ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1095
Скачиваний: 7
111
B
= rot
A
= [
∇
A
] = [
∇
(
x
−
vt
)
,
A
0
] = [
nA
0
]
⊥
n
,
и, следовательно,
B
=
√
εµ
[
nE
]
.
(13.8)
Таким образом, электромагнитные волны в диэлектрике в отсутствие дис-
персии являются поперечными
E
⊥
n
,
B
⊥
n
,
B
⊥
E
, но в отличие от волн в
вакууме,
B
6
=
E
. Действительно, из (13.8) имеем
B
=
√
εµE ,
а поскольку
ε >
1
,
µ
≈
1
, то
B > E
. Учитывая, что
B
=
µH
, можем записать
√
µH
=
√
εE .
(13.9)
Распространяющаяся в диэлектрике волна переносит энергию. Найдем
выражения для плотности потока энергии, а также плотности энергии в
диэлектрике. Напомним, что в вакууме плотность потока энергии (вектор
Пойнтинга)
g
=
c
4
π
[
EB
]
,
плотность энергии
W
=
E
2
+
B
2
8
π
,
причем в отсутствие токов выполняется уравнение (см. (3.39))
div
g
=
−
∂W
∂t
.
(13.10)
В диэлектрике выражения для
g
и
W
должны измениться, поскольку элек-
тромагнитное поле в этом случае описывается четырьмя векторами
E
,
D
,
B
,
H
.
Чтобы найти нужные выражения для
g
и
W
, можно повторить вычисления
раздела 3.4. А именно, записав уравнения системы (13.3) с роторами,
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
rot
H
=
1
c
∂
D
∂t
,
умножим первое из них скалярно на
H
, а второе на
E
, и, вычитая одно из
другого
H
rot
E
−
E
rot
H
=
−
1
c
µ
H
∂
B
∂t
+
E
∂
B
∂t
¶
(13.11)
можем прийти к уравнению
div [
EH
] =
−
1
c
∂
∂t
µ
εE
2
+
µH
2
2
¶
=
−
1
c
∂
∂t
µ
ED
+
BH
2
¶
.
Сравнивая это уравнение с (13.10), заключаем, что в диэлектрике
g
=
c
4
π
[
EH
]
,
112
W
=
εE
2
+
µH
2
8
π
.
Преобразуем выражение для
g
. Принимая во внимание (13.9), запишем
g
=
c
4
π
EH
n
=
c
4
π
r
ε
µ
E
2
n
=
c
4
π
1
√
εµ
εE
2
n
=
c
√
εµ
εE
2
+
µH
2
8
π
n
,
или
g
=
vW
n
.
Эта формула показывает, что электромагнитная волна в диэлектрике пере-
носит энергию в направлении распространения со скоростью
v
. В отсутствие
дисперсии фазовая и групповая скорости совпадают.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§28; [10] §75.
13.2. Дисперсия диэлектрической проницаемости
С увеличением частоты изменения полей
E
и
B
становится невозмож-
ным использовать статические уравнения (13.1) для связи полей
D
и
E
,
B
и
H
. Прежде всего нарушается основное свойство этой связи — однозначная
зависимость
D
и
B
от значений
E
и
H
в тот же момент времени. Такая
зависимость означала, что, например, электрическая поляризация вещества
P
в некоторой точке пространства определялась напряженностью поля
E
в той же точке в тот же момент времени. При приближении характерных
частот поля к частотам обращения электронов в атомах установление элек-
трической или магнитной поляризации вещества не успевает следовать за
изменением электромагнитного поля, и поляризация становится зависящей
от истории процесса.
Если напряженности полей достаточно малы, то связь
P
и
E
должна
оставаться линейной. Наиболее общий вид линейной зависимости между
P
(
t
)
и значениями функции
E
(
t
)
во все предыдущие моменты времени может
быть написан в виде интегрального соотношения
P
(
t
) =
∞
Z
0
κ
(
τ
)
E
(
t
−
τ
)
dτ .
Здесь
κ
(
τ
)
— функция времени, зависящая от свойств среды. Поскольку
D
=
E
+ 4
π
P
, то
D
(
t
) =
E
(
t
) +
∞
Z
0
f
(
τ
)
E
(
t
−
τ
)
dτ ,
f
(
τ
) = 4
π
κ
(
τ
)
.
(13.12)
113
Всякое переменное поле может быть сведено (путем разложения Фурье)
к совокупности монохроматических компонент, в которых зависимость всех
величин от времени дается множителем
e
−
iωt
. Для таких полей связь (13.12)
между
D
и
E
приобретает вид
D
(
t
) =
E
0
e
−
iωt
+
E
0
e
−
iωt
∞
Z
0
f
(
τ
)
e
iωτ
dτ ,
т.е.
D
=
ε
(
ω
)
E
,
(13.13)
где функция
ε
(
ω
)
определяется как
ε
(
ω
) = 1 +
∞
Z
0
f
(
τ
)
e
iωτ
dτ .
(13.14)
Таким образом, для монохроматических полей может быть введено понятие
о диэлектрической проницаемости как о коэффициенте пропорциональности
между
D
и
E
, однако теперь этот коэффициент зависит не только от свойств
среды, но и от частоты поля. О зависимости
ε
от частоты говорят как о
законе ее
дисперсии
.
Функция
ε
(
ω
)
, вообще говоря, комплексна. Будем обозначать ее действи-
тельную и мнимую части как
ε
0
и
ε
00
:
ε
(
ω
) =
ε
0
(
ω
) +
iε
00
(
ω
)
.
Из определения (13.14) непосредственно видно, что
ε
(
−
ω
) =
ε
∗
(
ω
)
.
Отделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, получим
ε
0
(
−
ω
) =
ε
0
(
ω
)
,
ε
00
(
−
ω
) =
−
ε
00
(
ω
)
.
Таким образом,
ε
0
(
ω
)
является четной, а
ε
00
(
ω
)
— нечетной функцией частоты.
При малых (по сравнению с границей начала дисперсии) частотах функ-
цию
ε
(
ω
)
можно разложить в ряд по степеням
ω
. Разложение четной функ-
ции
ε
0
(
ω
)
содержит лишь члены четных степеней, а разложение нечетной
функции
ε
00
(
ω
)
— члены нечетных степеней. В пределе
ω
→
0
функция
ε
(
ω
)
в
диэлектриках стремится, разумеется, к электростатической диэлектрической
проницаемости (которую обозначим здесь как
ε
0
). Поэтому в диэлектриках
разложение
ε
0
(
ω
)
начинается с постоянного члена
ε
0
; разложение же
ε
00
(
ω
)
начинается, вообще говоря, с члена, пропорционального
ω
.
114
В пределе
ω
→ ∞
функция
ε
(
ω
)
стремится к единице. Это очевидно уже
из простых физических соображений: при достаточно быстром изменении по-
ля процессы поляризации, приводящие к отличной от
E
индукции
D
, вообще
не успевают происходить.
Оказывается возможным установить справедливый для любых тел пре-
дельный вид функции
ε
(
ω
)
при больших частотах. Именно, частота поля
должна быть велика по сравнению с частотами движения всех (или, по край-
ней мере, большинства) электронов в атомах данного вещества. При этом
условии движение частицы будет представлять собой перемещение по неко-
торой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с ча-
стотой
ω
) вокруг нее. Для осциллирующей компоненты (которой, очевидно,
должна определяться поляризация вещества
P
(
ω
)
) достаточно написать сле-
дующее уравнение движения
m
¨
r
=
e
E
=
e
E
0
e
−
iωt
.
(13.15)
Здесь мы учли, что скорости
v
движения электронов в атомах малы по
сравнению со скоростью света. Поэтому расстояния, проходимые ими в те-
чение периода волны
∼
v/ω
, малы по сравнению с длиной волны
∼
c/ω
.
Ввиду этого поле волны, действующее на электрон, можно считать однород-
ным,
exp (
i
kr
)
→
1
, и опустить магнитную составляющую силы Лоренца. Из
(13.15) находим смещение
r
=
−
e
E
/mω
2
. Суммируя по всем электронам в
единице объема, находим поляризацию
P
вещества
P
=
X
e
r
=
−
e
2
N
mω
2
E
,
где
N
— число электронов во всех атомах единицы объема вещества. Посколь-
ку
D
=
ε
E
=
E
+ 4
π
P
, то для диэлектрической проницаемости получаем
ε
(
ω
) = 1
−
4
πe
2
N
mω
2
.
(13.16)
Фактическая применимость этой формулы начинается от далекого ультра-
фиолета у самых легких элементов или от рентгеновских частот у более
тяжелых элементов.
Рекомендуемая литература: [10] §§77,78.
13.3. Классическая модель диспергирующей среды
Расчет диэлектрической проницаемости
ε
(
ω
)
при произвольных частотах
требует использования квантовой механики. Если же оставаться в рамках
классической физики, то можно вычислить диэлектрическую проницаемость
в рамках модели среды как набора линейных гармонических осцилляторов.
115
Эта модель, как уже говорилось в разделе 7.4, хотя и не является обосно-
ванной, но приводит к результатам, качественно правильно описывающим
зависимость диэлектрической проницаемости и коэффициента преломления
от частоты.
Вычислим вектор поляризации
P
в простейшей среде — разреженном
газе. Уравнение движения для заряда
e
, связанного упругой силой с центром
и находящегося в поле монохроматической волны
E
=
E
0
e
−
iωt
, может быть
записано в виде
¨
r
+
γ
˙
r
+
ω
2
0
r
=
E
m
,
(13.17)
где
ω
0
— собственная частота осциллятора,
γ
— величина, характеризующая
трение,
E
— поле, действующее на частицу. В неплотных газах можно счи-
тать, что на электроны действует непосредственно поле волны
E
=
E
0
e
−
iωt
.
Отыскивая частное (установившееся) решение в виде
r
=
A
e
−
iωt
, приходим
к
r
=
e
m
E
0
e
−
iωt
ω
2
0
−
ω
2
−
iγω
=
e
m
(
ω
2
0
−
ω
2
−
iγω
)
E
.
Смещение частиц приводит к появлению у молекул дипольных моментов,
т.е к поляризации среды. Вектор поляризации найдем, суммируя дипольные
моменты в единице объема
P
=
X
e
r
=
Ne
2
m
(
ω
2
0
−
ω
2
−
iγω
)
E
,
где
N
— число рассеивающих зарядов в единице объема. Вектор электриче-
ской индукции
D
=
E
+ 4
π
P
в монохроматическом поле связан с напряжен-
ностью
E
соотношением
D
=
ε
E
(см. (13.13)), так что явное выражение для
диэлектрической проницаемости есть
ε
(
ω
) = 1 +
4
πe
2
m
N
ω
2
0
−
ω
2
−
iγω
.
(13.18)
Это выражение, согласно (13.6), приводит к комплексному показателю пре-
ломления
√
εµ
=
n
+
i
κ
, причем через вещественную часть выражается
фазовая скорость волны, а через мнимую — коэффициент затухания. Дей-
ствительно, волновое число становится комплексным
k
=
ω/v
=
√
εµω/c
=
k
R
+
i
κ
ω/c
, и в выражении для волны, распространяющейся в направлении
оси
x
, появляется затухающий множитель
E
=
E
0
exp
³
−
κ
ω
c
x
´
exp[
i
(
k
R
x
−
ωt
)]
.
Поскольку
µ
≈
1
, а в разреженном газе второе слагаемое в (13.18), про-
порциональное числу электронов в единице объема, мало по сравнению с еди-
ницей при всех частотах, для комплексного показателя преломления можно