ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 653
Скачиваний: 2
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
71
Используя соотношения вдоль характеристик, можно получить ряд полез-
ных свойств характеристических линий, которые используются при построении
полей напряжений. Приведем некоторые из них.
Свойство 1
. Вдоль линии скольжения давление
p
изменяется пропорцио-
нально углу между касательной к линии скольжения и осью
x
1
.
Свойство 2
. (Первая теорема Генки) Если переходить от одной линии сколь-
жения
η
к другой вдоль любой линии скольжения семейства
ξ
, то угол
ϕ
и
давление
p
будут изменяться на одну и ту же величину.
Свойство 3
. Если известно значение
p
в какой либо точке заданной сетки
линий скольжения, то оно может быть вычислено в любой точке.
Свойство 4
. Если некоторый отрезок линии скольжения — прямой, то вдоль
него постоянны величины
p
и
ψ
, и компоненты напряжений
σ
11
, σ
22
, σ
12
. и, сле-
довательно,
если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольже-
ния, то в этой области напряжения распределены равномерно (не зависят
от координат)
.
Свойство 5
. Если некоторый отрезок линии скольжения семейства
ξ
(или
η
) — прямой, то все соответствующие отрезки линий
ξ
(или
η
) — прямые.
Свойство 6
. Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого се-
мейства, имеют одинаковую длину.
Итак, пусть в качестве координатных параметров характеристических линий
выбраны параметры
p
2
k
+
ψ
=
ξ,
p
2
k
−
ψ
=
η.
Поскольку угол наклона
ψ
характеристик к линиям главных напряжений
отличается от угла
ϕ
на постоянную величину
π/
4
, то в соотношения на ха-
рактеристиках угол
ψ
можно заменить на угол
ϕ
.
Дифференциальные уравнения характеристик в плоскости
x
1
, x
2
имеют вид:
dx
2
dx
1
=
tg
ϕ
на линии
ξ,
dx
2
dx
1
=
-ctg
ϕ
на линии
η
Следовательно,
∂x
2
∂ξ
−
tg
ϕ
∂x
1
∂ξ
= 0
,
∂x
2
∂η
+
ctg
ϕ
∂x
1
∂η
= 0
(2.26)
Ведем новые переменные
x
1
=
x
1
cos
ϕ
−
x
2
sin
ϕ,
x
2
=
x
1
sin
ϕ
+
x
2
cos
ϕ
72
Глава 2. Пластичность
В этих переменных дифференциальные уравнения (2.26) запишутся в виде
∂x
2
∂ξ
+
1
2
x
1
= 0
,
∂x
1
∂η
−
1
2
x
2
= 0
(2.27)
Исключая из этих уравнений
x
1
или
x
2
, получим, что величины
x
1
и
x
2
удо-
влетворяют телеграфному уравнению:
∂
2
f
∂ξ∂η
+
1
4
f
= 0
.
(2.28)
Как было отмечено выше дифференциальная система уравнений для опре-
деления поля скоростей имеет те же самые семейства характеристик, что и для
поля напряжений. Соотношения на характеристиках для компонент вектора
скорости имеют вид:
∂v
ξ
∂ξ
−
v
nξ
∂ψ
∂ξ
= 0
на
ξ
— характеристике
∂v
η
∂η
−
v
nη
∂ψ
∂η
= 0
на
η
— характеристике
Для ортогональной сетки характеристик выполняются равенства
v
nξ
=
v
η
,
v
nη
=
−
v
ξ
.
Поэтому соотношения на характеристиках для компонент вектора скорости
принимают вид:
∂v
ξ
∂ξ
−
1
2
v
η
= 0
,
∂v
η
∂η
+
1
2
v
ξ
= 0
Исключая из этих уравнений
v
ξ
или
v
η
, получим телеграфное уравнение:
∂
2
f
∂ξ∂η
+
1
4
f
= 0
2.5.5
Численное решение задачи Коши для поля напряжений.
Пусть на участке дуги
AB
границе области, занятой телом и находящемся в
условиях плоской деформации, заданы усилия (рис. 2.7).
В формулах
σ
11
=
p
+
τ
(
p
) cos 2
ψ,
σ
22
=
p
−
τ
(
p
) cos 2
ψ,
σ
12
=
τ
(
p
) sin 2
ψ
положим
ψ
=
ϕ
+
π/
4
.
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
73
В результате получим
σ
11
=
p
−
τ
sin 2
ϕ,
σ
22
=
p
+
τ
sin 2
ϕ,
σ
12
=
τ
cos 2
ϕ
x
1
x
2
A
B
C
M
Q
T
1
T
2
m
a
b
q
c
x
h
Рис. 2.7:
Поскольку на дуге
AB
контура в каждой точке выполнены условия
σ
αβ
=
T
α
,
а
σ
αβ
выражаются через две величины
p
и
ϕ
, то каждой точке контура
M
мож-
но сопоставить точку
m
в плоскости характеристик
ξ, η
, а отрезку кривой
AB
в
плоскости
x
1
, x
2
будет соответствовать отрезок
ab
в плоскости характеристик.
Для каждой точки
m
кривой
ab
в плоскости характеристик можно вычислить
величины
x
1
, x
2
. Затем в плоскости характеристик интегрируется линейная си-
стема уравнений относительно величин
x
1
, x
2
. Решение определяется в харак-
теристическом треугольнике
abc
.
(
x
2
)
m,n
= (
x
2
)
m
−
1
,n
−
1
2
(
x
1
)
m
−
1
,n
4
ξ,
(
x
1
)
m,n
= (
x
1
)
m,n
−
1
+
1
2
(
x
2
)
m,n
−
1
4
η
Таким образом для каждого узла в плоскости
ξ, η
вычисляются величины
x
1
, x
2
. А, следовательно, координаты соответствующих точек в плоскости
x
1
, x
2
.
Тем самым мы определяем криволинейные характеристики в плоскости
x
1
, x
2
.
По координатам
ξ, η
вычисляются величины
p
и
ϕ
, а, следовательно, компонен-
ты тензора напряжений
σ
αβ
в каждой точке
Q
.
74
Глава 2. Пластичность
2.5.6
Простые решения. Задача Прандтля.
Пусть на участок прямолинейной границы действуют
р
авномерно распреде-
ленные нормальные усилия
σ
и касательные усилия
τ
. Нормаль
n
к границе
образует угол
α
с осью
x
1
. Поскольку
σ
n
=
p
−
k
sin 2(
ϕ
−
α
)
,
τ
n
=
k
cos 2(
ϕ
−
α
)
,
(2.29)
то
p
и
ϕ
— постоянные величины. Отсюда следует, что и величины
ξ
и
η
так же
постоянные. Отрезок
AB
отображается на плоскости
ξ, η
в одну точку
(
ξ
0
, η
0
)
.
Угол наклона характеристик
ϕ
постоянен, поэтому пластическое поле пред-
ставляет собой треугольник; внутри этого треугольника величина
p
постоянна
и имеет то же значение, что и на границе.
2.5.7
Задача Прандтля о вдавливании гладкого штампа в полупро-
странство.
Решение Прандтля
I
I
III
V
V
2
q
A
B
C
D
A
1
I
III
I
x
h
Рис. 2.8:
Пусть в прямолинейную границу полупространства вдавливается гладкий
штамп. Под штампом возникает распределенное давление
q
. Треугольная об-
ласть под штампом соответствует точке в плоскости характеристик. В этой
области возникает постоянное напряженное состояние. При этом
σ
22
=
−
q
. Ха-
рактеристики подходят к поверхности по углом
π/
4
. Пусть
ξ
- характеристика
— линия, проведенная из точки по штампом под углом
−
π/
4
.
Тогда
σ
22
=
−
q
=
p
−
k.
Следовательно,
p
=
k
−
q
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
75
в области I.
Пристроем к области I центрированное поле характеристик (область II), со-
единяющее область I с областью III. Характеристика семейства
ξ
выходит из
области I под углом
−
π/
4
, превращается в дугу окружности, ортогональной к
прямолинейным характеристикам семейства
η
и продолжается в области III как
отрезок прямой, пересекающей границу под углом
π/
4
. В области III
σ
22
= 0
,
и, следовательно,
0 =
p
+
k
, или
p
=
−
k.
Но вдоль
ξ
- характеристики величина
η
постоянна
k
−
q
2
k
+
π
4
=
−
k
2
k
−
π
4
.
Из последнего равенства следует выражение для предельной нагрузки:
q
= (2 +
π
)
k.
Поле скоростей в решении Прандтля следующее. Центральный треугольник
движется вниз как жесткое целое. На линии
AB
тангенциальная составляю-
щая скорости претерпевает разрыв, но нормальная к
AB
составляющая, равная
V /
√
2
, сохраняется неизменной вдоль каждой из дуг окружностей, представля-
ющих собой
ξ
- характеристики в области
II
. В результате весь треугольник
ACD
движется как жесткое целое в направлении, указанном стрелкой, скользя
по границе жесткой зоны
CD
.
Конфигурация пластических зон и кинематика течения в задачах жестко-
пластического анализа единственным образом не определяются. На рис. 2.9
приведена схема течения, предложенная Хиллом.
V
2
q
B
C
D
A
1
A
E
Решение Хилла
Рис. 2.9: