ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1685
Скачиваний: 2
Р
АЗДЕЛ
4
90
принятой
гипотезой
равна
математическому
ожиданию
случайной
величины
,
распределенной
по
закону
Вейбулла
.
Математическое
ожидание
и
дисперсия
для
распределения
Вейбулла
вы
-
ражаются
через
параметры
распределения
следующим
образом
[
212
]
:
( )
[
]
{
}
,
)
1
/
1
(
)
1
/
2
(
),
1
/
1
(
2
2
0
0
+
Γ
−
+
Γ
=
+
Γ
=
ξ
ξ
σ
ξ
σ
D
R
M
где
)
(
t
Γ
–
гамма
-
функция
[85]
Тогда
коэффициент
структурного
ослабления
равен
:
)
1
/
1
(
)
/
1
exp(
)
(
/
/
1
+
Γ
−
=
=
−
ξ
ξ
ξ
ξ
R
M
R
k
m
c
.
Полученное
выражение
определяет
коэффициент
структурного
ослабления
массива
только
в
зависимости
от
параметра
формы
ξ
распределения
Вейбулла
.
С
одной
стороны
,
простота
в
математическом
плане
является
достоинством
по
-
лученной
зависимости
,
но
с
другой
–
снижает
эффективность
величины
k
с
как
характеристики
объекта
:
степень
снижения
прочности
системы
по
отношению
к
прочности
ее
элементов
зависит
только
от
параметра
,
физическая
сущность
которого
не
очевидна
.
В
работе
А
.
Н
.
Шашенко
[
209
]
также
используется
подход
Л
.
Г
.
Седракяна
для
определения
средней
прочности
массива
.
Однако
в
отношении
распределе
-
ния
прочности
структурных
элементов
им
выдвинута
гипотеза
о
нормальном
законе
распределения
.
Интегральная
функция
нормального
распределения
имеет
вид
[
210
]
:
( )
(
)
(
)
dR
a
R
R
F
R
∫
∞
−
−
−
=
2
2
2
/
exp
2
1
σ
π
σ
,
где
σ
,
a
–
параметры
распределения
,
соответственно
равные
математическому
ожиданию
и
среднеквадратическому
отклонению
случайной
величины
.
О
ЦЕНКА
ПРОЧНОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕД
С
ДЕФЕКТНОЙ
СТРУКТУРОЙ
91
Путем
замены
переменной
эту
функцию
приводят
к
нормированному
виду
и
выражают
через
табулированные
в
справочниках
так
называемые
интегралы
вероятностей
[210].
Поскольку
в
данном
случае
идет
речь
о
величине
,
прини
-
мающей
только
положительные
значения
,
автор
счел
возможным
использовать
в
качестве
функции
распределения
интеграл
:
∫
′
−
−
=
σ
π
2
0
2
)
exp(
2
a
R
dt
t
t
erf
,
(4.15)
где
t
–
параметр
,
определяемый
выражением
:
σ
2
a
R
t
−
=
.
(4.16)
Продифференцировав
выражение
(4.11)
с
учетом
(4.15)
по
t
и
приравняв
его
к
нулю
,
получим
уравнение
0
)
*
exp(
)
1
*
2
(
*)
1
(
2
2
=
−
+
−
−
t
t
erft
η
π
,
(4.17)
где
t*
–
решение
уравнения
(4.17),
η
–
коэффициент
вариации
прочности
,
рав
-
ный
σ
/a.
Интеграл
вероятностей
(4.15)
табулирован
в
[211].
Решая
уравнение
(4.17)
методом
приближений
,
получим
зависимость
t*=f(
η
).
С
ошибкой
,
не
превы
-
шающей
8 %,
эта
кривая
может
быть
представлена
в
аналитическом
виде
)
25
,
0
exp(
5
,
0
*
5
,
0
η
η
−
−
=
−
t
.
(4.18)
При
t = t*
заменим
в
выражении
(4.16)
R
на
R
m
и
получим
2
σ
a
R
t
m
−
=
∗
.
(4.19)
Приравнивая
правые
части
уравнений
(4.18)
и
(4.19)
получим
выражение
для
определения
средней
прочности
массива
на
одноосное
сжатие
(
)
[
]
a
R
m
η
η
25
,
0
exp
5
,
0
1
−
−
=
.
(4.20)
Р
АЗДЕЛ
4
92
Полученное
выражение
для
средней
прочности
массива
использовалось
для
определения
коэффициента
структурного
ослабления
.
Поскольку
математическое
ожидание
нормально
распределенной
величи
-
ны
равно
параметру
а
,
формула
для
определения
коэффициента
структурного
ослабления
,
в
случае
принятия
гипотезы
о
нормальном
распределения
прочно
-
сти
структурных
элементов
,
имеет
вид
:
(
)
η
η
25
,
0
exp
5
,
0
1
−
−
=
=
a
R
k
M
c
.
(4.21)
Полученная
зависимость
связывает
коэффициент
структурного
ослабления
с
реальной
характеристикой
–
вариацией
значений
прочности
относительно
своего
среднего
.
Для
идеально
однородной
среды
η
=0
и
коэффициент
струк
-
турного
ослабления
равен
единице
.
По
мере
увеличения
вариации
данных
,
то
есть
с
ростом
неоднородности
среды
,
величина
k
с
уменьшается
.
Исследуем
подробнее
поведение
функции
(4.21).
Предел
функции
при
∞
→
η
,
найденный
по
правилу
Лопиталя
,
равен
единице
.
Это
значит
,
что
в
об
-
ласти
своего
определения
функция
(4.21)
должна
иметь
экстремум
.
Действи
-
тельно
,
исследование
первой
производной
показывает
,
что
при
η
=2
имеет
ме
-
сто
минимум
,
значение
которого
составляет
0,39.
То
есть
,
в
соответствии
с
формулой
(4.21),
коэффициент
структурного
ослабления
не
может
быть
ниже
значения
k
с
=0,39
даже
при
сколь
угодно
больших
значениях
относительной
ва
-
риации
прочности
.
Очевидно
,
что
этот
факт
не
соответствует
реальности
.
Выше
упоминалось
,
что
для
углевмещающих
пород
величина
коэффициента
струк
-
турного
ослабления
может
принимать
значения
0,2…0,6.
Значения
коэффици
-
ента
структурного
ослабления
,
получаемые
из
выражения
(4.21),
завышены
,
по
-
скольку
автором
искусственно
исключена
из
рассмотрения
вероятность
появ
-
ления
отрицательных
величин
путем
использования
функции
Лапласа
,
ограни
-
ченной
слева
,
в
то
время
как
график
плотности
распределения
вероятностей
в
соответствии
с
законом
Гаусса
простирается
и
в
отрицательную
область
,
что
должно
быть
учтено
при
интегрировании
.
Эта
ошибка
тем
больше
,
чем
выше
О
ЦЕНКА
ПРОЧНОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕД
С
ДЕФЕКТНОЙ
СТРУКТУРОЙ
93
неоднородность
рассматриваемого
объекта
,
т
.
е
.
чем
выше
значение
дисперсии
случайной
выборки
.
Завершая
обзор
работ
,
посвященных
количественной
оценке
масштабного
эффекта
в
горных
породах
,
следует
отметить
,
что
на
настоящий
момент
по
сути
дела
нет
общепринятой
методики
определения
коэффициента
структурного
ос
-
лабления
,
в
основе
которой
лежала
бы
адекватная
физическая
модель
,
учиты
-
вающая
основные
ослабляющие
микро
-
и
макродефекты
,
структуру
и
тектони
-
ческую
нарушенность
породных
массивов
,
а
также
особенности
их
нагружения
.
Р
АЗДЕЛ
5
94
5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
5.1.
Вероятностно
-
статистическая
модель
прочности
породного
масси
-
ва
Следуя
статистическим
теориям
прочности
[90, 170],
породный
массив
можно
представить
как
некоторый
агрегат
,
состоящий
из
структурных
элемен
-
тов
.
В
силу
неоднородности
породной
среды
прочность
структурных
элементов
является
случайной
величиной
и
подчиняется
тому
или
иному
закону
распреде
-
ления
вероятностей
с
плотностью
распреде
-
ления
)
(
R
f
(
рис
. 5.1).
Отличие
прочно
-
сти
массива
(
агрегата
)
R
m
(
рис
. 5.1)
от
матема
-
тического
ожидания
прочности
структурных
элементов
M(R)
оцени
-
вается
коэффициентом
структурного
ослабления
,
равным
)
(
R
М
R
k
m
c
=
.
(5.1)
Прочность
массива
должна
оцениваться
такой
величиной
R
m
,
чтобы
проч
-
ность
его
структурных
элементов
,
в
т
.
ч
.
лабораторных
образцов
,
с
заданной
на
-
дежностью
были
не
меньше
этого
значения
.
Вероятность
такого
события
опре
-
деляется
выражением
(
)
)
(
1
m
m
R
F
R
R
p
−
=
≥
,
(5.2)
Рис
.5.1.
Гипотетическое
распределение
прочности
структурных
элементов
породного
массива