фиксируем
n
≥
N
и определим ступенчатую функцию
H
n
(
t
) =
h
n
(
t
)
−
k
n
(
t
)
.
Получим оценку
I
|
x
−
H
n
|
=
I
|
f
−
g
−
h
n
+
k
n
| ≤
I
(
f
−
h
n
) +
I
(
g
−
k
n
)
< ε/
2
.
Существует
c
=
c
(
n
)
∈
R
1
, что
|
H
n
(
t
)
| ≤
c
п.в. на
[
a, b
]
. Пусть измеримое
множество
E
⊂
[
a, b
]
такое, что
µE < ε/
2
c
=
δ
. Тогда, учитывая лемму 21,
получим
I
E
|
x
|
=
I
E
|
x
−
H
n
+
H
n
| ≤
I
E
|
x
−
H
n
|
+
I
E
|
H
n
| ≤
ε/
2 +
c µE < ε .
♥
Установленное в теореме 20 свойство называется
абсолютной непрерывно-
стью интеграла по множеству
.
•
Задачи:
13.1, 13.3 – 13.5.
18. СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА
Все рассмотренные выше факты относились к функциям и множествам
на конечном отрезке
[
a, b
]
. Покажем теперь, как полученные результаты пе-
реносятся на случай бесконечных промежутков:
[
a,
∞
)
,
(
−∞
, b
]
и
(
−∞
,
∞
)
.
— 35 —
Определение
множества меры нуль
на бесконечном промежутке остается
таким же, как на конечном промежутке.
Ступенчатой функцией на бесконечном промежутке
будем называть
функцию
h
(
t
)
, принимающую постоянные значения в конечном числе конеч-
ных попарно непересекающихся интервалов
4
j
= (
t
j
, t
j
+1
)
; в остальной же
части бесконечного промежутка функция
h
(
t
)
предполагается равной нулю.
Интеграл
от ступенчатой функции
h
(
t
)
, принимающей значение
b
j
на ин-
тервале
4
j
(
j
= 1
, k
)
, определяется формулой
Ih
=
P
k
j
=1
b
j
|4
j
|
.
Множество измеримых функций, множества
C
+
и
L
определяются фор-
мально, как и в случае ограниченного промежутка.
Все факты теории интегрирования, установленные ранее, сохраняются и
на бесконечном промежутке за одним исключением. На бесконечном проме-
жутке
ограниченные измеримые функции, вообще говоря, не являются сум-
мируемыми
.
В качестве примера рассмотрим на
[0
,
∞
)
функцию
x
(
t
)
≡
1
. Для
n
∈
N
определим ступенчатые функции
h
n
(
t
)
, равные
1
для
t
∈
(0
, n
)
и
0
в осталь-
ных точках
[0
,
∞
)
. Очевидно, что
h
n
(
t
)
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
п.в. на
[0
,
∞
)
.
Следовательно, функция
x
(
t
)
измеримая. Предположим, что
x
(
t
)
суммируе-
мая на
[0
,
∞
)
функция. В таком случае, из неравенства
h
n
(
t
)
≤
x
(
t
)
следует
n
=
Ih
n
≤
Ix <
∞
. Однако, для всех
n
∈
N
это невозможно. Полученное
противоречие означает, что
x /
∈
L
[0
,
∞
)
.
Тем не менее, для измеримой функции
x
(
t
)
условие
|
x
(
t
)
| ≤
x
0
(
t
)
∈
L
позволяет утверждать (следствие 1 теоремы 7) суммируемость функции
x
(
t
)
и на бесконечном промежутке.
В этой связи для бесконечного промежутка потребуется немного изменить
доказательство следствия 2 теоремы 7.
Следствие 2 (Т.7).
Пусть
{
x
n
(
t
)
}
– последовательность измеримых на
бесконечном промежутке функций такая, что
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
п.в. при
n
→ ∞
и
функция
x
(
t
)
на бесконечном промежутке конечна п.в.. Тогда функция
x
(
t
)
измерима.
Доказательство.
Возьмем на рассматриваемом бесконечном промежутке
функцию
h
∈
L
такую, что п.в.
h
(
t
)
>
0
. Например, можно положить
h
(
t
) =
(1 +
t
2
)
−
1
. Определим для
n
∈
N
функции
y
n
(
t
) =
h
(
t
)
x
n
(
t
) (
h
(
t
) +
|
x
n
(
t
)
|
)
−
1
.
Функции
y
n
(
t
)
измеримы и
|
y
n
(
t
)
|
< h
(
t
)
. Тогда по следствию 1 теоремы 7
функции
y
n
∈
L
. При
n
→ ∞
получим
y
n
(
t
)
→
h
(
t
)
x
(
t
) (
h
(
t
)+
|
x
(
t
)
|
)
−
1
=
y
(
t
)
.
Из теоремы 7 следует, что
y
(
t
)
∈
L
, в частности, функция
y
(
t
)
измерима.
Так как функция
x
(
t
)
п.в. конечна, то п.в.
|
y
(
t
)
|
< h
(
t
)
. Тогда п.в. функция
x
(
t
) =
h
(
t
)
y
(
t
) (
h
(
t
)
− |
y
(
t
)
|
)
−
1
и, следовательно, измерима.
♥
Перейдем к понятию измеримых на бесконечном промежутке множеств.