ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1094
Скачиваний: 7
106
Выражение слева преобразуется с помощью (12.8), а справа — аналогично
(12.10) и (12.11). В результате получим
2
Z
1
JdR
=
E
стор
−
2
Z
1
grad
ϕ d
l
−
d
dt
2
Z
1
A
d
l
.
(12.18)
Интеграл
2
Z
1
grad
ϕ d
l
=
2
Z
1
dϕ
=
ϕ
2
−
ϕ
1
представляет собой разность потенциалов на обкладках конденсатора. Инте-
грал
2
Z
1
A
d
l
вычислим приближенно следующим образом. Ввиду того что потенциал
A
является непрерывной функцией, а расстояние между обкладками конден-
сатора много меньше длины проводника, можно заключить, что
2
Z
1
A
d
l
≈
I
L
1
A
d
l
= Φ
, где
L
1
— замкнутый контур, состоящий из проводника и малого
расстояния между обкладками конденсатора;
Φ =
Z
B
d
S
=
I
L
1
A
d
l
(12.19)
— поток магнитной индукции через поверхность, натянутую на контур
L
1
.
Левую часть (12.18) вычисляют аналогично (12.9). В результате (12.18) можно
записать в виде
IR
=
E
стор
−
(
ϕ
2
−
ϕ
1
)
−
d
Φ
dt
.
(12.20)
Примем во внимание, что
Φ =
1
c
LJ ,
(12.21)
где
L
— индуктивность контура. Учтем, что разность потенциалов
ϕ
2
−
ϕ
1
между обкладками конденсатора связаны с зарядом
Q
обкладки конденсато-
ра равенством
ϕ
2
−
ϕ
1
=
Q/C ,
(12.22)
107
где
C
— емкость конденсатора. Подставляя (12.18), (12.22) в (12.20), получаем
L
c
dJ
dt
+
RJ
+
Q
C
=
E
стор
.
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени и учитывая, что
dQ
dt
=
J ,
получим уравнение для электрической цепи с емкостью
C
и индуктивностью
L
L
c
d
2
J
dt
2
+
R
dJ
dt
+
1
C
J
=
d
dt
E
стор
.
(12.23)
Таким образом, решение задач, связанных с электрической цепью указанно-
го вида, сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения
(12.23) с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение ( 12.23), учитывая одновременно емкость, сопро-
тивление и индуктивность. Пусть сторонняя ЭДС является периодической
функцией с частотой
ω
E
стор
=
E
стор
0
cos
ωt .
Для удобства запишем ее в комплексной форме
E
стор
=
E
стор
0
e
−
iωt
и будем искать решение (12.23) в виде
J
=
J
стор
0
e
−
iωt
.
(12.24)
Подставляя (12.24) в (12.23), приходим к
(
−
Lω
2
−
Riω
+ 1
/C
)
J
=
−
iω
E
стор
.
Это соотношение можно записать в виде закона Ома:
ZJ
=
E
стор
,
(12.25)
где
Z
=
R
−
i
µ
ωL
−
1
ωC
¶
называется импедансом. Выразив
J
из (12.25)
J
=
E
стор
/Z
(12.26)
108
и отделяя вещественную часть, получим выражение для силы тока:
J
(
t
) =
E
стор
0
cos (
ωt
−
α
)
p
R
2
+ [
ωL
−
1
/
(
ωC
)]
2
,
tg
α
=
µ
ωL
−
1
ωC
¶
1
R
.
(12.27)
Таким образом, сила тока сдвинута по фазе относительно приложенного на-
пряжения, а наряду с омическим сопротивлением появилось индуктивное
сопротивление.
Если сторонняя ЭДС отключена (
E
стор
= 0
), то ток в цепи совершает
колебания, комплексная частота которых на основании (12.25) определяется
условием
Z
= 0
. Следовательно,
ω
=
−
i
R
2
L
±
s
1
LC
−
µ
R
2
L
¶
2
.
(12.28)
Если подкоренное выражение отрицательно
1
LC
<
µ
R
2
L
¶
2
,
то комплексная частота чисто мнима и, следовательно, множитель
e
−
iωt
не
будет периодической функцией. В этом случае происходит затухающий апе-
риодический разряд.
Если подкоренное выражение положительно
1
LC
>
µ
R
2
L
¶
2
,
то возбуждаются затухающие колебания, частота которых
ω
=
s
1
LC
−
µ
R
2
L
¶
2
,
(12.29)
а скорость уменьшения амплитуды колебаний определяется множителем
e
−
Rt/
2
L
,
где
R/
2
L
— декремент затухания этих колебаний.
При нулевом омическом сопротивлении (
R
= 0
) в контуре происходят
свободные незатухающие колебания с частотой
ω
=
1
√
LC
(12.30)
—
формула Томсона
.
Рекомендуемая литература: [6] §89.
109
13. Электромагнитные волны в средах
13.1. Электромагнитные волны в диэлектриках в отсут-
ствие дисперсии
Характер электромагнитных волн в среде зависит от типа среды и от ча-
стоты изменения поля. Рассмотрим диэлектрическую среду и будем считать,
что поле меняется во времени медленно (частота поля много меньше частот
колебаний зарядов в среде, или частот обращения электронов в атомах). В
этом случае связь между
D
и
E
и между
B
и
H
можно считать такой же, как
в постоянных полях. Если эта связь сводится к простой пропорциональности,
то можно полагать
D
=
ε
E
,
B
=
µ
H
(13.1)
со статическими значениями
ε
и
µ
. Эти соотношения нарушаются (или, как
говорят, появляется дисперсия
ε
и
µ
) при частотах, сравнимых с собственны-
ми частотами электронных колебаний.
Пусть в диэлектрике нет макроскопических токов и зарядов
ρ
ext
= 0
,
j
ext
= 0
.
(13.2)
В этом случае уравнения Максвелла в среде принимают вид
(13
.
3
.
1)
div
D
= 0
(13
.
3
.
2)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
(13
.
3
.
3)
div
B
= 0
(13
.
3
.
4)
rot
H
=
1
c
∂
D
∂t
.
(13.3)
Подставляя сюда (13.1), получим систему уравнений
(13
.
4
.
1)
div
E
= 0
(13
.
4
.
2)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
(13
.
4
.
3)
div
B
= 0
(13
.
4
.
4)
rot
B
=
µε
c
∂
E
∂t
.
(13.4)
Преобразуем (13.4.1)-(13.4.4) таким же способом, как при исследовании элек-
тромагнитных волн в вакууме. Поскольку уравнения (13.4.2), (13.4.3) такие
же, как для вакуума (а именно их использовали для введения потенциалов
поля), то можем записать
B
= rot
A
,
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
− ∇
ϕ .
110
Используя неоднозначность определения потенциалов, в случае электромаг-
нитных волн можно избавиться от скалярного потенциала, положив
ϕ
= 0
, и
оперировать только векторным потенциалом, который подчиняется условию
div
A
= 0
.
(13.5)
Тогда
B
= rot
A
,
E
=
−
1
c
∂A
∂t
.
Подставляя эти соотношения в (13.4.4) и учитывая (13.5), приходим к
∆
A
−
εµ
c
2
∂
2
A
∂t
2
= 0
.
Таким образом, векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению
∆
f
−
1
v
2
∂
2
f
∂t
2
= 0
.
Поэтому электромагнитное поле в диэлектрике представляет собой волну,
распространяющуюся со скоростью
v
=
c
√
εµ
=
c
n
,
где
n
=
√
εµ
(13.6)
— показатель преломления. Поскольку мы считаем
ε
и
µ
постоянными, то в
этом приближении показатель преломления не зависит от частоты.
Выясним свойства электромагнитных волн в диэлектрике. Рассмотрим
плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси
x
:
A
=
A
(
x
−
vt
)
. Поскольку векторный потенциал удовлетворяет условию
(13.5), то
∂A
x
∂x
= 0
,
или
A
0
= 0
, где штрихом обозначена производная по аргументу
ξ
=
x
−
vt
.
Таким образом,
A
0
⊥
n
,
(13.7)
где
n
— единичный вектор в направлении распространения волны. Вычисляя
E
и
B
в плоской волне, получим
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
=
v
c
A
0
=
1
√
εµ
A
0
⊥
n
,