ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1492
Скачиваний: 1
16
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
Теорема
3.
Пусть множества
E, F
⊂
R
n
измеримы
.
То
-
гда
:
1.
◦
(
Монотонность меры
)
0
6
µE
6
µF,
если
E
⊂
F.
(1)
2.
◦
(
Полуаддитивность меры
)
µ
(
E
∪
F
)
6
µE
+
µF.
(2)
3.
◦
(
Аддитивность меры
)
µ
(
E
∪
F
) =
µE
+
µF,
если
E
∩
F
=
∅
.
(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Измеримость
E
∪
F
установлена в
теореме
2, (1)
и
(2)
следуют соответственно из монотонности
и полуаддитивности верхней меры
(
лемма
18.1.3).
Установим
(3).
Пусть
A
1
,
A
2
—
элементарные множества
,
A
1
⊂
E,
A
2
⊂
F.
Тогда
A
1
∩
A
2
=
∅
,
A
1
∪
A
2
⊂
E
∪
F.
В силу
(18.1.5), (1), (2)
µA
1
+
µA
2
=
µ
(
A
1
∪
A
2
)
6
µ
(
E
∪
F
)
6
µE
+
µF.
Переходя к верхним граням по
A
1
⊂
E
,
A
2
⊂
F
,
получаем
отсюда
,
что
µE
+
µF
6
µ
(
E
∪
F
)
6
µE
+
µF,
откуда и следует
(3).
Теорема
4.
Пусть множество
E
⊂
R
n
измеримо
.
Тогда
измеримы его замыкание
E
и его внутренность
int
E
и
µE
=
=
µ
(int
E
) =
µE
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Из измеримости
E
следует в силу
критерия измеримости
,
что
µ∂E
= 0.
Но
E
=
E
∪
∂E,
int
E
=
E
\
∂E.
Остается воспользоваться теоремами
2, 3.
Для ряда важных применений критерия измеримости уста
-
новим
,
что некоторые множества простого вида имеют меру
нуль
.
§
18.2.
Свойства измеримых по Жордану множеств
17
Теорема
5.
График непрерывной на компакте функции
имеет меру нуль
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
f
:
F
→
R
,
где
F
⊂
R
n
—
компакт
.
E
=
{
(
x, x
n
+1
) = (
x
1
, . . . , x
n
, x
n
+1
) :
x
∈
F,
x
n
+1
=
f
(
x
)
} ⊂
R
n
+1
—
график функции
f
.
Покажем
,
что
(
n
+ 1)-
мерная мера мно
-
жества
E µ
n
+1
E
равна нулю
.
Функция
f
,
как непрерывная на
компакте
,
равномерно непрерывна на нем
.
Следовательно
,
для
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
ε
>
0 :
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
< ε
при
x, y
∈
E,
|
x
−
y
|
< δ.
Пусть п
-
прямоугольник
˜
P
⊃
F
, ˜
P
⊂
R
n
.
Разобьем его на
попарно непересекающиеся п
-
прямоугольники
,
диаметры ко
-
торых меньше
δ
,
и обозначим через
P
1
,
. . . ,
P
m
те из них
,
которые пересекаются с
F
.
В каждом
P
j
возьмем какую
-
либо
точку
x
(
j
)
∈
P
j
и построим п
-
прямоугольник
Q
j
B
P
j
×
(
f
(
x
(
j
)
)
−
ε, f
(
x
(
j
)
) +
ε
]
⊂
R
n
+1
.
Очевидно
,
график сужения функции
f
на
F
∩
P
j
содержится в
Q
j
.
Следовательно
,
E
⊂
m
S
j
=1
Q
j
и в силу монотонности верхней
меры
µ
∗
n
+1
E
6
m
X
j
=1
2
εµP
j
6
2
εµ
˜
P .
В силу произвольности
ε >
0
µ
∗
n
+1
E
= 0,
так что
µ
n
+1
E
=
= 0.
Теорема
6.
Пусть
F
⊂
R
n
,
µF
= 0
.
Тогда прямой ци
-
линдр
E
=
F
×
[
a, b
]
⊂
R
n
+1
измерим и
µ
n
+1
E
= 0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
ε >
0
и
B
ε
—
такое элемен
-
тарное множество в
R
n
,
что
F
⊂
B
ε
,
µB
ε
< ε.
Тогда
B
ε
×
(
a
−
1
, b
] —
элементарное множество в
R
n
+1
,
E
⊂
B
ε
×
(
a
−
1
, b
]
,
µ
∗
n
+1
E
6
µ
n
+1
(
B
ε
×
(
a
−
1
, b
])
< ε
(
b
−
a
+ 1)
.
18
Глава
18.
Мера множеств в
n
-
мерном евклид
.
пространстве
В силу произвольности
ε >
0,
µ
∗
n
+1
E
= 0,
так что
µ
n
+1
E
= 0.
Пример
1.
Криволинейная трапеция
F
=
{
(
x, y
) :
a
6
x
6
b,
0
6
y
6
f
(
x
)
} ⊂
R
2
,
где
f
—
непрерывная на
[
a, b
]
функция
,
f
>
0,
является изме
-
римым
(
квадрируемым
)
множеством в силу теоремы
5.
Лемма
3.
Пусть
E
⊂
R
n
,
µE
= 0
и
U
δ
(
E
)
B
{
x
: inf
y
∈
E
|
x
−
y
|
< δ
}
—
δ
-
окрестность множества
E
(
δ >
0
).
Тогда
µ
∗
U
δ
(
E
)
→
0
при
δ
→
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
µE
= 0,
ε >
0
и
B
ε
=
m
S
k
=1
P
k
—
такое элементарное множество
,
что
E
⊂
B
ε
,
µB
ε
< ε.
Для каждого п
-
прямоугольника
P
k
обозначим через
˜
P
k
п
-
пря
-
моугольник
,
получающийся из
P
k
преобразованием подобия с
центром в центре
P
k
и коэффициентом подобия
,
равным двум
.
Тогда
µ
˜
P
k
= 2
n
µP
k
и для
˜
B
ε
B
m
S
k
=1
˜
P
k
µ
˜
B
ε
6
2
n
ε
.
Ясно
,
что
∃
δ
(
B
ε
)
>
0 :
U
δ
(
E
)
⊂
˜
B
ε
∀
δ
: 0
< δ
6
δ
(
B
ε
)
,
так что
µ
∗
U
δ
(
E
)
6
µ
˜
B
ε
6
2
n
ε
,
откуда и следует утверждение
леммы
.
Глава
19
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§
19.1.
Определение кратного интеграла
и критерий интегрируемости
Определение
1.
Пусть
E
⊂
R
n
—
измеримое
(
по Жор
-
дану
)
множество
.
Конечная система
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
непустых из
-
меримых
(
по Жордану
)
множеств
E
i
называется
разбиением
множества
E
,
если
1.
◦
µ
(
E
i
∩
E
j
) = 0
при
i
6
=
j
;
2.
◦
i
τ
S
i
=1
E
i
=
E
.
Число
|
τ
|
= max
1
6
i
6
i
τ
diam(
E
i
)
называется мелкостью разбие
-
ния
τ
.
Для всякого разбиения
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
µE
=
i
τ
X
i
=1
µE
i
,
что вытекает из свойства аддитивности меры для системы по
-
парно непересекающихся множеств
{
˜
E
i
}
i
τ
1
,
˜
E
1
=
E
1
,
˜
E
i
=
E
i
\
i
−
1
[
j
=1
(
E
j
∩
E
i
)
(
i
>
2)
.
Определение
2.
Пусть
τ
и
τ
0
—
два разбиения множества
E
⊂
R
n
.
Будем говорить
,
что
τ
0
следует
за
τ
или является
измельчением
разбиения
τ
и писать
τ
0
τ
,
если для любого
E
0
j
∈
τ
0
существует
E
i
∈
τ
:
E
0
j
⊂
E
i
.
Разбиения данного множества
E
обладают следующими
свойствами
:
1.
◦
Если
τ
1
τ
2
,
τ
2
τ
3
,
то
τ
1
τ
3
.
2.
◦
Для любых
τ
1
,
τ
2
∃
τ
:
τ
τ
1
,
τ
τ
2
.
Первое свойство очевидно
.
Для доказательства второго до
-
статочно в качестве разбиения
τ
взять множество всевозмож
-
ных непустых пересечений
E
(1)
i
∩
E
(2)
j
,
где
E
(1)
∈
τ
1
,
E
(2)
j
∈
τ
2
.
20
Глава
19.
Кратные интегралы
Определение
3.
Пусть на измеримом множестве
E
⊂
R
n
определена
(
числовая
)
функция
f
и
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
—
разбиение
E
.
Отметим в каждом
E
i
какую
-
либо точку
ξ
(
i
)
∈
E
i
.
Тогда
сумма
S
τ
(
f
;
ξ
(1)
, . . . , ξ
(
i
τ
)
)
B
i
τ
X
i
=1
f
(
ξ
(
i
)
)
µE
i
называется
интегральной суммой Римана
функции
f
.
Определение
4.
Число
I
называется
интегралом Римана
функции
f
по измеримому множеству
E
⊂
R
n
,
если
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0 :
i
τ
X
i
=1
f
(
ξ
(
i
)
)
µE
i
−
I
< ε
при любом разбиении
τ
множества
E
с мелкостью
|
τ
|
< δ
и при
любом выборе отмеченных точек
.
При этом функцию
f
называют
интегрируемой по Риману
на множестве
E
.
Интеграл от функции
f
по множеству
E
обозначается сим
-
волами
Z
E
f
(
x
)
dx
или
Z Z
. . .
Z
E
f
(
x
1
, . . . , x
n
)
dx
1
. . .dx
n
.
Кратко можно записать
Z
E
f
(
x
)
dx
B
lim
|
τ
|→
0
S
τ
(
f
;
ξ
(1)
1
, . . . , ξ
(
i
τ
)
)
,
вкладывая в понятие предела тот смысл
,
который выражен в
ε
,
δ
-
терминах в определении
4.
Напомним
,
что в случае
n
= 1
необходимым условием ин
-
тегрируемости функции на отрезке
[
a, b
]
является ограничен
-
ность этой функции на
[
a, b
].
Следующий пример показывает
,
что при
n
>
2
условие ограниченности не является необходи
-
мым для интегрируемости этой функции
.
Пример
1.
При
n
= 2
рассмотрим множество
E
,
имеющее
вид «шарика на нитке»
:
E
=
U
1
((0
,
3))
∪
(
{
0
} ×
(0
,
2])