ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 652
Скачиваний: 2
76
Глава 2. Пластичность
2.6
Теория течения
2.6.1
Поверхность нагружения (течения) с учетом упрочнения
На диаграммах
σ
∼
ε
одноосного растяжения имеется участок, соответству-
ющий состоянию упрочнения (участок
CD
на рис. 2.1). Поэтому поверхность
нагружения не является фиксированной (как в случае идеальной пластично-
сти), а как -то расширяется и смещается по мере развития упрочнения.
Простейший вариант учета упрочнения — равномерное (изотропное) расши-
рение поверхности текучести:
f
[
I
2
(
D
σ
)
, I
3
(
D
σ
)] =
F
(
q
)
,
(2.30)
где
F
— возрастающая функция некоторого параметра
q
, который характери-
зует предыдущую историю пластического деформирования.
В случае рассмотренных раннее условий текучести Мизеса и Треска
F
(
q
) =
const
=
K
.
Разгрузка
При разгрузке деформация элемента происходит за счет накоп-
ленной упругой потенциальной энергии при нагружении. Из эксперименталь-
ных данных следует, что компоненты упругой деформации не зависят от пла-
стического деформирования. Поэтому можно считать, что компоненты полной
деформации
ε
ij
складываются (при условии ее малости) из упругих
ε
e
ij
и пла-
стических
ε
p
ij
:
ε
ij
=
ε
e
ij
+
ε
p
ij
(2.31)
Составляющие упругой деформации связаны с компонентами напряжения обоб-
щенным законом Гука:
ε
e
ij
=
1
2
G
µ
σ
ij
−
3
ν
1 +
ν
σδ
ij
¶
(2.32)
2.6.2
Вариант изотропного упрочнения
Самая простая формулировка условия изотропного упрочнения содержит лишь
квадратичный инвариант девиатора напряжений:
T
=
f
(
q
)
(2.33)
Выбор функции
f
(
q
)
может быть различным и базируется на эксперимен-
тальных данных.
2.6. Теория течения
77
Гипотеза единой кривой
Если в качестве меры упрочнения взять взять
Рис. 2.10:
величину достигнутой интенсивности деформации сдвига
Γ
, то получим соот-
ношение вида:
T
=
g
(Γ)Γ
(2.34)
где
g
(Γ)
— некоторая положительная функция.
Если положить
g
(Γ) =
τ
s
/
Γ
, то получим условие текучести Мизеса
T
=
τ
s
.
Функция
g
(Γ) =
G
соответствует упругому деформированию среды.
dT
d
Γ
−
T
Γ
=
g
0
(Γ)Γ
<
0
.
Следовательно,
g
0
(Γ)
и
g
(Γ)
— убывающая функция
Γ
.
Имеет место также неравенство
0
< g
(Γ)
< G
.
Существует обратная функция
Γ =
g
(
T
)
T,
(
g
(Γ)
g
(
T
) = 1)
для которой выполнены неравенства
g
(
T
)
≥
1
G
,
g
0
(
T
)
>
0
.
При нагружении
dT >
0
.
78
Глава 2. Пластичность
При
dT <
0
тело разгружается.
Случай
dT
= 0
соответствует нейтральному нагружению, сопровождающе-
муся только упругими деформациями.
Энергетическое условие упрочнения
За меру упрочнения
q
можно взять работу напряжений на пластических
деформациях.
A
p
=
Z
σ
ij
dε
p
ij
T
=
f
(
A
p
)
или
A
p
= Φ(
T
)
,
Φ(
T
)
>
0
,
Φ
0
(
T
)
>
0
При нагружении
dT >
0
.
При
dT <
0
тело разгружается.
Случай
dT
= 0
соответствует нейтральному нагружению, сопровождающе-
муся только упругими деформациями.
2.6.3
Теория пластического течения
.
Исходные положения теории течения следующие.
1) Материал изотропный.
2) Относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией,
пропорциональной среднему давлению
ε
= 3
kσ,
или
dε
= 3
kdσ.
3) Полные приращения компонент тензора деформаций есть сумма
упругих
приращений компонент тензора деформаций и
пластических
приращений ком-
понент тензора деформаций
dε
ij
=
dε
e
ij
+
dε
p
ij
,
dε
e
ij
=
1
2
G
µ
dσ
ij
−
3
ν
1 +
ν
δ
ij
dσ
¶
2.6. Теория течения
79
4) Девиатор напряжения и девиатор приращений пластической деформации
пропорциональны
D
p
dε
=
dλD
σ
,
где
dλ
— скалярный множитель.
Так как
dε
p
= 0
, то условие 4) записывается в виде
dε
p
ij
=
dλs
ij
Вычислим приращение работы напряжений на приращениях пластических де-
формаций
dA
p
=
σ
ij
dε
p
ij
=
dλσ
ij
s
ij
= 2
dλT
2
.
Приращение работы напряжений на приращениях полных деформаций равно:
dA
=
σ
ij
dε
ij
=
σ
ij
(
dε
e
+
dε
p
) =
dA
e
+
dA
p
,
где
dA
e
=
d
Π
,
Π =
3
2
kσ
2
+
1
2
G
T
2
.
Состояние текучести
.
Уравнения Прандтля — Рейса
. В качестве дополнительного соотношения возь-
мем условие текучести Мизеса
T
=
τ
s
.
Тогда
dλ
=
dA
p
2
τ
2
s
=
σ
ij
dε
p
ij
2
τ
2
s
Теория пластичности Сен-Венана — Мизеса
.
Уравнения теории пластичности Сен-Венана — Мизеса получаются из урав-
нений Прандтля — Рейса, если в них пренебречь упругими деформациями.
dε
ij
p
=
dλs
ij
.
Эти соотношения можно записать в виде
ξ
ij
=
λ
0
s
ij
,
где
λ
0
=
1
2
τ
2
s
dA
p
dt
=
1
2
τ
2
s
σ
ij
ξ
ij
=
1
2
τ
2
s
s
ij
ξ
ij
80
Глава 2. Пластичность
или
λ
0
=
H
2
τ
s
.
Таким образом, соотношения Сен-Венана — Мизеса можно записать в следую-
щем виде:
ξ
ij
H
=
s
ij
2
τ
s
.
Состояние упрочнения
.
Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие изотропного упроч-
нения
dA
p
= Φ
0
(
T
)
dt.
Для
dA
p
было получено выражение
dA
p
= 2
dλT
2
.
Если ввести обозначение
Φ
0
(
T
)
2
T
2
=
F
(
T
)
,
то для величины
dλ
получим выражение
dλ
=
F
(
T
)
dT.
Таким образом
dε
ij
=
dε
e
ij
+
F
(
T
)
dT s
ij
.
Эти соотношения справедливы при
dT
≥
0
.