Файл: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf.pdf

О

ЦЕНКА

ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ

СРЕД

С

ДЕФЕКТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

85

для

случая

объемного

сжатия

значение

коэффициента

структурного

ослабления

равное

 0,369-0,428 [202]. 

В

США

и

ряде

других

стран

широко

применяется

методика

оценки

трещи

-

новатости

горных

пород

по

показателю

качества

породы

 RQD (Rock Qu

а

lity 

Designation), 

который

определяется

как

произведение

величины

выхода

керна

, 

выраженного

в

процентах

 (

Z

), 

на

отношение

суммарной

длины

ненарушенных

кусков

керна

, 

каждый

из

которых

имеет

длину

не

менее

 10 

см

 (

∑

i

l

), 

ко

всей

длине

исследуемого

интервала

 (

L

), 

т

.

е

. RQD=

(

)

∑

L

l

Z

i

/

. 

Если

, 

например

, 

из

исследуемой

скважины

с

интервалом

 9 

м

извлечен

керн

общей

длиной

 8 

м

, 

а

суммарная

длина

ненарушенных

кусков

керна

  (

каждый

длиной

 10 

см

и

более

) 

составляет

 7 

м

, 

то

 RQD = 78%. 

На

основе

показателя

ка

-

чества

 RQD 

составлены

графики

, 

таблицы

, 

определяющие

характер

условий

проведения

выработок

, 

тип

и

стоимость

крепления

 [202]. 

В

отличие

от

показателя

 RQD, 

методы

Дира

и

Хансаги

 [203, 204], 

незначи

-

тельно

отличаясь

друг

от

друга

, 

позволяют

определять

коэффициент

структур

-

ного

ослабления

, 

учитывая

при

этом

число

образцов

, 

диаметр

и

длину

керна

. 

Заметим

, 

что

и

метод

 RQD , 

и

метод

Хансаги

и

Дира

не

имеют

под

собой

ника

-

кого

аналитического

обоснования

. 

По

сути

дела

, 

это

способ

получения

некото

-

рой

величины

меньше

единицы

, 

которая

годится

только

для

качественной

оце

-

нки

горных

пород

по

степени

их

нарушенности

. 

Коэффициент

структурного

ослабления

является

очень

важной

характери

-

стикой

массива

. 

На

стадии

проектирования

именно

с

этой

величиной

связан

прогноз

возможной

области

предельного

состояния

пород

в

окрестности

выра

-

ботки

, 

а

, 

следовательно

, 

и

нагрузки

на

крепь

, 

поскольку

, 

как

было

показано

выше

, 

именно

предел

прочности

на

сжатие

фигурирует

в

качестве

основной

физической

константы

в

критериальных

соотношениях

наиболее

распростра

-

ненных

феноменологических

теорий

прочности

. 

Поэтому

величина

коэффици

-

ента

структурного

ослабления

должна

быть

достаточно

обоснована

, 

включая

в

себя

как

объективные

предпосылки

формирования

физической

константы

, 

так

и

субъективные

, 

присущие

конкретным

горно

-

геологическим

условиям

. 

Р

АЗДЕЛ

4 

86

4.5. 

Аналитические

исследования

масштабного

эффекта

Аналитическое

описание

отличия

прочности

системы

  (

агрегата

) 

от

проч

-

ности

его

структурных

элементов

дано

в

работах

, 

основанных

на

статистиче

-

ских

теориях

прочности

. 

Так

, 

опираясь

на

асимптотическое

выражение

В

. 

Вейбулла

для

плотности

распределения

наименьших

значений

прочности

(

прочности

дефектов

) 

в

некотором

объеме

, 

В

.

В

. 

Болотин

[

94

]

получил

следую

-

щую

формулу

для

математического

ожидания

прочности

тела

, 

имеющего

за

-

данный

объем

V

 : 

dR

V

R

g

R

∫

∞

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

0

0

)

(

exp

.   

(4.1) 

Здесь

функция

)

(

R

g

определяет

некоторую

область

, 

в

которой

функция

напряжений

)

,

,

(

z

y

x

R

, 

определенная

во

всей

рассматриваемой

области

про

-

странства

, 

превышает

минимальную

прочность

дефекта

0

s

: 

(

)

(

)

∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

0

,

,

0

,

,

)

(

f

z

y

x

R

c

dV

z

y

x

R

R

g

ϕ

α

σ

σ

,  (4.2) 

где

0

σ

=aR

c 

— 

минимальная

прочность

дефекта

; 

( )

(

)

α

σ

/

1

1

+

=

Г

R

b

c

c

 – 

параметр

, 

имеющий

размерность

напряжений

; 

R

c

 – 

средний

предел

прочности

эталонного

образца

; 

a, b, 

α

 – 

коэффициенты

статистического

представления

, 

определяемые

на

основании

испытания

образцов

различного

объема

, 

( )

α

Г

 – 

гамма

-

функция

. 

Интеграл

 (4.2) 

представляет

собой

некоторый

приведенный

объем

V*.

По

-

сле

ряда

преобразований

выражение

для

математического

ожидания

прочности

тела

принимает

вид

: 

α

1

0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∗

−

−

V

V

R

b

R

c

,    

(4.3) 

где

V

0

 – 

эталонный

объем

испытываемого

образца

. 

Величина

α

1

0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

V

V

b

представляет

собой

, 

по

сути

, 

коэффициент

структурно

-

О

ЦЕНКА

ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ

СРЕД

С

ДЕФЕКТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

87

го

ослабления

. 

Применительно

к

горному

массиву

сложно

трактовать

понятие

приведенного

объема

. 

Массив

изначально

напряжен

, 

т

.

е

., 

если

положить

проч

-

ность

дефекта

равной

нулю

, 

то

в

любой

точке

тела

 (

массива

) 

напряжения

будут

превосходить

прочность

дефекта

, 

т

.

е

. 

V*

будет

стремиться

к

бесконечности

. 

Следовательно

, 

прочность

всего

тела

, 

т

.

е

. 

массива

, 

будет

стремиться

к

нулю

. 

Этот

результат

абсурден

, 

и

, 

очевидно

, 

не

должен

рассматриваться

. 

Но

если

да

-

же

положить

прочность

дефектного

элемента

равной

некоторой

константе

, 

от

-

личной

от

нуля

, 

область

, 

где

действующие

напряжения

превосходят

минималь

-

ную

прочностную

характеристику

, 

согласно

известным

решениям

[

205-208

]

бу

-

дет

сопоставима

с

размерами

обнажения

, 

но

во

много

раз

превышать

величину

эталонного

образца

. 

Отношение

*

0

V

V

опять

таки

будет

близким

к

нулю

. 

Уравнения

, 

полученные

В

.

В

. 

Болотиным

, 

хорошо

описывают

масштабный

эффект

для

тел

ограниченных

объемов

и

широко

используются

в

машинострое

-

нии

. 

Однако

автоматическое

перенесение

их

в

геомеханику

не

дает

желаемых

результатов

. 

Большой

вклад

в

развитие

статистических

теорий

прочности

внесли

труды

Л

.

Г

. 

Седракяна

[

90

]

, 

следуя

которым

породную

среду

можно

рассматривать

как

конструкцию

, 

состоящую

из

отдельных

параллельно

работающих

элементов

различной

прочности

. 

При

разрушении

одного

из

них

нагрузка

перераспределя

-

ется

между

уцелевшими

элементами

. 

Пусть

на

конструкцию

действует

нагрузка

м

nR

Р

=

.   

 (4.4) 

Элементы

с

пределом

прочности

, 

меньшим

м

R

, 

разрушаются

. 

Число

этих

элементов

R

n

. 

Вероятность

встречи

такого

элемента

в

конструкции

по

класси

-

ческому

определению

вероятности

равна

: 

( )

n

n

R

Р

R

=

.   

(4.5) 

При

известной

функции

распределения

предела

прочности

элементов

( )

R

F

вероятность

того

, 

что

элемент

имеет

прочность

, 

меньшую

м

R

, 

равна

Р

АЗДЕЛ 

4 

88 





 

м

м

R

F

R

R

P





. 

(4.6) 

Тогда 

 

м

R

R

nF

n



.  

(4.7) 

Число  неразрушенных  элементов  составит 

 





м

R

F

n



1

.  Значение  напря-

жений в  уцелевших элементах после перераспределения нагрузки между ними 

возрастает и станет равным 

 





м

м

R

F

n

nR



1

/

. 

(4.8) 

Теперь  разрушатся  элементы,  предел  прочности  которых  хотя  и  больше 

м

R

, но меньше последнего выражения. После разрушения этой группы элемен-

тов нагрузка передается на еще меньшее количество элементов. Процесс посте-

пенного  разрушения  элементов  прекратится,  когда  напряжения  в  уцелевших 

элементах  станут  меньше  предела  их  прочности.  Значение  напряжений  в  уце-

левшем элементе обозначим 

R

. Число разрушенных элементов, соответствую-

щее устойчивому состоянию конструкции, равно 

 

R

nF

. Число уцелевших эле-

ментов определится выражением 

 





R

F

n



1

. С другой стороны 

 





 





R

F

n

nR

R

F

n

P

R

м









1

/

1

/

.   

(4.9) 

Отсюда  

 





R

F

R

R

м





1

(4.10) 

или  



















R

м

dR

R

P

R

R

0

)

(

1

,   

(4.11) 

где 

 

R

P

 – плотность распределения прочности элементов. 

Соотношение  (4.11)  дает  связь  между  средним  напряжением 

м

R

  и  мест-

ным  напряжением 

R

.  Значение  предела  прочности  конструкции  равно  макси-

мальному значению 

м

R

, определенному из (4.11). Таким образом, предел проч-

О

ЦЕНКА

ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ

СРЕД

С

ДЕФЕКТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

89

ности

породного

массива

в

варианте

Л

.

Г

. 

Седракяна

определится

выражением

{

}

))

(

1

(

max

R

F

R

R

м

−

=

.   

(4.12) 

Конкретный

вид

выражения

 (4.12) 

зависит

от

выбора

функции

распределе

-

ния

прочности

структурных

элементов

массива

, 

в

отношении

которой

могут

выдвигаться

различные

гипотезы

. 

Например

, 

авторы

[

116

]

, 

связывая

масштаб

-

ный

эффект

со

структурой

и

видом

напряженного

состояния

деформированного

твердого

тела

, 

рассмотрели

ряд

статистических

задач

, 

в

которых

функция

веро

-

ятности

разрушения

принимается

по

В

. 

Вейбуллу

[

215

]

. 

Разрушение

структур

-

ного

элемента

можно

рассматривать

как

 «

отказ

» 

системы

, 

связанный

с

выходом

из

строя

наиболее

слабого

звена

. 

Распределение

Вейбулла

получено

именно

как

распределение

крайних

значений

в

выборке

и

широко

используется

в

статисти

-

ческих

моделях

, 

связанных

с

надежностью

систем

, 

например

, 

как

распределе

-

ние

времени

безотказной

работы

системы

. 

Интегральная

функция

распределения

Вейбулла

имеет

вид

: 

)

)

/

(

exp(

1

)

(

)

(

0

0

ξ

σ

∫

−

−

=

=

R

R

dR

R

P

R

F

, (4.13) 

где

ξ

,

σ

0

– 

параметры

распределения

. 

Тогда

, 

средняя

прочность

системы

 (

массива

) 

в

соответствии

с

выражением

(4.12) 

равна

: 

{

}

ξ

σ

)

/

(

exp(

max

0

R

R

R

m

−

⋅

=

.   

Минимизируя

выражение

в

фигурных

скобках

, 

получим

: 

ξ

ξ

ξ

σ

/

1

0

)

/

1

exp(

−

−

=

m

R

. 

   (4.14) 

Выражение

 (4.14) 

определяет

прочность

пород

в

массиве

с

учетом

случай

-

но

распределенных

дефектов

. 

Используя

его

, 

можно

получить

коэффициент

структурного

ослабления

. 

Лабораторные

образцы

пород

можно

рассматривать

как

структурные

элементы

системы

. 

Их

средняя

прочность

в

соответствии

с