ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 905
Скачиваний: 22
Таким образом, поле вне шара таково, как если бы весь заряд был со-
средоточен в его центре, а внутри шара поле прямо пропорционально
расстоянию от центра шара.
Ответ:
E
(
r
) =
4
3
πρ
r
=
Q
r
R
3
,
для
r
≤
R
;
4
3
πρ
R
3
r
3
r
=
Q
r
r
3
,
для
r > R
.
Задача 2.6.
Прямой круглый цилиндр бесконечной длины, с радиусом
сечения
R
заряжен равномерно с объемной плотностью
ρ
. Найти рас-
пределение напряженности электрического поля
E
во всех точках про-
странства. Получить выражение для поля бесконечной нити, заряженной
с линейной плотностью
τ
.
Ответ:
E
φ
=
E
z
= 0;
E
=
e
r
E
(
r
);
E
(
r
) =
(
2
πρr,
для
r
≤
R
,
2
πρR
2
/r,
для
r > R
;
E
нити
= 2
τ
e
r
/r.
Задача 2.7.
В шаре радиуса
R
2
равномерно заряжен с объемной плот-
ностью
ρ
внешний шаровой слой. Внутренний радиус слоя
R
1
. Найти
распределение напряженности поля
E
во всех точках пространства.
Ответ:
E
(
r
) =
0
,
для
r
≤
R
1
;
4
3
πρ
r
3
−
R
3
1
r
3
r
,
для
R
1
< r
≤
R
2
;
4
3
πρ
R
3
2
−
R
3
1
r
3
r
,
для
r > R
2
.
Задача 2.8.
В цилиндре радиуса
R
2
равномерно заряжен с объемной
плотностью
ρ
внешний цилиндрический слой. Внутренний радиус слоя
R
1
. Найти распределение напряженности поля
E
во всех точках про-
странства.
Ответ:
E
(
r
) =
0
,
для
r
≤
R
1
;
2
πρ
r
2
−
R
2
1
r
e
r
,
для
R
1
< r
≤
R
2
;
2
πρ
R
2
2
−
R
2
1
r
e
r
,
для
r > R
2
.
Задача 2.9.
Проводящая сфера радиуса
R
имеет заряд
Q
. Найти напря-
женность поля
E
внутри и вне сферы и выразить ее через поверхностную
16
плотность заряда
σ
. Вычислить величину скачка напряженности на по-
верхности сферы.
Ответ:
E
(
r
) =
(
0
,
для
r
≤
R
;
Q
r
/r
3
= 4
πσR
2
r
/r
3
,
для
r > R
;
((
E
2
−
E
1
)
·
e
r
)
|
r
=
R
= 4
πσ.
Задача 2.10.
Проводящий цилиндр радиуса сечения
R
равномерно за-
ряжен с постоянной поверхностной плотностью
σ
. Найти напряженность
электрического поля
E
внутри и вне цилиндра и вычислить величину
скачка
E
на поверхности цилиндра.
Решение.
Поле обладает аксиальной симметрией:
E
r
=
E
(
r
)
,
E
θ
=
E
z
= 0
.
Применив теорему Гаусса к поверхности цилиндра высотой
h
и радиуса
r
,
ось которого совпадает с осью заряженного цилиндра, и учитывая, что
поток через основания цилиндра равен нулю, получим
в случае
r
≤
R
:
E
= 0;
в случае
r > R
:
E
·
2
πrh
= 4
πσ
·
2
πRh
;
E
= 4
πσ
R
r
;
E
= 4
πσR
r
/r
2
.
Ответ:
E
(
r
) =
(
0
,
для
r
≤
R
;
4
πσR
r
/r
2
,
для
r > R
;
((
E
2
−
E
1
)
·
e
r
)
|
r
=
R
= 4
πσ.
Задача 2.11.
Показать по теореме Гаусса, что любой заряд, вносимый
в проводник, может располагаться лишь на его поверхности.
Задача 2.12.
Показать по теореме Гаусса, что замкнутый полый провод-
ник экранирует внутренний объем от действия зарядов, расположенных
снаружи, не экранирует внешний объем от действия зарядов, располо-
женных внутри.
Задача 2.13.
Можно ли создать электростатическое поле, для которого
grad
E
⊥
E
?
17
Принцип суперпозиции полей
Задача 2.14.
Решить задачи 2.7 и 2.8, воспользовавшись принципом
суперпозиции полей и представив незаряженную полость как область с
положительным и отрицательным зарядом одинаковой величины.
Задача 2.15.
В шаре, равномерно заряженном по объему с постоянной
плотностью
ρ
, имеется сферическая полость, центр которой отстоит от
центра шара на расстояние
h
. Полость находится целиком внутри шара.
Найти напряженность поля внутри полости.
Решение.
&%
'$
r
r
r
¢
¢
¢¢¸
¡
¡
¡
µ
H
H
Y
h
r
п
r
Искомое поле можно представить в виде
суперпозиции полей, создаваемых шаром
без полости, равномерно заряженным с
плотностью
ρ
, и «шаром-полостью» –
равномерно заряженным с плотностью
(
−
ρ
)
:
E
=
4
3
πρ
r
−
4
3
πρ
r
п
=
4
3
πρ
h
.
Как видно из ответа, поле внутри поло-
сти однородное.
Ответ:
E
(
r
) =
4
3
πρ
h
.
Задача 2.16.
Исходя из принципа суперпозиции (см. уравнения (18),
(19)), найти поле, создаваемое в вакууме прямолинейным равномерно
заряженным с линейной плотностью
τ
проводом длиной
2
l
. Рассмотреть
случай
l
À
r
. Сравнить с результатом, полученным по теореме Гаусса.
6
r
r
r
r
r
(r,z)
0
l
ξ
-l
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
z
r
Решение.
Если начало цилиндрической систе-
мы координат поместить в середине
отрезка, а ось
z
направить вдоль
него, то для произвольной точки
(
r, z
)
поля, исходя из принципа су-
перпозиции, имеем
ϕ
=
+
l
Z
−
l
τ dξ
p
r
2
+ (
z
−
ξ
)
2
.
18
Интегрирование дает
ϕ
(
r, z
) =
τ
ln
z
+
l
+
p
r
2
+ (
z
+
l
)
2
z
−
l
+
p
r
2
+ (
z
−
l
)
2
.
Для бесконечного провода потенциал не зависит от
z
, а потому, положив
z
= 0
, для достаточно большого значения
l
À
r
находим, что
ϕ
=
τ
ln
l
+
√
r
2
+
l
2
−
l
+
√
r
2
+
l
2
=
τ
ln
1 +
r
1 +
r
2
l
2
−
1 +
r
1 +
r
2
l
2
=
=
τ
ln
2 +
r
2
2
l
2
r
2
2
l
2
=
τ
ln
4
l
2
r
2
= const
−
2
τ
ln
r.
Отсюда напряженность поля
E
r
=
−
∂ϕ
∂r
=
2
τ
r
;
E
θ
=
E
z
= 0
.
Задача 2.17.
В прямом круглом бесконечном цилиндре, равномерно за-
ряженном по объему с постоянной плотностью
ρ
, имеется бесконечная
цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси цилиндра и от-
стоит от нее на расстояние
h
. Найти напряженность поля внутри поло-
сти.
Ответ:
E
(
r
) = 2
πρ
h
.
Задача 2.18.
Найти потенциал и напряженность электрического поля
на оси тонкого кольца радиуса
a
, равномерно заряженного зарядом
q
.
Ответ:
ϕ
=
q
√
z
2
+
a
2
,
E
=
qz
(
z
2
+
a
2
)
3
/
2
e
z
.
Задача 2.19.
Найти потенциал и напряженность электрического поля
в центре окружности радиуса
a
, частью которой является дуга, равно-
мерно заряженная с линейной плотностью
τ
. Центральный угол дуги
γ
.
Ответ:
ϕ
=
τ γ
;
E
=
2
τ
a
sin
γ
2
.
Задача 2.20.
Найти потенциал и напряженность электрического по-
ля, создаваемого диполем с моментом
p
=
q
d
на больших расстояниях,
r
À
d
.
19
Решение.
r
r
r
-
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
3
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
µ
d
-q
+q
r
1
r
2
P
θ
Диполем
называется
совокупность
двух зарядов
+
q
и
−
q
, разделенных
расстоянием
d
(вектор
d
направлен
от отрицательного к положительному
заряду). Потенциал обоих зарядов в
произвольной точке поля
P
равен:
ϕ
=
q
µ
1
r
2
−
1
r
1
¶
=
q
(
r
1
−
r
2
)
r
1
r
2
.
В случае
r
1
≈
r
2
À
d
можно приближенно положить:
r
1
r
2
=
r
2
,
r
1
−
r
2
=
(
d
·
r
)
r
.
Ввиду малости расстояния
d
безразлично, из какой именно точки ди-
поля проведен радиус-вектор
r
в точку наблюдения
P
. Таким образом,
потенциал диполя принимает вид
ϕ
=
q
(
d
·
r
)
r
3
=
(
p
·
r
)
r
3
.
Напряженность поля
E
=
−
grad
ϕ
=
−
grad
µ
(
p
·
r
)
r
3
¶
=
±
см
.
(1
.
5(
б
))
±
=
3(
p
·
r
)
r
r
5
−
p
r
3
.
Ответ:
ϕ
=
(
p
·
r
)
r
3
;
E
=
3(
p
·
r
)
r
r
5
−
p
r
3
.
Задача 2.21.
Найти напряженность электрического поля в точке, от-
стоящей на расстояние
a
от равномерно заряженного с плотностью
τ
стержня. Стержень виден из точки под углом
γ
.
Ответ:
E
=
2
τ
a
sin
γ
2
.
Метод изображений
Данный метод основывается на однозначности решения уравнений элек-
тростатики с заданными граничными условиями и используется для рас-
чета полей статических зарядов в присутствии проводников. Суть его
состоит в замене проводника с индуцированными на его поверхности за-
рядами такой системой зарядов-изображений, которая бы дала вместе
20