ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1092
Скачиваний: 7
6
сторона электродинамики связана с исчислением векторных полей. Напом-
ним здесь основные результаты векторной алгебры, интегрального исчисле-
ния векторов и векторного анализа.
2.1. Векторная алгебра
Векторные величины характеризуются абсолютным значением и направ-
лением. В любой системе координат вектор определяется тройкой чисел (ко-
торые, конечно, зависят от выбора системы координат). Пусть, например,
радиус-вектор
r
, задающий положение точки, имеет в некоторой декартовой
системе координат (д.с.к.) компоненты
x, y, z
:
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
(исполь-
зуется также обозначение
r
= (
x, y, z
)
). В повернутой относительно исход-
ной системе координат вектор
r
будет иметь другие компоненты
x
0
, y
0
, z
0
:
r
=
x
0
i
0
+
y
0
j
0
+
z
0
k
0
. Штрихованные компоненты выражаются через нештри-
хованные через косинусы углов поворота координатных осей. Подчеркнем,
что при переходе от одной системе координат к другой компоненты векторов
преобразуются по определенным правилам, одинаковым для любого вектора.
Это трансформационное свойство может быть положено в основу определе-
ния понятия векторной величины.
Двум векторам
a
= (
a
x
, a
y
, a
z
)
и
b
= (
b
x
, b
y
, b
z
)
можно поставить в соот-
ветствие скалярную величину (которая не меняется при переходе к другой
системе координат), образовав скалярное произведение
ab
=
ab
cos
α ,
α
— угол между
a
и
b
. В д.с.к. скалярное произведение вычисляется через
проекции векторов по формуле
ab
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Если
a
⊥
b
, то
ab
= 0
.
Двум векторам
a
и
b
можно поставить в соответствие вектор
c
, удовле-
творяющий условиям: 1)
|
c
|
=
|
a
||
b
|
sin
θ
; 2) вектор
c
ортогонален векторам
a
,
b
; 3) векторы
a
,
b
,
c
образуют правую тройку. Так построенный вектор
c
называется векторным произведением векторов
a
и
b
и обозначается
[
a b
]
. В
д.с.к.
[
a b
]
вычисляется по правилу
[
ab
] = (
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
i
+ (
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
j
+ (
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k
,
или, в краткой символической записи,
[
a b
] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
7
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак. Итак,
[
ab
]
⊥
a
,
b
; [
ba
] =
−
[
ab
]
.
Из трех векторов можно составить смешанное
(
a
[
bc
])
или двойное век-
торное произведение
[
a
[
bc
]]
.
Множители смешанного произведения можно переставлять циклически
(или нециклически c переменой знака), получая тождественные выражения:
(
a
[
bc
]) = (
b
[
ca
]) =
−
(
a
[
cb
])
.
Двойное векторное произведение можно разложить следующим образом:
[
a
[
bc
]] =
b
(
ac
)
−
c
(
ab
)
.
2.2. Интегральное исчисление векторов (криволинейные,
поверхностные, объёмные интегралы)
Криволинейные интегралы.
Пусть
AB
– гладкая кривая в простран-
стве, а
f
(
r
)
– заданная в пространстве скалярная функция точки (скалярное
поле). Рассмотрим некоторое разбиение кривой на части точками
A
=
M
0
, M
1
, . . . , M
n
−
1
, M
n
=
B.
Возьмем на каждом отрезке значение функции
f
i
в произвольной точке и
составим сумму
n
X
i
=1
f
i
∆
l
i
,
(2.1)
где
∆
l
i
– длина дуги
M
i
−
1
M
i
(положительная величина, независимо от того,
какую точку кривой
AB
считаем начальной, а какую – конечной!). Если
устремить
n
к бесконечности так, чтобы длина любого отрезка стремилась к
нулю, то в пределе из суммы (2.1) получим
криволинейный интеграл I рода
n
X
i
=1
f
i
∆
l
i
→
Z
AB
f dl .
Нетрудно увидеть, что понятие криволинейного интеграла I рода почти ни-
чем не отличается от обычного понятия определенного интеграла функции
от одной переменной. Точно так же можно ввести криволинейный интеграл
I рода от векторной функции.
Криволинейный интеграл I рода в электродинамике возникает, например,
при вычислении поля, создаваемого зарядом, распределенным вдоль кривой
с некоторой линейной плотностью.
8
Пример.
Заряд распределен по тонкому кольцу с постоянной линейной
плотностью
τ
. Найти потенциал и напряженность поля на оси кольца.
Пусть имеется гладкая кривая
AB
с начальной точкой
A
и конечной
B
и в пространстве задана векторная функция точки
a
(
r
)
(векторное поле).
Разобьем кривую точками
A
=
M
0
, M
1
, . . . , M
n
−
1
, M
n
=
B.
Проведем векто-
ры из
M
0
к
M
1
, из
M
1
к
M
2
и т.д. Обозначим вектор, проведенный к
i
-ой
точке
∆
l
i
. Возьмем на каждом отрезке значение функции
a
i
в произвольной
точке
M
i
и составим сумму
n
X
i
=1
a
i
∆
l
i
из скалярных произведений. Если устремить
n
к бесконечности так, чтобы
длина любого отрезка стремилась к нулю, то получим
криволинейный инте-
грал II рода
n
X
i
=1
a
i
∆
l
i
→
Z
AB
a
d
l
.
(2.2)
Криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру (в котором на-
чальная и конечная точки кривой совпадают) имеет специальное обозначение
I
a
d
l
и называется
циркуляцией
(термин появился в механике жидкостей, где рас-
считывают циркуляцию жидкости).
Криволинейный интеграл, вообще говоря, зависит не только от началь-
ной и конечной точек кривой, но и от пути интегрирования. Но если подын-
тегральное выражение в (2.2) представляет собой полный дифференциал, то
данный интеграл не зависит от пути интегрирования, а циркуляция
a
в этом
случае обращается в ноль.
В электродинамике криволинейные интегралы II рода возникают, напри-
мер, в записи закона электромагнитной индукции и закона Ампера.
Пример.
Вектор
B
лежит в плоскости
xy
и в каждой точке перпендику-
лярен радиус-вектору
r
. Найти циркуляцию
B
по окружности, лежащей в
плоскости
xy
с центром в начале координат, если
|
B
|
=
α/r
.
Поверхностный интеграл. Поток векторного поля.
Существуют по-
верхностные интегралы I и II рода. Остановимся здесь на втором понятии.
Пусть
S
— некоторая (двусторонняя) поверхность. Зафиксируем опреде-
ленную сторону этой поверхности (к которой будем проводить нормали) и
рассмотрим некоторую векторную функцию
a
, заданную на
S
. Разобьем по-
верхность на малые участки
∆
S
i
, к каждому из которых с выбранной сторо-
ны проведем единичный вектор, перпендикулярный поверхности — нормаль
9
n
i
. Выберем некоторую точку
M
i
на каждой площадке, значение функции
a
в которой есть
a
(
M
i
)
. Составим интегральную сумму
X
a
(
M
i
)
n
i
∆
S
i
=
X
a
n
(
M
i
)∆
S
i
.
Измельчая разбиение поверхности, так чтобы все
∆
S
i
→
0
, в пределе полу-
чим
поверхностный интеграл II рода
:
X
a
(
M
i
)
n
i
∆
S
i
→
Z Z
S
an
dS
=
Z Z
S
a
n
dS.
Если ввести понятие вектора площадки,
d
S
=
n
dS
, то интеграл можно за-
писать как
Z Z
S
a
d
S
.
В физике обычно используют обозначение с одним символом интеграла:
Z
S
a
d
S
.
(2.3)
Интеграл (2.3) называется также
потоком векторного поля
a
через поверх-
ность
S
. В электродинамике понятие потока возникает, в частности, при за-
писи уравнений Максвелла в интегральной форме. Если выбрать другую
сторону поверхности, то у потока сменится знак.
Пример.
Вычислить поток радиус-вектора
r
через сферу радиуса
R
с
центром в начале координат.
Рассмотрим в качестве примера поток некоторого вектора
a
через на-
ружную сторону замкнутой поверхности
S
, окружающей объем
V
. Разобьем
объем на две части плоским сечением. Получим два объема и две замкну-
тых поверхности. Объем
V
1
окружен поверхностью
S
1
, составленной частью
прежней поверхности
S
a
и сечения
S
ab
. Объем
V
2
окружен поверхностью
S
2
,
которая состоит из остатка прежней поверхности
S
b
и замкнута сечением
S
ab
.
Если рассчитать поток некоторого векторного поля
a
через поверхность
S
1
и прибавить поток через поверхность
S
2
, то их сумма будет равна потоку
через первоначальную поверхность. Действительно, для потока вектора
a
через
S
1
можно написать
Z
S
1
a
d
S
=
Z
S
a
an
dS
+
Z
S
ab
an
1
dS,
(2.4)
а для потока через
S
2
Z
S
2
a
d
S
=
Z
S
b
an
dS
+
Z
S
ab
an
2
dS .
(2.5)
10
Обратим внимание, что внешнюю нормаль к
S
ab
мы обозначили буквой
n
1
,
если она относится к
S
1
, и
n
2
, если она относится к
S
2
. Ясно, что
n
1
=
−
n
2
,
и отсюда
Z
S
ab
an
1
dS
=
−
Z
S
ab
an
2
dS .
Складывая теперь уравнения (2.4) и (2.5), убеждаемся, что сумма потоков
через
S
1
и
S
2
равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают
поток через первоначальную поверхность
S
a
+
S
b
.
Ясно, что и для любого разбиения объема (на большее число частей,
неплоскими поверхностями) всегда сохраняется то свойство, что поток че-
рез внешнюю поверхность равен сумме потоков изо всех внутренних частей.
Поток из куба. Теорема Остроградского-Гаусса.
Рассмотрим теперь
частный случай потока из маленького кубика. Пусть ребра куба направ-
лены вдоль осей координат, ребра куба в направлениях
x, y, z
равны, со-
ответственно,
∆
x,
∆
y,
∆
z
, координаты вершины, ближайшей к началу —
x, y, z
. Найдем поток векторного поля
a
через поверхность куба. Для это-
го вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1. По-
ток наружу сквозь нее равен
x
-компоненте вектора
a
со знаком "минус"
(
n
1
=
−
i
,
an
1
= (
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
)
n
1
=
−
a
x
), проинтегрированной по площа-
ди грани:
Π
1
=
−
Z
S
1
a
x
dy dz .
Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением
a
x
в центре грани (эту точку обозначим 1), умноженным на площадь грани
∆
y
∆
z
:
Π
1
=
−
a
x
(1) ∆
y
∆
z .
Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен
Π
2
=
a
x
(2) ∆
y
∆
z .
Величины
a
x
(1)
и
a
x
(2)
немного отличаются. Если
∆
x
достаточно мало, то
можно записать
a
x
(2) =
a
x
(1) +
∂a
x
∂x
∆
x,
а члены c
(∆
x
)
2
и выше можно опустить. Складывая потоки через грани 1
и 2, получаем, что поток сквозь 1 и 2 наружу равен
Π
1
+ Π
2
=
∂a
x
∂x
∆
x
∆
y
∆
z.