ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1096
Скачиваний: 7
101
12. Квазистационарные электромагнитные
поля
12.1. Условие квазистационарности поля
Исследование переменных полей в веществе (в частности, в проводниках),
к которому мы переходим, существенно упрощается, если скорость измене-
ния поля не слишком велика, так что выполняются условия, сформулирован-
ные ниже. Электромагнитные поля и токи, удовлетворяющие этим условиям,
называются
квазистационарными
.
Условия достаточной медленности изменения поля заключаются в сле-
дующем. Прежде всего, будем считать, что изменение поля происходит на-
столько медленно, что в пределах рассматриваемой области пространства
можно пренебречь эффектами запаздывания, обусловленными тем, что ско-
рость распространения электромагнитных волн конечна. На прохождение
через систему с линейными размерами
∼
l
электромагнитное возмущение за-
трачивает время
∼
l/c
. Эффектами запаздывания можно пренебречь, если
T
À
l/c
, где
T
— характерное время изменения поля. Для периодического
поля это неравенство можно записать через частоту
ω
= 2
π/T
ω
¿
c
l
(12.1)
— первое условие квазистационарности. При выполнении неравенства (12.1)
в пределах рассматриваемой системы можно считать скорость распростране-
ния электромагнитных возмущений бесконечно большой.
Предположим также, что изменение поля происходит настолько медлен-
но, что внутри проводящих сред можно пренебречь током смещения по срав-
нению с током проводимости:
¯
¯
4
π
c
j
¯
¯
À
¯
¯
1
c
∂
D
∂t
¯
¯
.
(12.2)
Если электромагнитное поле изменяется с частотой
ω
, т.е. если, например,
E
=
E
0
exp (
−
iωt
)
, то
¯
¯
∂
D
∂t
¯
¯
∼
εωE .
Связь между плотностью тока проводимости и напряженностью поля при
малых частотах можно считать такой же, как в статическом случае
j
=
σ
E
,
тогда неравенство (12.2) приводит к следующему ограничению на частоту
ω
¿
σ
ε
(12.3)
102
— второе условие квазистационарности.
Последнее неравенство означает, что характерное время изменения поля велико по
сравнению с временами локальных релаксационных процессов, например, с временем
τ
установления равновесного заряда в проводнике. Чтобы оценить
τ
, будем считать, что
где-то в проводнике образовался объемный заряд. Убывание заряда внутри произвольного
объема подчиняется уравнению
dq
dt
=
−
I
jdS
=
−
σ
I
EdS
=
−
4
πσq ,
откуда
q
=
q
0
exp (
−
4
πσt
)
, т.е.
τ
∼
1
/σ
. Переписав условие (12.3) в виде
T
À
ετ
и учитывая, что при малых частотах
ε
&
1
, видим, что
T
À
τ
.
Оценки показывают, что к квазистационарным относится большинство
полей, рассматриваемых в электротехнике, а также многие поля, встречаю-
щиеся в радиотехнике.
В пренебрежении токами смещения уравнения Максвелла принимают сле-
дующий вид
div
D
= 4
πρ
ext
,
div
B
= 0
,
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
rot
H
=
4
π
c
j
.
(12.4)
Квазистационарное поле можно описывать также с помощью векторного и
скалярного потенциала, которые вводятся общими соотношениями
B
= rot
A
,
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
−
grad
ϕ .
(12.5)
Таким образом, в квазистационарной области частот электрическое и маг-
нитное поля нельзя рассматривать раздельно. Однако в этом случае между
ними учитывается лишь связь, обусловленная явлением электромагнитной
индукции. Связь, осуществляемая токами смещения является менее важной
и для квазистационарных полей не учитывается.
Рекомендуемая литература: [10] §58; [5] Ч.IV,§22; [7] §49.
12.2. Система линейных проводников с учетом взаимо-
индукции и самоиндукции
Явление электромагнитной индукции обусловливает взаимное влияние
токов, протекающих по различным проводникам, и взаимное влияние раз-
личных элементов тока, протекающих по одному и тому же проводнику. По-
этому ток, протекающий по некоторому участку цепи, нельзя исследовать
103
изолированно от токов, протекающих по другим участкам цепи и по другим
проводникам. Необходимо принять во внимание всю совокупность токов, на-
ходящихся в индукционной связи друг с другом. Применим закон Ома в диф-
ференциальной форме к
k
-му проводнику. Очевидно, что для поддержания
тока в цепи должны иметься источники тока. Для неоднородного (содержа-
щего источник тока) участка цепи закон Ома записывается в виде
j
=
σ
(
E
+
E
стор
)
,
(12.6)
где векторная величина
E
стор
по историческим причинам носит название сто-
ронней силы (хотя не имеет размерности силы) и характеризует действие
источников тока. В зависимости от вида источника тока
E
стор
может быть
локализована в некоторой области цепи (например, внутри гальванического
элемента) или быть распределенной по проводнику (индукционная сторон-
няя сила). Разделим обе части уравнения (12.6) на
σ
, умножим на элемент
длины линейного проводника
d
l
и проинтегрируем по замкнутому контуру
проводника
L
k
:
I
L
k
j
d
l
σ
=
I
L
k
E
d
l
+
I
L
k
E
стор
d
l
.
(12.7)
Преобразуем подынтегральное выражение в левой части:
j
d
l
σ
=
j dl
σ
=
jS dl
σS
=
JdR .
(12.8)
Здесь учтено, что: в линейном проводнике направления векторов
j
и
d
l
сов-
падают;
dR
=
dl/σS
есть сопротивление участка проводника длиной
dl
с
поперечным сечением
S
(см.(10.10));
J
=
jS
— сила тока, протекающего по
проводнику. Поскольку в квазистационарном поле сила тока, протекающего
через любое поперечное сечение проводника, одна и та же, то при интегри-
ровании вдоль контура замкнутого проводника она является постоянной и
может быть вынесена за знак интеграла
I
L
k
j
d
l
σ
=
I
L
k
JdR
=
J
k
R
k
.
(12.9)
Здесь
R
k
— полное сопротивление
k
-го проводника.
Интеграл
I
L
k
E
стор
d
l
=
E
стор
k
(12.10)
в правой части равенства (12.7) представляет собой стороннюю электродви-
жущую силу (ЭДС), приложенную к
k
-му проводнику. Другой интеграл в
104
правой части равенства (12.7) можно преобразовать, выражая
E
через по-
тенциалы поля по формуле (12.5)
I
L
k
E
d
l
=
−
I
L
k
grad
ϕd
l
−
I
L
k
∂
A
∂t
d
l
.
(12.11)
Очевидно, что первый член справа равен нулю
I
L
k
grad
ϕd
l
=
Z
S
k
rot grad
ϕd
S
= 0
,
а второй преобразуется следующим образом
I
L
k
∂
A
∂t
d
l
=
d
dt
I
L
k
A
d
l
=
d
dt
Z
S
k
rot
A
d
S
=
d
dt
Z
S
k
B
d
S
=
d
Φ
k
dt
,
(12.12)
где
Φ
k
=
Z
S
k
B
d
S
— поток магнитной индукции через поверхность
S
k
, натя-
нутую на
L
k
-контур
k
-го проводника. В преобразованиях (12.12) учтено, что
контур
L
k
является неподвижным, поэтому производную по времени можно
вынести за знак интеграла. Таким образом, учитывая (12.9), (12.10), (12.12),
можно переписать уравнение (12.7):
J
k
R
k
=
E
стор
k
−
d
Φ
k
dt
,
(12.13)
Это есть закон Ома для
k
-го проводника с учетом электромагнитной индук-
ции, которая описывается вторым членом в правой части этого уравнения.
Поток магнитной индукции
Φ
k
через поверхность, натянутую на контур
k
-го проводника, может быть представлен в виде (ср. формулы (5.31))
Φ
k
=
1
c
N
X
i
=1
L
ki
J
i
,
(12.14)
где суммирование ведется по всем проводникам системы, число которых рав-
но
N
. Подставляя это выражение в (12.13), получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
J
k
R
k
=
E
стор
k
−
1
c
N
X
i
=1
L
ki
dJ
i
dt
;
k
= 1
,
2
, . . . , N.
(12.15)
Таким образом, имеется
N
уравнений для
N
неизвестных
J
1
, J
2
, . . . , J
N
.
105
постоянной электродвижущей силы. Будем считать, что имеется один кон-
тур с индуктивностью
L
, в который в момент времени
t
= 0
включается
постоянная ЭДС
E
0
. Тогда (12.15) приводит к уравнению, которое при
t >
0
имеет вид
L
c
dJ
dt
+
RJ
=
E
0
.
(12.16)
Начальное условие состоит в том, что
J
(0) = 0
.
Нетрудно проверить, что общее решение уравнения (12.16) есть
J
(
t
) =
E
0
/R
+
a
exp (
−
Rct/L
)
.
Определяя произвольную постоянную
a
из начального условия, находим за-
висимость тока от времени при
t
>
0
J
(
t
) =
E
0
(1
−
exp (
−
Rct/L
))
/R .
Аналогично решается задача о выключении из цепи постоянной ЭДС. Закон
убывания силы тока в этом случае
J
(
t
) =
E
0
R
exp (
−
Rct/L
)
,
t
>
0
.
Таким образом, благодаря явлению самоиндукции сила тока после выклю-
чения из цепи постоянной ЭДС убывает до нуля не мгновенно, а в течение
некоторого промежутка времени. Скорость убывания тока определяется па-
раметром
τ
=
L/cR
в показателе экспоненты, который называется временем
релаксации.
Рекомендуемая литература: [10] §61; [5] Ч.IV,§24; [7] §50.
12.3. Электрическая цепь с емкостью и индуктивностью
Рассмотрим теперь электрическую цепь, в которую включен конденсатор
емкости
C
. Чтобы получить уравнение для расчета цепи, умножим обе части
уравнения
j
=
σ
(
E
+
E
стор
)
на элемент длины
d
l
проводника и проинтегрируем вдоль проводника от
одной обкладки конденсатора до другой
2
Z
1
j
d
l
σ
=
2
Z
1
E
d
l
+
2
Z
1
E
стор
d
l
.
(12.17)