ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 907
Скачиваний: 22
с исходными зарядами эквипотенциальную поверхность, совпадающую
с поверхностью проводника. Тогда поле в пространстве вне проводника
(внутри проводника поле отсутствует) определяется как суперпозиция
полей исходного заряда и зарядов-изображений.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
r
r
r
P
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³
³
1
@
@
@
@
@
@
I
r
1
r
2
q
-q
Задача 2.22.
На расстоя-
нии
d
от бесконечного про-
водника, занимающего все
левое полупространство, на-
ходится точечный заряд
q
.
Определить: 1) поле вне
проводника; 2) силу
F
при-
тяжения заряда проводни-
ком; 3) энергию
U
взаимо-
действия проводника и за-
ряда; 4) плотность заряда
σ
,
индуцированного на поверх-
ности проводника; 5) пол-
ный заряд
Q
поверхности.
Ответ:
1)
ϕ
=
q
r
1
−
q
r
2
;
2)
F
=
−
q
2
4
d
2
;
3)
U
=
−
q
2
2
d
;
4)
σ
=
−
qd
2
π
(
r
2
+
d
2
)
3
/
2
;
5)
Q
=
−
q.
Здесь
r
– расстояние от оси, проходящей через заряд и перпендикулярной
к поверхности проводника.
Задача 2.23.
Бесконечный проводник занимает 3/4 пространства. На
расстояниях
a
и
b
от его граней находится точечный заряд
q
. Найти:
1) поле вне проводника; 2) плотность заряда, индуцированного на его
поверхности; 3) силу притяжения заряда к проводнику.
Ответ:
1)
ϕ
=
q
r
1
−
q
r
2
+
q
r
3
−
q
r
4
;
где
r
1
=
p
(
x
−
a
)
2
+ (
y
−
b
)
2
+
z
2
,
r
2
=
p
(
x
+
a
)
2
+ (
y
−
b
)
2
+
z
2
,
r
3
=
p
(
x
+
a
)
2
+ (
y
+
b
)
2
+
z
2
,
r
4
=
p
(
x
−
a
)
2
+ (
y
+
b
)
2
+
z
2
,
2)
σ
|
x
=0
=
−
qa
2
π
·
1
(
a
2
+ (
y
−
b
)
2
+
z
2
)
3
/
2
−
1
(
a
2
+ (
y
+
b
)
2
+
z
2
)
3
/
2
¸
;
21
σ
|
y
=0
=
−
qb
2
π
·
1
((
x
−
a
)
2
+
b
2
+
z
2
)
3
/
2
−
1
((
x
+
a
)
2
+
b
2
+
z
2
)
3
/
2
¸
;
3)
F
x
=
−
q
2
4
a
2
·
1
−
a
3
(
a
2
+
b
2
)
3
/
2
¸
;
F
y
=
−
q
2
4
b
2
·
1
−
b
3
(
a
2
+
b
2
)
3
/
2
¸
.
Здесь
{
x, y
}
– декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной
обеим плоским поверхностям проводника, и содержащей заряд в точке
x
=
a, y
=
b
; координата
z
направлена вдоль линии пересечения поверх-
ностей проводника.
Задача 2.24.
На расстоянии
d
друг от друга находятся два точечных
заряда
q
и
−
q
0
(
q
0
< q
). Определить поверхность, на которой потенциал
равен нулю.
Ответ:
сфера радиуса
R
=
d
0
q
2
−
q
0
2
.
Центр сферы располагается на линии, соединяющей заряды, так что
меньший (по абсолютной величине) заряд находится внутри сферы на
расстоянии
l
0
=
Rq
0
/q
от ее центра, а больший – вне сферы на расстоя-
нии
l
=
Rq/q
0
от центра.
Задача 2.25.
На расстоянии
l
от центра заземленной сферы радиуса
R
находится точечный заряд
q
. Найти поле вне сферы, распределение
заряда, индуцированного на ее поверхности, и силу притяжения заряда
сферой.
Решение.
Условие заземленности сферы задает нулевой потенциал на ее по-
верхности:
ϕ
(
R, θ, φ
) = 0
.
r
r
¡
¡
¡
¡
¡
¡
µ
s
-¢
¢
¢
¢
¢
¢¸
s
@
@
@
@
@
@
I
-
-
0
r r
2
r
1
q
z
l
k
l
x
k
P
−
q
0
Согласно решению задачи
2.24, такому условию удо-
влетворяет потенциал си-
стемы двух зарядов:
q
и
−
q
0
, где
q
0
=
qR/l
, при-
чем заряд
−
q
0
помещен на
линии, соединяющей центр
шара с зарядом
q
, на рас-
стоянии
l
0
=
R
2
/l
.
22
Таким образом, проводящую заземленную сферу можно заменить
зарядом-изображением
−
q
0
и рассматривать поле вне сферы как супер-
позицию полей двух точечных зарядов:
ϕ
(
r, θ
) =
q
√
l
2
+
r
2
−
2
lr
cos
θ
−
q
p
R
2
+
r
2
l
2
/R
2
−
2
lr
cos
θ
.
Для определения плотности индуцированного заряда воспользуемся гра-
ничным условием
E
2
n
−
E
1
n
= 4
πσ
. Так как
E
1
n
= 0
, то
σ
=
−
1
4
π
∂ϕ
∂r
¯
¯
¯
¯
r
=
R
=
q
(
R
2
−
l
2
)
4
πR
(
R
2
+
l
2
−
2
Rl
cos
θ
)
3
/
2
.
Силу притяжения заряда сферой можно определить как силу притяже-
ния реального заряда зарядом-изображением:
F
=
−
0
(
l
−
l
0
)
2
=
−
q
2
Rl
(
l
2
−
R
2
)
2
.
Ответ:
ϕ
(
r, θ
) =
q
√
l
2
+
r
2
−
2
lr
cos
θ
−
q
p
R
2
+
r
2
l
2
/R
2
−
2
lr
cos
θ
;
σ
=
q
(
R
2
−
l
2
)
4
πR
(
R
2
+
l
2
−
2
Rl
cos
θ
)
3
/
2
;
F
=
−
q
2
Rl
(
l
2
−
R
2
)
2
.
Задача 2.26.
Рассмотреть предыдущую задачу для изолированной (неза-
земленной) сферы, если задан: а) потенциал сферы
ϕ
0
; б) полный заряд
на сфере
Q
. Рассмотреть случай, когда точечный заряд
q
находится внут-
ри сферы.
Ответ:
a
)
ϕ
a
=
ϕ
+
ϕ
0
R
r
;
σ
a
=
σ
+
ϕ
0
4
πR
;
F
a
=
F
+
ϕ
0
qR
l
2
;
б
)
ϕ
б
=
ϕ
+
Q
+
qR/l
r
;
σ
б
=
σ
+
Q
+
qR/l
4
πR
2
;
F
б
=
F
+
(
Q
+
qR/l
)
q
l
2
,
где
ϕ
,
σ
,
F
даны в ответе к задаче 2.25.
Задача 2.27.
Бесконечная металлическая поверхность согнута под уг-
лом
60
◦
. На биссектрисе угла на расстоянии
d
от его вершины находится
точечный заряд
q
. Найти поле во всем пространстве.
Задача 2.28.
Определить поле вокруг проводящего незаряженного ша-
ра радиуса а, помещенного в однородное электрическое поле
E
0
. Найти
плотность индуцированных зарядов
σ
и дипольный момент шара
p
.
23
Решение.
r
r
−
Q
+
Q
z
=
R
z
=
−
R
r
-
»»»
:
XXX
z
P
E
0
0
а
r
r
−
Q
+
Q
z
=
R
z
=
−
R
&%
'$
r r
r
−
Q
0
r
¡
¡
¡
¡
¡
¡
µ
H
H
H
Y
z
=
R
0
©©
©
*
z
=
−
R
0
?
+
Q
0
P
θ
б
Можно считать, что однородное поле создано соответствующими поло-
жительным и отрицательным зарядами на бесконечности. Если, напри-
мер, два заряда
+
Q
и
−
Q
находятся в точках
z
=
∓
R
, как показано
на рис. а, то в близкой к началу координат области, размеры которой
много меньше
R
, электрическое поле имеет почти постоянное значение
E
0
≈
2
Q/R
2
и приблизительно параллельно оси
z
. В пределе, когда
R
→ ∞
, Q
→ ∞
при
Q/R
2
=
const
, это приближение становит-
ся совершенно точным.
Пусть теперь в начало координат помещена проводящая сфера ради-
усом
a
(рис. б); при этом поле будет определяться реальными зарядами
±
Q
, находящимися на расстоянии
∓
R
, и зарядами-изображениями
∓
Q
0
,
расположенными в точках
z
=
∓
R
0
. Полный потенциал равен:
ϕ
=
Q
(
r
2
+
R
2
+ 2
rR
cos
θ
)
1
/
2
−
Q
(
r
2
+
R
2
−
2
rR
cos
θ
)
1
/
2
−
−
Q
0
(
r
2
+
z
2
+ 2
rz
cos
θ
)
1
/
2
+
Q
(
r
2
+
z
2
−
2
rz
cos
θ
)
1
/
2
.
24
Аналогично задаче 2.25 для зарядов-изображений находим:
Q
0
=
Qa/R
,
R
0
=
a
2
/R
.
ϕ
=
Q
(
r
2
+
R
2
+ 2
rR
cos
θ
)
1
/
2
−
Q
(
r
2
+
R
2
−
2
rR
cos
θ
)
1
/
2
−
−
aQ
R
µ
r
2
+
a
4
R
2
+
2
a
2
r
R
cos
θ
¶
1
/
2
+
aQ
R
µ
r
2
+
a
4
R
2
−
2
a
2
r
R
cos
θ
¶
1
/
2
.
В первых двух слагаемых, учитывая, что по предположению
R
много
больше
r
, можно разложить корень по степеням
r/R
, вынеся предвари-
тельно за скобки
R
2
. Аналогично в третьем и четвертом членах можно
произвести разложение после вынесения
r
2
. В результате получим
ϕ
=
·
−
2
Q
R
2
r
cos
θ
+
2
Q
R
2
a
3
r
2
cos
θ
¸
+
... .
Здесь не выписаны члены, обращающиеся в нуль при
R
→ ∞
. В преде-
ле при
R
→ ∞
отношение
2
Q/R
2
переходит в величину приложенного
электрического поля
E
0
, так что потенциал равен
ϕ
=
−
E
0
µ
r
−
a
3
r
2
¶
cos
θ.
Первое слагаемое
(
−
E
0
z
)
равно, очевидно, просто потенциалу однород-
ного поля
E
0
. Второе слагаемое описывает потенциал, создаваемый ин-
дуцированными поверхностными зарядами, или, что то же самое, по-
тенциал, создаваемый зарядами-изображениями. Заметим, что заряды-
изображения образуют диполь с моментом
p
=
Qa/R
R/
(2
a
2
)
=
a
3
E
0
.
Поверхностная плотность индуцируемого заряда равна
σ
=
−
1
4
π
∂ϕ
∂r
¯
¯
¯
¯
r
=
a
=
3
4
π
E
0
cos
θ.
Ответ:
ϕ
(
r
) = (
p
·
r
)
/r
3
−
(
E
0
·
r
);
p
=
a
3
E
0
;
σ
= 3(
E
0
·
r
)
/
(4
πr
)
¯
¯
¯
¯
r
=
a
.
25