ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2123
Скачиваний: 4
240
Теорема 1.
Пусть
n
>
200
,
4
n
6
p
6
0
.
5
.
(3)
Тогда
∆
n
(
p
)
6
β
3
(
p
)
√
n
E
(
p
) +
R
0
(
p, n
)
,
(4)
где
R
0
(
p, n
) =
√
n
β
3
(
p
)
3
X
j
=1
K
j
(
p, n
)
,
причем для каждого
0
< p
6
0
.
5
последовательность
R
0
(
p, n
)
, убывая, ведет себя
как
O
1
√
n
. Кроме того, при всех
n
и
p
, удовлетворяющих условию
,
|
R
0
(
p, n
)
|
<
0
.
4215
−
C
E
<
0
.
012
.
В настоящей работе мы получаем более точный результат, чем (4), который
будет записывается в виде равенств для
δ
n
(
p, x
)
. Приступим к формулировке утвер-
ждений работы. Вместо неравенства сглаживания, полученного в [1], мы доказыва-
ем более точное равенство сглаживания. Пусть
P
(
x
)
– некоторая функция распре-
деления. Для любой измеримой функции
f
(
x
)
введем обозначение
(
P
∗
f
)(
x
) =
∞
Z
−∞
f
(
x
−
y
)
dP
(
y
)
.
Лемма 1.
Пусть
G
(
x
)
– функция дискретного распределения,
h >
0
– намень-
шее расстояние между точками разрыва,
P
(
x
)
– равномерное распределение на
[
−
h/
2
, h/
2]
. Обозначим
δ
(
x
) =
G
(
x
)
−
G
0
(
x
)
, где
G
0
(
x
)
– некоторая непрерывная
функция распределения. Если
x
0
– точка разрыва функции
G
, то справедливы сле-
дующие равенства
δ
(
x
0
+) = (
P
∗
δ
)(
x
0
+
h/
2) +
1
h
x
0
+
h
Z
x
0
G
0
(
x
)
−
G
0
(
x
0
)
dx,
δ
(
x
0
−
) = (
P
∗
δ
)(
x
0
−
h/
2) +
1
h
x
0
Z
x
0
−
h
G
0
(
x
)
−
G
0
(
x
0
)
dx.
Если
x
0
– точка непрерывности функции
G
, то
δ
(
x
0
+)
6
(
P
∗
δ
)(
x
0
+
h/
2) +
1
h
x
0
+
h
Z
x
0
G
0
(
x
)
−
G
0
(
x
0
)
dx,
δ
(
x
0
−
)
>
(
P
∗
δ
)(
x
0
−
h/
2) +
1
h
x
0
Z
x
0
−
h
G
0
(
x
)
−
G
0
(
x
0
)
dx.
Замечание 1.
Утверждение леммы не зависит от того, с какой стороны непрерывна
функция распределения, слева или справа.
Лемма 2.
Пусть
G
(
x
)
и
G
0
(
x
)
– функция распределения из леммы 1,
δ
(
x
) =
G
(
x
)
−
G
0
(
x
)
. Тогда существует точка разрыва
x
0
функции
G
(
x
)
, в которой достигает-
ся
sup
x
|
δ
(
x
)
|
в следующем смысле: если
G
непрерывна слева, то или
sup
x
|
δ
(
x
)
|
=
δ
(
x
0
+)
или
sup
x
|
δ
(
x
)
|
=
−
δ
(
x
0
)
, а если
G
непрерывна справа, то или
sup
x
|
δ
(
x
)
|
=
δ
(
x
0
)
или
sup
x
|
δ
(
x
)
|
=
−
δ
(
x
0
−
)
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
241
Обозначим
F
(
x
)
и
f
(
t
)
– функция распределения и характеристическая функ-
ция случайной величины
X
=
Z
−
p
√
pq
соответственно. Тогда разность
δ
n
(
p, x
)
, опреде-
ленную в (1), можно записать в виде
δ
n
(
p, x
) =
F
∗
n
(
x
√
n
)
−
Φ(
x
)
,
где
F
∗
n
–
n
-кратная свертка функции распределения
F
. Для определенности будем
считать, что
F
непрерывна слева. В силу леммы 2 существует точка разрыва
ξ
0
функции
F
∗
n
(
x
√
n
)
, в которой достигается
sup
x
|
δ
n
(
p, x
)
|
, причем возможны только
два случая:
∆
n
(
p
) =
δ
n
(
p, ξ
0
+)
или
∆
n
(
p
) =
−
δ
n
(
p, ξ
0
)
. Точки разрыва функции
F
∗
n
(
x
√
n
)
имеют вид
k
−
np
√
npq
. Поэтому расстояние между ними равно
h
n
=
1
√
npq
.
Обозначим
P
n
(
x
)
– равномерное распределение на
[
−
h
n
/
2
, h
n
/
2]
,
(
P
n
∗
δ
n
)(
x
) = (
P
n
∗
δ
n
(
p,
·
))(
x
) =
∞
Z
−∞
δ
n
(
p, x
−
y
)
dP
n
(
y
)
,
B
+
(
p, n, x
) =
1
h
n
x
+
h
n
Z
x
Φ(
y
)
−
Φ(
x
)
dy, B
−
(
p, n, x
) =
1
h
n
x
Z
x
−
h
n
Φ(
y
)
−
Φ(
x
)
dy,
ϕ
(
x
) = Φ
0
(
x
)
.
Лемма 3.
Если
x
0
– точка разрыва функции
F
∗
n
(
x
√
n
)
, то справедливы следующие
равенства
δ
n
(
p, x
0
+) = (
P
n
∗
δ
n
)(
x
0
+
h
n
/
2) +
B
+
(
p, n, x
0
)
,
δ
n
(
p, x
0
) = (
P
n
∗
δ
n
)(
x
0
−
h
n
/
2) +
B
−
(
p, n, x
0
)
,
где
0
< B
+
(
p, n, x
0
)
6
h
n
2
max
x
0
6
y
6
x
0
+
h
n
ϕ
(
y
)
,
−
h
n
2
max
x
0
−
h
n
6
y
6
x
0
ϕ
(
y
)
6
B
−
(
p, n, x
0
)
<
0
.
Кроме того, для любого
x
∈
R
B
+
(
p, n, x
) =
h
n
2
ϕ
(
x
) +
R
+
2
(
p, n, x
)
,
B
−
(
p, n, x
) =
−
h
n
2
ϕ
(
x
) +
R
−
2
(
p, n, x
)
,
где
R
+
2
(
p, n, x
) =
1
h
n
x
+
h
n
Z
x
ϕ
0
x
+
λ
(
y
−
x
)
(
y
−
x
)
2
2
dy,
0
6
λ
6
1
,
R
−
2
(
p, n, x
) =
1
h
n
x
Z
x
−
h
n
ϕ
0
x
+
λ
(
y
−
x
)
(
y
−
x
)
2
2
dy,
0
6
λ
6
1
,
и
|
R
+
2
(
p, n, x
)
|
6
h
2
n
6
max
x
6
y
6
x
+
h
n
ϕ
0
(
y
)
,
|
R
−
2
(
p, n, x
)
|
6
h
2
n
6
max
x
−
h
n
6
y
6
x
ϕ
0
(
y
)
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
242
Перейдем к формулировке более точного результата, чем теорема 1. Обозначим
α
3
(
p
) =
E
X
3
≡
1
−
2
p
√
pq
,
τ
n
=
6
√
n
β
3
(
p
)
1
/
3
,
c
n
=
r
n
n
−
1
,
(5)
A
(
p, n, x
) =
α
3
(
p
)
3! 2
π
√
n
Z
|
u
|
6
τ
n
/c
n
u
2
e
−
u
2
/
2
sin
y
y
y
=
uhncn
2
cos
uxc
n
du,
A
+
(
p, n, x
) =
A
(
p, n, x
+
h
n
/
2)
,
A
−
(
p, n, x
) =
A
(
p, n, x
−
h
n
/
2)
.
Лемма 4.
Если
x
0
– точка разрыва функции
F
∗
n
(
x
√
n
)
, то справедливы следующие
равенства
δ
n
(
p, x
0
+) =
A
+
(
p, n, x
0
) +
B
+
(
p, n, x
0
) +
R
+
(
p, n, x
0
)
,
δ
n
(
p, x
0
) =
A
−
(
p, n, x
0
) +
B
−
(
p, n, x
0
) +
R
−
(
p, n, x
0
)
,
причем
sup
x
∈
R
|
R
±
(
p, n, x
)
|
6
3
X
i
=1
K
i
(
p, n
)
,
если выполнено условие
.
Далее, ради краткости изложения, мы ограничимся рассмотрением только функ-
ции
δ
n
(
p, x
0
+)
.
Замечание 2.
Нетрудно убедиться, что
∂
∂x
B
+
(
p, n, x
) =
1
h
n
h
n
Z
0
h
ϕ
(
u
+
x
)
−
ϕ
(
x
)
i
du
(
<
0
,
если
x
>
0
,
>
0
,
если
x
6
−
h
n
.
Поскольку функция
∂
∂x
B
+
(
p, n, x
)
непрерывна по аргументу
x
, то найдется такая
точка
x
,
−
h
n
< x <
0
, что
∂
∂x
B
+
(
p, n, x
)
x
=
x
= 0
. Таким образом,
max
x
∈
R
B
+
(
p, n, x
) =
B
+
(
p, n, x
)
для некоторой точки
x
из интервала
(
−
h
n
,
0)
.
Обозначим
E
1
(
p
) =
1
−
2
p
6(
p
2
+
q
2
)
√
2
π
,
E
2
(
p
) =
1
2
√
2
π
(
p
2
+
q
2
)
.
(6)
Очевидно,
E
1
(
p
) +
E
2
(
p
) =
E
(
p
)
.
Графики
E
1
(
p
)
,
E
2
(
p
)
и
E
(
p
)
при
0
6
p
6
0
.
5
см. на рис. 1.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
243
Рис. 1.
1 – график
E
1
(
p
)
, 2 – график
E
2
(
p
)
, 3 – график
E
(
p
)
Как оказалось, функция
E
1
(
p
)
связана с первым членом асимптотического раз-
ложения распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных
величин (см. (7)–(10)), а функция
E
2
(
p
)
– со сглаживанием (см. (11)–(13)).
Обозначим
V
1
(
p, n, x
) =
min
1
,
2
τ
n
c
2
n
max
n
1
|
x
|
,
1
|
x
+
h
n
|
o
,
если
τ
n
/c
n
>
1
,
min
1
,
8
c
n
√
e
max
n
1
|
x
|
,
1
|
x
+
h
n
|
o
,
если
τ
n
/c
n
<
1
.
V
2
(
p, n, x
) =
√
2
π
max
x
6
y/c
n
6
x
+
h
n
ϕ
00
(
y
)
.
Следующее утверждение уточняет лемму 4, показывая, что функция
A
+
(
p, n, x
)
с ростом
|
x
|
ведет себя как затухающее колебание.
Лемма 5.
Для каждого
x
∈
R
|
A
+
(
p, n, x
)
|
6
β
3
(
p
)
E
1
(
p
)
√
n
min
1
, V
2
(
p, n, x
) +
4
p
(
n
−
1)
pq
√
2
π
e
−
τ
2
n
/
(2
c
2
n
)
V
1
(
p, n, x
)
.
Пусть
X, X
1
, X
2
, . . .
– независимые одинаково распределеннные случайные
величины,
E
X
= 0
,
E
X
2
= 1
. Известно, что первый член асимптотического раз-
ложения для
P
1
√
n
n
P
j
=1
X
j
< x
равен
−
E
X
3
ϕ
00
(
x
)
6
√
n
. Следовательно, в случае, когда
X
– нормированная бернуллиева случайная величина, то первый член указанного
разложения, обозначим его
Q
(
p, n, x
)
, имеет вид
Q
(
p, n, x
) =
−
α
3
(
p
)
ϕ
00
(
x
)
3!
√
n
=
−
β
3
(
p
)
ϕ
00
(
x
)
√
n
E
1
(
p
)
√
2
π.
(7)
Последнее равенство в (7) следует из (2), (5) и (6). Основным утверждением работы
является
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
244
Теорема 2.
1. Если
x
0
– точка разрыва функции
F
∗
n
(
x
√
n
)
, то для любого
n
>
1
δ
n
(
p, x
0
+) =
A
+
(
p, n, x
0
) +
B
+
(
p, n, x
0
) +
R
+
(
p, n, x
0
)
,
где при условии
функция
R
+
(
p, n, x
0
)
удовлетворяет неравенству
sup
x
∈
R
R
+
(
p, n, x
)
6
3
X
j
=1
K
j
(
p, n
)
,
свойства правой части которого описаны в теореме 1. 2. Для функции
A
+
(
p, n, x
)
справедливо представление
A
+
(
p, n, x
) =
−
β
3
(
p
)
√
2
π
√
n
E
1
(
p
)
ϕ
00
(
x
) +
e
R
3
(
p, n, x
) +
R
4
(
p, n, x
)
,
(8)
где
|
e
R
3
(
p, n, x
)
|
6
4
β
3
(
p
)
√
2
πn
E
1
(
p
)
p
(
n
−
1)
pq e
−
τ
2
n
/
(2
c
2
n
)
V
1
(
p, n, x
)
,
(9)
|
R
4
(
p, n, x
)
|
6
β
3
(
p
)
√
2
π
√
n
E
1
(
p
)
×
h
n
c
n
2
max
x
6
v/c
n
6
x
+
h
n
ϕ
(3)
(
v
)
+
|
x
|
(
c
n
−
1)
max
|
x
|
6
|
v
|
6
|
x
|
c
n
ϕ
(3)
(
v
)
.
(10)
3. Для функции
B
+
(
p, n, x
)
справедливы соотношения
0
< B
+
(
p, n, x
0
)
6
h
n
2
max
x
0
6
y
6
x
0
+
h
n
ϕ
(
y
) =
β
3
(
p
)
√
2
π
√
n
E
2
(
p
)
max
x
0
6
y
6
x
0
+
h
n
ϕ
(
y
)
,
(11)
B
+
(
p, n, x
) =
h
n
2
ϕ
(
x
) +
R
+
2
(
p, n, x
) =
β
3
(
p
)
√
2
π
√
n
E
2
(
p
)
ϕ
(
x
) +
R
+
2
(
p, n, x
)
,
(12)
где
|
R
+
2
(
p, n, x
)
|
6
h
2
n
6
max
x
6
y
6
x
+
h
n
ϕ
0
(
y
)
=
β
2
3
(
p
)4
π
3
n
E
2
2
(
p
)
max
x
6
y
6
x
+
h
n
ϕ
0
(
y
)
.
(13)
4. Функции
A
+
(
p, n, x
)
и
B
+
(
p, n, x
)
удовлетворяют неравенству
|
A
+
(
p, n, x
0
) +
B
+
(
p, n, x
0
)
|
6
β
3
(
p
)
√
n
E
(
p
)
.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Межинтеграционной
программы СО РАН (проект 56), а также ДВО РАН (проекты
12-I-ОМН-01, 12-II-СО-01М-002).
Список литературы
1.
Нагаев С.В., Чеботарев В.И.
Об оценке близости биномиального распределения к
нормальному. – Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 56, в. 2, с. 248-278.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.