ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 651
Скачиваний: 2
66
Глава 2. Пластичность
ξ
—
характеристиками
,
а семейство характеристик
tg
ϕ
=
dx
2
dx
1
=
sin 2
ψ
+
√
1
−
τ
0
2
cos 2
ψ
+
τ
0
η
—
характеристиками
.
1
x
h
y
y
Рис. 2.5:
Если ось
x
1
направить по касательной к характеристике
ξ
, то угол
ϕ
= 0
и,следовательно, на
ξ
— характеристике выполняется соотношение
sin 2
ψ
= +
p
1
−
τ
0
2
.
Аналогично на
η
— характеристике выполняется соотношение
sin 2
ψ
= +
p
1 +
τ
0
2
.
Следовательно,
cos 2
ψ
=
τ
0
.
(2.15)
Знак минус в (2.15), так как в противном случае знаменатель в (2.14) об-
ращается в нуль. Поэтому в каждой точке характеристики составляют углы с
первым главным направлением (рис. 2.5).
Из (2.15) следует, что
tg
ψ
=
r
1
−
τ
0
1 +
τ
0
.
(2.16)
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
67
На характеристиках должны выполняться условия ( ранг матрицы системы
равняется рангу расширенной матрицы)
rang
1 +
τ
0
cos 2
ψ
−
2
τ
sin 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
1
−
τ
0
cos 2
ψ
2
τ
sin 2
ψ
dx
1
0
dx
2
0
0
dx
1
0
dx
2
=
=
rang
1 +
τ
0
cos 2
ψ
−
2
τ
sin 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
0
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
1
−
τ
0
cos 2
ψ
2
τ
sin 2
ψ
0
dx
1
0
dx
2
0
dp
0
dx
1
0
dx
2
dψ
Эти условия приводят к следующим соотношениям на характеристиках:
1
2
τ
p
1
−
τ
0
2
dp
−
dψ
= 0
на
ξ
— характеристике
и
1
2
τ
p
1
−
τ
0
2
dp
+
dψ
= 0
на
η
— характеристике
.
Обозначим
G
(
p
) =
1
2
Z p
1
−
τ
0
2
dp
τ
.
(2.17)
Тогда соотношения на характеристиках записываются в следующем виде:
G
(
p
)
−
ψ
=
const на
ξ
— характеристике
(2.18)
и
G
(
p
) +
ψ
=
const на
η
— характеристике
(2.19)
2.5.2
Уравнения для определения поля скоростей.
Условие пластичности записываем в виде
F
(
σ
1
, σ
2
) =
τ
−
τ
(
p
) = 0
(
τ
=
σ
1
−
σ
2
2
)
.
Из ассоциированного закона пластичности следует
˙
ε
1
=
λ
(1
−
τ
0
)
,
˙
ε
2
=
−
λ
(1 +
τ
0
)
,
˙
ε
12
= 0
.
(2.20)
68
Глава 2. Пластичность
Исключая
λ
, получим
(1 +
τ
0
) ˙
ε
1
+ (1
−
τ
0
) ˙
ε
2
= 0
.
Учитывая, что
˙
ε
1
=
∂v
1
/∂x
1
и
˙
ε
2
=
∂v
2
/∂x
2
, получаем уравнение в частных
производных относительно компонент вектора скорости
(1 +
τ
0
)
v
1
,
1
+ (1
−
τ
0
)
v
2
,
2
= 0
.
Добавим к этому уравнению условие
˙
ε
12
= 0 :
˙
ε
1
+ ˙
ε
2
= 0
,
или
v
1
,
2
+
v
2
,
1
= 0
.
Таким образом, имеем систему двух дифференциальных уравнений для двух
компонент вектора скорости
(1 +
τ
0
)
v
1
,
1
+ (1
−
τ
0
)
v
2
,
2
= 0
,
v
1
,
2
+
v
2
,
1
= 0
.
(2.21)
Можно показать,что характеристики системы (2.21) совпадают с характеристи-
ками поля напряжений. На характеристиках для поля скоростей имеют место
следующие соотношения
∂v
ξ
∂ξ
−
v
nξ
∂ψ
∂ξ
= 0
на
ξ
— характеристике
(2.22)
∂v
η
∂η
−
v
nη
∂ψ
∂η
= 0
на
η
— характеристике
(2.23)
В (2.21), (2.22)
v
ξ
,
v
η
— составляющие вектора скорости на касательные на-
правления к характеристикам;
v
nξ
,
v
nη
— составляющие вектора скорости на
нормальные направления к характеристикам.
2.5.3
Условия пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана в слу-
чае плоской деформации.
Условие пластичности Мизеса в главных напряжениях записывается в следую-
щем виде::
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+ (
σ
2
−
σ
3
)
2
+ (
σ
3
−
σ
1
)
2
= 2
σ
2
Т
.
(2.24)
Вследствие ассоциированного закона пластичности имеем
˙
ε
3
=
λ
(2
σ
3
−
σ
1
−
σ
2
) = 0
.
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
69
Следовательно,
σ
3
=
1
2
(
σ
1
+
σ
2
)
Подставляя это выражение в (2.24), получим
σ
1
−
σ
2
=
2
√
3
σ
Т
.
Рассмотрим условие пластичности пластичности Треска:
пластичность наступает тогда, когда максимальное касательное напря-
жение достигает критического значения
.
В случае плоской деформации равенство нулю компоненты тензора скорости
деформации
˙
ε
3
означает, что напряжение не входит в условие пластичности.
Тогда, если
σ
1
наибольшее главное напряжение, а
σ
2
— наименьшее, условие
пластичности Треска запишется в виде:
σ
1
−
σ
2
=
σ
Т
.
Таким образом, в случае плоской деформации условие пластичности Мизеса и
условие пластичности Треска — Сен-Венана сводятся к равенству
τ
=
k
(2.25)
и различаются только значением константы
k
.
2.5.4
Плоская деформация жесткопластичекого идеального тела при
условиях пластичности Треска-Сен Венана и Мизеса.
В случае плоской деформации (
˙
ε
3
= 0
) условие пластичности Мизеса и условие
пластичности Треска — Сен-Венана сводятся к равенству
τ
(
p
) =
k,
где
p
=
1
2
(
σ
1
+
σ
2
)
,
τ
=
1
2
(
σ
1
−
σ
2
)
и различаются только значением константы
k
.
Следовательно,
τ
0
=
dτ /dp
= 0
.
Полагая в ранее полученном равенстве
tg
ψ
=
r
1
−
τ
0
1 +
τ
0
.
70
Глава 2. Пластичность
τ
0
=
dτ /dp
= 0
, получаем tg
ψ
= 1
. Следовательно, угол между касательными
к характеристикам и 1-м главным направлением равен
π/
4
. Но на площадках,
равнонаклоненных к главным осям, достигают максимального значения каса-
тельные напряжения.
Следовательно, характеристики — это
траектории главных касательных
напряжений
или
линии скольжения
.
x
h
t
t
t
t
s
s
1
s
s
2
x
1
x
2
p/4
y
j
p/2k-
const
y=
p/2k+
const
y=
Рис. 2.6:
Cоотношения на характеристиках :
G
(
p
)
−
ψ
=
const на
ξ
— характеристике
и
G
(
p
) +
ψ
=
const на
η
— характеристике
,
где
G
(
p
) =
1
2
Z p
1
−
τ
0
2
dp
τ
.
принимают в этом случае следующий вид:
p
2
k
−
ψ
=
const на
ξ
— характеристике
p
2
k
+
ψ
=
const на
η
— характеристике
Из соотношений на характеристиках следует естественный выбор координат-
ных параметров на характеристических линиях:
p
2
k
+
ψ
=
ξ,
p
2
k
−
ψ
=
η
Такой выбор возможен только в том случае, если существует взаимно одно-
значное соответствие между координатами
x
1
, x
2
и параметрами
ξ, η
.