ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 670
Скачиваний: 2
6
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
переменными являются координаты материальных точек в текущем состоянии,
называется
эйлеровым
.
При лагранжевом способе описания движения среды мы следим за измене-
ниями, которые происходят в материальных частицах, При эйлеровом способе
описания движения среды мы следим за изменениями, которые происходят в
фиксированных точках пространства. В эти точки в различные моменты вре-
мени приходят различные частицы.
Если (1.2) является непрерывным взаимно однозначным соответствием с
непрерывными частными производными, то соответствия (1.1) и (1.2) представ-
лены единственной парой взаимно обратных функций. Необходимым и доста-
точным условием существования обратной функии является отличие от нуля
якобиана
J
=
¯
¯
¯
¯
∂x
i
∂X
i
¯
¯
¯
¯
.
(1.3)
1.1.2
Градиенты деформации. Градиенты перемещения
Тензор
F
=
∂x
1
∂X
1
∂x
1
∂X
2
∂x
1
∂X
3
∂x
2
∂X
1
∂x
2
∂X
2
∂x
2
∂X
3
∂x
3
∂X
1
∂x
3
∂X
2
∂x
3
∂X
3
=
∂x
i
∂X
j
(1.4)
называется материальным градиентом деформации.
Тензор
H
=
∂X
1
∂x
1
∂X
1
∂x
2
∂X
1
∂x
3
∂X
2
∂x
1
∂X
2
∂x
2
∂X
2
∂x
3
∂X
3
∂x
1
∂X
3
∂x
2
∂X
3
∂x
3
=
∂X
i
∂x
j
(1.5)
называется пространственным градиентом деформации.
Для материального и пространственного тензоров справедливы следующие
соотношения
∂x
i
∂X
j
∂X
j
∂x
k
=
∂X
i
∂x
j
∂x
j
∂X
k
=
δ
ik
(1.6)
Введём вектор перемещения (рис. 1.1)
u
=
x
−
X
,
1.1. Деформация среды
7
i
1
i
i
2
3
u
t=t
t=t
0
P
x
x
x
(
)
1
2
3
,
,
x
P
0
x
x
x
(
)
1
2
3
,
,
x
x
1
x
x
3
2
u
x
x
x
(
)
1
2
3
,
,
x
x
x
x
(
)
1
2
3
,
,
x
=
-
Вект
ор перемещения
x
1
x
1
2
x
x
3
,
,
,
u
Рис. 1.1:
или в покомпонентной записи
u
i
=
x
i
−
X
i
Дифференцируя эти равенства по лагранжевым (материальным) и эйлеровым
(пространственным) переменным, получим соответственно
∂u
i
∂X
j
=
∂x
i
∂X
j
−
δ
ij
и
∂u
i
∂x
j
=
δ
ij
−
∂X
i
∂x
j
Тензор
J
=
F
−
I
=
∂u
1
∂X
1
∂u
1
∂X
2
∂u
1
∂X
3
∂u
2
∂X
1
∂u
2
∂X
2
∂u
2
∂X
3
∂u
3
∂X
1
∂u
3
∂X
2
∂u
3
∂X
3
=
∂u
i
∂X
j
(1.7)
называется материальным градиентом перемещения.
Тензор
K
=
I
−
H
=
∂u
1
∂x
1
∂u
1
∂x
2
∂u
1
∂x
3
∂u
2
∂x
1
∂u
2
∂x
2
∂u
2
∂x
3
∂u
3
∂x
1
∂u
3
∂x
2
∂u
3
∂x
3
=
∂u
i
∂x
j
(1.8)
называется пространственным градиентом перемещения.
8
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
1.1.3
Тензоры конечных деформаций
i
1
i
i
2
3
u
P
x
0
x
1
x
x
3
2
x
1
2
x
x
3
,
,
,
x
Q
0
d
X
Q
d
x
u
u
+d
x
X
+
d
o
P
Рис. 1.2:
На рис. 1.2 начальная (недеформированная)и конечная (деформированная)
конфигурации отнесены к совмещенным ортогональным декартовым осям ко-
ординат
OX
1
X
2
X
3
и
ox
1
x
2
x
3
. Соседние частицы, которые находились до дефор-
мации в точках
P
0
и
Q
0
перемещаются соответственно в точки
P
и
Q
дефор-
мированной конфигурации.
Квадрат бесконечно малого расстояния между точками
P
0
и
Q
0
есть
(
dX
)
2
=
d
X
·
d
X
=
dX
i
dX
i
=
δ
ij
dX
i
dX
j
,
(1.9)
где
dX
i
=
∂X
i
∂x
i
dx
i
,
или
d
X
=
H
·
d
x
Следовательно,
(
dX
)
2
=
∂X
k
∂x
i
∂X
k
∂x
j
dx
i
dx
j
=
C
ij
dx
i
dx
j
,
или
(
dX
)
2
=
d
x
·
C
·
d
x
(1.10)
Тензор второго ранга
C
ij
=
∂X
k
∂x
i
∂X
k
∂x
j
,
или
C
=
H
T
·
H
(1.11)
1.1. Деформация среды
9
называется
тензором деформаций Коши
.
В деформированной конфигурации квадрат бесконечно малого расстояния
между точками
P
и
Q
равен
(
dx
)
2
=
d
x
·
d
x
=
dx
i
dx
i
=
δ
ij
dx
i
dx
j
,
(1.12)
где
dx
i
=
∂x
i
∂X
i
dX
i
,
или
d
x
=
F
·
d
X
Следовательно,
(
dx
)
2
=
∂x
k
∂X
i
∂x
k
∂X
j
dX
i
dX
j
=
G
ij
dx
i
dx
j
,
или
(
dx
)
2
=
d
X
·
G
·
d
X
(1.13)
Тензор второго ранга
G
ij
=
∂x
k
∂X
i
∂x
k
∂X
j
,
или
G
=
F
T
·
F
(1.14)
называется
тензором деформаций Грина
.
Рассмотрим разность между квадратами длин элементарных отрезков в
конечном и начальном состояниях
(
dx
)
2
−
(
dX
)
2
.
Эту разность можно записать, используя ранее полученные выражения для
(
dx
)
2
и
(
dX
)
2
, в следующем виде
(
dx
)
2
−
(
dX
)
2
=
µ
∂x
k
∂X
i
∂x
k
∂X
j
−
δ
ij
¶
dX
i
dX
j
= 2
L
ij
dX
i
dX
j
,
(1.15)
Тензор второго ранга
L
ij
=
1
2
µ
∂x
k
∂X
i
∂x
k
∂X
j
−
δ
ij
¶
или
L
G
=
1
2
(
F
T
·
F
−
I
)
называется
лагранжевым тензором конечных деформаций (или тензором ко-
нечных деформаций Грина)
.
Ту же самую разность можно записать в другом виде
(
dx
)
2
−
(
dX
)
2
=
µ
δ
ij
−
∂X
k
∂x
i
∂X
k
∂x
j
¶
dx
i
dx
j
= 2
E
ij
dx
i
dx
j
,
(1.16)
10
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Тензор второго ранга
E
ij
=
1
2
µ
δ
ij
−
∂X
k
∂x
i
∂X
k
∂x
j
¶
или
E
A
=
1
2
(
I
−
H
T
·
H
)
называется
эйлеровым тензором конечных деформаций (или тензором конеч-
ных деформаций Альманси)
.
Лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций можно выразить через
градиенты перемещений, используя формулы
∂u
i
∂X
j
=
∂x
i
∂X
j
−
δ
ij
и
∂u
i
∂x
j
=
δ
ij
−
∂X
i
∂x
j
. В результате получим следующие представления для этих тензоров:
L
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂X
j
+
∂u
j
∂X
i
+
∂u
k
∂X
i
∂u
k
∂X
j
¶
(1.17)
и
E
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
−
∂u
k
∂x
i
∂u
k
∂x
j
¶
(1.18)
1.1.4
Тензоры бесконечно малых деформаций
Если все компоненты градиента перемещений
partialu
i
/∂X
j
малы по сравнению
с единицей (
∂u
i
/∂X
j
<<
1
), то в (1.17) можно пренебречь произведениями. В
результате получим
лагранжев тензор бесконечно малых деформаций
l
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂X
j
+
∂u
j
∂X
i
¶
.
(1.19)
Аналогично,если все компоненты градиента перемещений
partialu
i
/∂x
j
ма-
лы по сравнению с единицей (
∂u
i
/∂x
j
<<
1
), то в (1.18) можно пренебречь
произведениями. В результате получим
эйлеров тензор бесконечно малых де-
формаций
ε
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
¶
.
(1.20)
Если не только градиент перемещения мал, но малы сами перемещения, то мож-
но пренебречь различием между лагранжевыми и эйлеровыми координатами.
Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то
l
ij
=
ε
ij
.
(1.21)