ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2120
Скачиваний: 4
250
1.
Постановка прямой задачи
Пусть
Ω
– ограниченная область в
R
d
,
d
= 2
,
3
,
с границей
Γ
, состоящей из двух
частей
Γ
D
и
Γ
N
. Рассмотрим в
Ω
задачу нахождения температуры
T
жидкой среды,
занимающей область
Ω
, из соотношений
λ
∆
T
+
u
· ∇
T
=
f
в
Ω
,
(1)
T
= 0
на
Γ
D
, λ∂T /∂n
=
χ
на
Γ
N
.
(2)
Здесь
λ
=
const
>
0
– коэффициент температуропроводности,
u
≡
u
(
x
)
– вектор ско-
рости,
f
(
x
)
– плотность объемных источников тепла,
χ
(
x
)
– заданные на участках
Γ
N
функции. Будем использовать функциональные пространства Соболева
H
s
(
D
)
,
s
∈
R
. Здесь
D
обозначает либо область
Ω
, либо некоторую подобласть
Q
⊂
Ω
, либо
границу
Γ
или участок
Γ
0
границы
Γ
с положительной мерой. Через
k · k
s
,
| · |
s
и
(
·
,
·
)
s
будем обозначать норму, полунорму и скалярное произведение в
H
s
(Ω)
. Через
k · k
Q
,
k · k
1
,Q
и
(
·
,
·
)
Q
,
(
·
,
·
)
1
,Q
будем обозначать нормы и скалярные произведения
соответственно в пространствах
L
2
(
Q
)
и
H
1
(
Q
)
. При
Q
= Ω
индекс
Ω
будем опус-
кать, полагая
k · k
Ω
=
k · k
и
k · k
1
,
Ω
=
k · k
1
. Положим
k
χ
k
Γ
N
=
k
χ
k
L
2
(Γ
N
)
. Положим
H
1
div
(Ω) =
{
u
∈
H
1
(Ω) : div
u
= 0
}
,
Z
=
{
u
∈
H
1
div
(Ω) :
u
·
n
|
Γ
N
>
0
}
.
Будем пред-
полагать, что выполняются условия (i)
Γ
∈
C
0
,
1
,
Γ = ¯
Γ
D
∪
¯
Γ
N
,
meas
Γ
D
>
0
; (ii)
χ
∈
L
2
(Γ
N
)
, (iii)
u
∈
Z
,
f
∈
L
2
(Ω)
. Введем основное для дальнейшего анализа про-
странство
X
=
{
θ
∈
H
1
(Ω) :
θ
|
Γ
D
= 0
}
. Известно, что
X
– гильбертово пространство
с нормой
k · k
X
=
k · k
1
, эквивалентной полунорме
| · |
1
в силу неравенства Фри-
дрикса–Пуанкар´
е вида
|
θ
|
2
1
>
δ
1
k
θ
k
2
1
∀
θ
∈
X, δ
1
=
const
>
0
.
Через
X
∗
обозначим
пространство, двойственное к
X
относительно пространства
L
2
(Ω)
. Слабым реше-
нием задачи (1), (2) назовем функцию
T
∈
X
, удовлетворяющую соотношениию
a
u
(
T, η
)
≡
λ
(
∇
T,
∇
η
) + (
u
· ∇
T, η
) =
h
l, η
i ≡
(
f, η
) + (
χ, η
)
Γ
N
∀
η
∈
X.
(3)
Справедливы следующие неравенства (см. [7]):
|
(
χ, θ
)
Γ
N
|
6
γ
2
k
χ
k
Γ
N
k
θ
k
1
,
|
(
u
· ∇
T, θ
)
|
6
γ
1
k
u
k
1
k
T
k
1
k
θ
k
1
, γ
1
= const
.
(4)
Ясно, что
l
∈
X
∗
, причем с учетом (4) выполняется оценка
k
l
k
X
∗
6
k
f
k
+
γ
2
k
χ
k
Γ
N
.
Пусть
u
∈
Z
. Легко видеть, что
a
u
(
T, T
)
>
λ
∗
k
T
k
2
1
, λ
∗
=
δ
1
λ.
Из общей теории
вытекает, что задача (3) эквивалентна решению операторного уравнения
A
u
T
=
l.
(5)
Из теоремы Лакса-Мильграма вытекает, что решение
T
∈
X
задачи (3) существует,
единственно и для него выполняется оценка
k
T
k
1
6
C
0
k
l
k
X
∗
6
C
0
(
k
f
k
+
γ
2
k
χ
k
Γ
N
)
, C
0
=
λ
−
1
∗
≡
(
δ
1
λ
0
)
−
1
.
2.
Постановка обратной задачи
Задачи исследования единственности и устойчивости решений обратных экстре-
мальных задач для рассматриваемой модели теплопереноса заключаются в миними-
зации определенных функционалов качества, зависящих от состояния (температуры
T
) и неизвестных функций (управлений), удовлетворяющих уравнениям состояния,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
251
имеющих вид слабой формулировки (3) задачи (1),(2). Управления
u
и
f
относят-
ся к разным классам распределенных управлений. Если функция
f
имеет смысл
управления типа плотности источников, линейно входящей в уравнение состояния,
то функция
u
, являющаяся множителем при неизвестном решении, имеет смысл
мультипликативного управления, нелинейно входящего в уравнение состояния. В
качестве функционала качества мы выберем один из следующих:
I
1
(
T
) =
k
T
−
T
d
k
2
Q
=
Z
Q
|
T
−
T
d
|
2
d
x
≡
Z
Ω
r
(
T
−
˜
T
d
)
2
d
x
, I
2
(
T
) =
k
T
−
T
d
k
2
1
,Q
.
(6)
Будем предполагать, что управление
u
и
f
изменяются во множествах
K
1
, K
2
, при-
чем
(
j
)
K
1
⊂
Z
,
K
2
⊂
L
2
(Ω)
- некоторые выпуклые замкнутые множества. Полагая
K
=
K
1
×
K
2
,
u
= (
u
, f
)
, введем оператор
F
=
X
×
K
×
L
2
(Γ
N
)
→
X
∗
, действующий
по формуле
h
F
(
T, u, χ
)
, η
i
=
h
A
u
T, η
i −
(
f, η
)
−
(
χ, η
)
Γ
N
≡
a
u
(
T, η
)
−
(
f, η
)
−
(
χ, η
)
Γ
N
.
Рассмотрим следующую экстремальную задачу:
J
(
T, u
)
≡
µ
0
2
I
(
T
) +
µ
1
2
k
u
k
2
1
+
µ
2
2
k
f
k
2
Ω
→
inf
, F
(
T, u
) = 0
,
(
T, u
)
∈
X
×
K.
(7)
Здесь
µ
0
,
µ
1
,
µ
2
неотрицательные параметры, служащие для регулирования относи-
тельной важности каждого из слагаемых в (7). Введем множество
Z
ad
(
χ
) =
{
(
T, u
)
∈
X
×
K
:
F
(
T, u, χ
) = 0
, J
(
T, u
)
<
∞}
допустимых пар
(
T, u
)
для задачи (7). Предпо-
ложим в дополнение к
(
j
)
, что справедливо следующее условие: (jj)
µ
0
>
0
,
µ
1
>
0
,
µ
2
>
0
и
K
1
,
K
2
– ограниченные множества либо
µ
l
>
0
,
l
= 0
,
1
,
2
, и функционал
I
ограничен снизу.
Теорема 1.
Пусть
I
:
X
→
R
– слабо полунепрерывный снизу
функционал качества и выполняются условия (i), (ii), (j), (jj), причем
Z
ad
(
χ
)
6
=
∅
.
Тогда задача (7) имеет по крайней мере одно решение
(
T, u
)
∈
X
×
K
.
Подчеркнем,
что утверждения теоремы 1 справедливы для функционалов
I
1
и
I
2
, поскольку они
неотрицательны и слабо полунепрерывны снизу.
Теорема 2.
Пусть при выполне-
нии условий теоремы 1 пара
( ˆ
T ,
ˆ
u
)
∈
X
×
K
, где
ˆ
u
= (ˆ
u
,
ˆ
f
)
, является решением зада-
чи (7), и пусть функционал
I
(
T
)
непрерывно дифференцируем по
T
в точке
ˆ
T
. Тогда
существует единственный множитель Лагранжа
θ
∈
X
такой, что справедливо
уравнение Эйлера-Лагранжа
L
0
T
( ˆ
T ,
ˆ
u, χ, θ
)
≡
F
0
T
( ˆ
T ,
ˆ
u, χ
)
∗
θ
+ (
µ
0
/
2)
I
0
T
( ˆ
T
) = 0
в
X
∗
,
эквивалентное тождеству
λ
(
∇
τ,
∇
θ
) + (ˆ
u
· ∇
τ, θ
) =
−
(
µ
0
/
2)
< I
0
T
( ˆ
T
)
, τ >
∀
τ
∈
X,
(8)
и выполняется принцип минимума
L
( ˆ
T ,
ˆ
u, f, θ
)
6
L
( ˆ
T , u, f, θ
)
∀
u
∈
K,
эквивалент-
ный паре вариационных неравенств
h
L
0
u
( ˆ
T ,
ˆ
u, χ, θ
)
,
u
−
ˆ
u
i
=
µ
1
(ˆ
u
,
u
−
ˆ
u
)
1
+ ((
u
−
ˆ
u
)
· ∇
ˆ
T , θ
)
>
0
∀
u
∈
K
1
,
(9)
h
L
0
f
( ˆ
T ,
ˆ
u, χ, θ
)
, f
−
ˆ
f
i
=
µ
2
( ˆ
f , f
−
ˆ
f
)
Ω
−
(
f
−
ˆ
f , θ
)
Ω
>
0
∀
f
∈
K
2
.
(10)
Задачи (11) и (8) вместе с вариационными неравенствами (9) и (10) образуют си-
стему оптимальности, описывающую необходимые условия экстремума для задачи
(3). Установим одно важное свойство системы оптимальности, с помощью которо-
го ниже мы выведем достаточные условия на данные, обеспечивающие единствен-
ность и устойчивость решений ряда конкретных экстремальных задач. Сформули-
руем его в виде теоремы.
Теорема 3.
Пусть в дополнение к условиям
(
i
)
,
(
ii
)
K
1
⊂
Z
,
K
2
⊂
L
2
(Ω)
и
X
ad
⊂
L
2
(Γ
N
)
– ограниченные множества, и пусть пары
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
252
(
T
1
, u
1
)
∈
X
×
K
и
(
T
2
, u
2
)
∈
X
×
K
являются решениями соответственно задач
(7) при
χ
1
∈
X
ad
и задачи
˜
J
(
T, u
) =
µ
0
2
˜
I
(
T
) +
µ
1
2
k
u
k
2
1
+
µ
2
2
k
f
k
2
Ω
→
inf
, F
(
T, u,
˜
χ
) = 0
,
(
T, u
)
∈
X
×
K
при
˜
χ
=
χ
2
∈
X
ad
. Через
θ
i
∈
X
обозначим множители Лагранжа, отвечающие
решениям
(
T
i
, u
i
, f
i
)
, и пусть функционалы
I
и
˜
I
непрерывно дифференцируемы
относительно состояния
T
. Тогда для разностей
T
,
u
,
f
,
θ
и
χ
, определенных
формулами
T
=
T
1
−
T
2
,
u
=
u
1
−
u
2
, f
=
f
1
−
f
2
, θ
=
θ
1
−
θ
2
, χ
=
χ
1
−
χ
2
,
(11)
выполняется неравенство
(
u
· ∇
T, θ
1
+
θ
2
) + (
µ
0
/
2)
h
I
0
T
(
T
1
)
−
˜
I
0
T
(
T
2
)
, T
i
6
−
(
χ, θ
)
Γ
N
−
µ
1
k
u
k
2
1
+
µ
2
k
f
k
2
Ω
(12)
и справедлива оценка
k
T
k
1
6
C
0
(
γ
1
k
u
k
1
k
T
2
k
1
+
k
f
k
+
k
χ
k
Γ
N
)
6
C
0
(
γ
1
M
T
k
u
k
1
+
k
f
k
+
k
χ
k
Γ
N
)
.
(13)
3.
Единственность и устойчивость решений
экстремальных задач
Исследуем единственность и устойчивость решений следующей экстремальной
задачи, отвечающей функционалу качества
I
1
(
T
) =
k
T
−
T
d
k
2
Q
:
J
(
T, u
) =
µ
0
2
I
1
(
T
) +
µ
1
2
k
u
k
2
1
+
µ
2
2
k
f
k
2
Ω
→
inf
, F
(
T, u, χ
) = 0
,
(
T, u
)
∈
X
×
K.
(14)
Обозначим через
(
T
1
, u
1
) = (
T
1
,
u
1
, f
1
)
решение задачи (14), отвечающее заданным
функциям
T
d
=
T
(1)
d
∈
L
2
(
Q
)
,
χ
=
χ
1
∈
X
ad
. Через
(
T
2
, u
2
) = (
T
2
,
u
2
, f
2
)
обозначим
решение задачи (14), отвечающее возмущенным функциям
˜
T
d
=
T
(2)
d
∈
L
2
(
Q
)
и
˜
χ
=
χ
2
∈
X
ad
. Полагая
T
d
=
T
(1)
d
−
T
(2)
d
, имеем, что
h
I
0
iT
(
T
i
)
, τ
i
= 2(
T
i
−
T
(
i
)
d
, τ
)
Q
,
h
I
0
1
T
(
T
1
)
−
˜
I
0
1
T
(
T
2
)
, T
i
= 2(
k
T
k
2
Q
−
(
T
d
, T
)
Q
)
, i
= 1
,
2
.
(15)
В силу (15) тождество (8) для
θ
i
∈
X
и неравенство (12) для разностей
T
,
u
,
f
,
χ
,
θ
, введенных в (11), принимают вид
λ
(
∇
τ,
∇
θ
i
) + (
u
i
· ∇
τ, θ
i
) =
−
µ
0
(
T
i
−
T
(
i
)
d
, τ
)
Q
∀
τ
∈
X, i
= 1
,
2
,
(16)
(
u
· ∇
T, θ
1
+
θ
2
) +
µ
0
(
k
T
k
2
Q
−
(
T
d
, T
)
Q
)
6
−
(
χ, θ
)
Γ
N
−
µ
1
k
u
k
2
1
−
µ
2
k
f
k
2
Ω
.
(17)
Задача (16) эквивалентна следующему уравнению для
θ
i
:
A
∗
u
i
θ
i
=
µ
0
f
∗
i
∈
X
∗
,
где
h
f
∗
i
, τ
i
=
−
(
T
i
−
T
(
i
)
d
, τ
)
Q
, i
= 1
,
2
.
Здесь
A
∗
u
i
– оператор, сопряженный к опера-
тору
A
u
i
, введеному в разд. 1. Используя неравенство Коши-Буняковского, име-
ем
|h
f
∗
i
, τ
i|
=
|
(
T
i
−
T
(
i
)
d
, τ
)
Q
|
6
M
0
T
k
τ
k
1
∀
τ
∈
X,
где
M
0
T
=
M
T
+
max(
k
T
(1)
d
k
Q
,
k
T
(2)
d
k
Q
)
.
Из результатов разд. 1 тогда выводим, что
k
θ
i
k
1
6
C
0
µ
0
M
0
T
, i
= 1
,
2
, C
0
≡
(
δ
1
λ
0
)
−
1
,
|
(
χ, θ
)
Γ
N
|
6
2
γ
2
C
0
µ
0
M
0
T
.
(18)
Используя (13), (18) и неравенство Юнга, имеем
|
(
u
· ∇
T, θ
1
+
θ
2
)
|
6
γ
1
k
u
k
1
k
T
k
1
k
θ
1
+
θ
2
k
1
6
2
γ
1
k
u
k
1
C
0
(
γ
1
M
T
k
u
k
1
+
k
f
k
+
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
253
+
γ
2
k
χ
k
Γ
N
)
C
0
µ
0
M
0
T
6
µ
0
C
0
2
M
0
T
M
−
1
T
(4
γ
2
1
M
2
T
k
u
k
2
1
+
k
f
k
2
+
γ
2
2
k
χ
k
2
Γ
N
)
.
(19)
Предположим, что выполняются условия
µ
1
(1
−
)
>
4
µ
0
γ
2
1
C
2
0
M
0
T
M
T
, µ
2
(1
−
)
> µ
0
C
2
0
M
0
T
M
−
1
T
,
(20)
где
>
0
– произвольное сколь угодно малое число. Учитывая (20), из (19) выводим
|
(
u
· ∇
T, θ
1
+
θ
2
)
|
6
µ
1
(1
−
)
k
u
k
2
1
+
µ
2
(1
−
)
k
f
k
2
Ω
+
µ
0
C
2
0
γ
2
2
M
0
T
M
−
1
T
k
χ
k
2
Γ
N
.
(21)
Используя (21), из неравенства (17) получаем, что
µ
0
(
k
T
k
2
Q
−
(
T
d
, T
)
Q
)
6
−
(
u
· ∇
T, θ
1
+
θ
2
)
−
(
χ, θ
)
Γ
N
−
µ
1
k
u
k
2
1
−
µ
2
k
f
k
2
Ω
6
−
µ
1
k
u
k
2
1
−
µ
2
k
f
k
2
Ω
+ [
ϕ
(
k
χ
k
)
Γ
N
]
2
.
(22)
Здесь непрерывная функция
ϕ
: [0
,
∞
)
→
[0
,
∞
)
определяется формулой
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
) = (
a
k
χ
k
Γ
N
+
b
k
χ
k
2
Γ
N
)
1
/
2
, a
= 2
C
0
γ
2
M
0
T
, b
=
C
2
0
γ
2
2
M
0
T
M
−
1
T
.
(23)
Из (22) следует, что
µ
0
k
T
k
2
Q
6
µ
0
k
T
k
Q
k
T
d
k
Q
−
µ
1
k
u
k
2
1
−
µ
2
k
f
k
2
Ω
+ [
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)]
2
.
(24)
Отсуда выводим неравенство
k
T
k
2
Q
6
k
T
k
Q
k
T
d
k
Q
+ [
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)]
2
относительно
k
T
k
Q
.
Решив его, приходим к оценке
k
T
k
Q
6
k
T
d
k
Q
+
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)
,
эквивалентной следующей
оценке для разности
T
1
−
T
2
:
k
T
1
−
T
2
k
Q
6
k
T
(1)
d
−
T
(2)
d
k
Q
+
ϕ
(
k
χ
1
−
χ
2
k
Γ
N
)
.
(25)
Используя (25), и неравенство
k
T
k
Q
k
T
d
k
Q
6
k
T
k
2
Q
+ (1
/
4)
k
T
d
k
2
Q
,
вытекающее из
неравенства Юнга, из (24) выводим, что
µ
1
k
u
k
2
1
+
µ
2
k
f
k
2
Ω
6
−
µ
0
k
T
k
2
Q
+
µ
0
k
T
k
Q
k
T
d
k
Q
+ [
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)]
2
6
(
µ
0
/
4)
k
T
d
k
2
Q
+
µ
0
[
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)]
2
6
µ
0
[(1
/
2)
k
T
d
k
Q
+
ϕ
(
k
χ
k
Γ
N
)]
2
.
(26)
Из (26) вытекают следующие оценки:
k
u
1
−
u
2
k
1
6
p
µ
0
/µ
1
∆
,
k
f
1
−
f
2
k
Ω
6
p
µ
0
/µ
2
∆
,
(27)
k
T
1
−
T
2
k
1
6
C
0
(
γ
1
M
T
p
µ
0
/µ
1
+
p
µ
0
/µ
2
)∆ +
C
0
k
χ
1
−
χ
2
k
Γ
N
.
(28)
Здесь величина
∆
определяется формулой
∆ = (1
/
2)
k
T
(1)
d
−
T
(2)
d
k
Q
+
ϕ
(
k
χ
1
−
χ
2
k
Γ
N
)
.
(29)
Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 4.
Пусть при
выполнении условий (i), (ii) и (j)
K
1
, K
2
и
X
ad
⊂
H
1
/
2
(Γ
N
)
– ограниченные множе-
ства и пусть четверка
(
T
i
,
u
i
, f
i
)
∈
H
1
(Ω)
×
K
1
×
K
2
является решением задачи
(14), отвечающим заданным функциям
T
(
i
)
d
∈
L
2
(
Q
)
и
χ
i
∈
X
ad
, где
Q
⊂
Ω
– произ-
вольное открытое множество. Предположим, что
µ
0
>
0
и выполняются условия
(20). Тогда справедливы оценки (25) и (27), (28), где
∆
определяется формулой (29),
в которой функция
ϕ
дается формулой (23).
Работа выполнена при частичной фи-
нансовой поддержке грантов ФЦП (N14.А1821.0353) и РФФИ (N13-01-00313).
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
254
Список литературы
1.
Г.И. Марчук,
Математическое моделирование в проблеме окружающей среды, М.:
Наука., 1982, 319.
2.
G.V. Alekseev, D.A. Tereshko, On solvability of inverse extremal problems for stationary
equations of viscous heat conducting fluid, Journal of Inverse and III-Posed Problems, 6
(1998), 521–562.
3.
Г.В. Алексеев, И.С. Вахитов, О.В. Соболева, Оценки устойчивости в задачах иден-
тификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции, Журнал вычислительной
математики и математической физики, 52 (2012), 1–15.
4.
Г.В.Алексеев, М.А. Шепелов,
Об устойчивости решений коэффициентных обрат-
ных экстремальных задач для стационарного уравнения конвекции-диффузии, Си-
бирский журнал индустриальной математики, 16 (2012), 4, 4-16.
5.
V.I. Agoshkov, F.P. Minuk, A.S. Rusakov, V.B. Zalesny,
Study and solution of
identification problems for nonstationary 2D- and 3D-convection-diffusion equation, Russ.
J. Numer. Anal. Math. Modelling. 20, 1 (2005), 19–43.
6.
S.G. Pyatkov,
On some classes of inverse problems for parabolic equations,
J. Inv.
III-Posed Problems, 18. 8 (2011), 917-934.
7.
Г.В.Алексеев , Д.А. Терешко,
Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жид-
кости, Владивосток: Дальнаука, (2008), 365.
8.
А.Д. Иоффе , В.М. Тихомиров,
Теория экстремальных задач, М.: Наука, 1974.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.