ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1495
Скачиваний: 1
§
27.1.
Интеграл Фурье
191
Применяя лемму
1,
имеем
S
η
(
x
) =
1
π
Z
+
∞
−∞
f
(
t
)
Z
η
0
cos
y
(
x
−
t
)
dy dt
=
=
1
π
Z
∞
−∞
f
(
t
)
sin
η
(
x
−
t
)
x
−
t
dt
=
1
π
Z
∞
−∞
f
(
u
+
x
)
sin
ηu
u
du
=
=
1
π
Z
0
−∞
+
Z
∞
0
f
(
u
+
x
)
sin
ηu
u
du,
S
η
(
x
) =
1
π
Z
∞
0
[
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)]
sin
ηt
t
dt.
(5)
Лемма
3.
Z
∞
0
sin
ηt
t
dt
=
Z
∞
0
sin
t
t
dt
=
π
2
∀
η >
0
.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о
этого равенства предлагается
провести самостоятельно
,
используя указание к упражне
-
нию
26.3.6.
Напомним определение
24.2.1.
Точка
x
0
называется
по
-
чти регулярной
точкой функции
f
,
если существуют
f
(
x
0
+
+ 0),
f
(
x
0
−
0),
f
0
+
(
x
0
)
B
lim
h
→
0+0
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
+ 0)
h
,
f
0
−
(
x
0
)
B
lim
h
→
0+0
f
(
x
0
−
h
)
−
f
(
x
0
−
0)
−
h
.
Если при этом
f
(
x
0
) =
f
(
x
0
−
0) +
f
(
x
0
+ 0)
2
,
то
x
0
называ
-
ется
регулярной
точкой функции
f
.
Если функция
f
имеет в точке
x
0
правую и левую одно
-
сторонние производные
,
то
f
непрерывна в точке
x
0
и
x
0
—
регулярная точка функции
f
.
Теорема
1 (
достаточные условия сходимости в
точке интеграла Фурье
).
Пусть функция
f
абсолютно ин
-
тегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
и
a
(
y
)
,
b
(
y
)
определены формулой
(4)
.
Тогда
1.
◦
если
x
0
—
почти регулярная точка функции
f
,
то
S
(
x
0
) =
S
(
x
0
, f
) =
Z
∞
0
[
a
(
y
) cos
x
0
y
+
b
(
y
) sin
x
0
y
]
dy
=
192
Глава
27.
Интеграл Фурье и преобразование Фурье
=
f
(
x
0
+ 0) +
f
(
x
0
−
0)
2
;
2.
◦
если же
x
0
—
регулярная точка функции
f
,
то
S
(
x
0
, f
) =
f
(
x
0
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Используя
(6),
получим
S
η
(
x
0
)
−
f
(
x
0
+ 0) +
f
(
x
0
−
0)
2
=
=
1
π
Z
∞
0
[
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+ 0)]
sin
ηt
t
dt
+
+
1
π
Z
∞
0
[
f
(
x
0
−
t
)
−
f
(
x
0
−
0)]
sin
ηt
t
dt
=
=
1
π
J
+
(
η
) +
1
π
J
−
(
η
)
.
Представим
J
+
(
η
)
при
η >
1
в виде
J
+
(
η
) =
Z
1
0
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+ 0)
t
sin
ηt dt
+
+
Z
∞
1
f
(
x
0
+
t
)
t
sin
ηt dt
−
f
(
x
0
+ 0)
Z
∞
η
sin
u
u
du
=
=
J
+
1
(
η
) +
J
+
2
(
η
)
−
f
(
x
0
+ 0)
J
+
3
(
η
)
.
Интегралы
J
+
1
(
η
),
J
+
2
(
η
)
→
0
при
η
→
+
∞
по теореме
24.1.1
Римана об осцилляции
.
Интеграл
J
+
3
(
η
)
→
0
при
η
→
+
∞
в силу сходимости интеграла
R
∞
0
sin
u
u
du
.
Следовательно
,
J
+
3
(
η
)
→
0
и аналогично
J
−
(
η
)
→
0
при
η
→
+
∞
.
Таким образом
,
теорема
1
установлена
.
Многие свойства интегралов Фурье аналогичны соответ
-
ствующим свойствам рядов Фурье по тригонометрической си
-
стеме
.
В качестве примера можно сравнить формулировки те
-
орем
1
и
24.2.1.
Для интегралов Фурье
,
как и для рядов Фурье
,
справедлив принцип локализации
,
аналогично формулируются
различные условия сходимости в точке
(
например
,
в терминах
условий Гёльдера
)
и равномерной сходимости
,
одинаково влия
-
ние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и
интегралов Фурье
,
имеется аналог равенства Парсеваля и т
.
п
.
§
27.1.
Интеграл Фурье
193
Напомним
,
что для комплекснозначной функции действи
-
тельного аргумента
w
(
t
) =
u
(
t
) +
iv
(
t
)
,
u
(
t
)
, v
(
t
)
∈
R
∀
t
интеграл Римана и несобственный интеграл Римана опреде
-
ляются так же
,
как для действительнозначной функции
.
При
этом
Z
b
a
w
(
t
)
dt
=
Z
b
a
u
(
t
)
dt
+
i
Z
b
a
v
(
t
)
dt,
если два последних интеграла существуют
,
и
Z
b
a
w
(
t
)
dt
6
Z
b
a
|
w
(
t
)
|
dt,
если интеграл в левой части существует как интеграл Ри
-
мана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с
несколькими особенностями
.
Определение
2.
Пусть функция
f
: (
−∞
,
+
∞
)
→
R
инте
-
грируема по Риману на любом отрезке
[
−
η, η
],
η >
0.
Тогда
v
.
p
.
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
dx
B
lim
η
→
+
∞
Z
η
−
η
f
(
x
)
dx.
Пусть функция
ϕ
: [
a, b
]
\{
x
0
} →
R
,
x
0
∈
(
a, b
),
интегрируема
по Риману на любом множестве
[
a, b
]
\
U
ε
(
x
0
),
ε >
0.
Тогда
v
.
p
.
Z
b
a
ϕ
(
x
)
dx
B
lim
ε
→
0
Z
[
a,b
]
\
U
ε
(
x
0
)
ϕ
(
x
)
dx.
Введенные конструкции называются главными значениями
(valeur principale)
интегралов
.
Если интеграл сходится как несобственный
,
то он имеет
,
очевидно
,
и главное значение
,
совпадающее с несобственным
интегралом
.
Обратное неверно
.
Например
,
главные значения
интегралов
R
∞
−∞
sin
x dx
,
R
1
−
1
dx
x
существуют и равны нулю
,
но
сами интегралы не сходятся как несобственные
.
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
и
в каждой точке имеет обе односторонние производные
(
а зна
-
194
Глава
27.
Интеграл Фурье и преобразование Фурье
чит
,
и непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
)).
Тогда по теореме
1
для
∀
x
∈
R
f
(
x
) =
1
π
Z
∞
0
Z
∞
−∞
f
(
t
) cos
y
(
x
−
t
)
dt dy
=
=
1
2
π
Z
+
∞
−∞
Z
+
∞
−∞
f
(
t
) cos
y
(
x
−
t
)
dt dy.
В то же время вследствие нечетности функции
sin
x
0 = v
.
p
.
Z
+
∞
−∞
Z
+
∞
−∞
f
(
t
) sin
y
(
x
−
t
)
dt dy.
Умножив последнее равенство почленно на
i
2
π
и сложив с пре
-
дыдущим
,
получим
f
(
x
) =
1
2
π
v
.
p
.
Z
+
∞
−∞
Z
+
∞
−∞
f
(
t
)
e
iy
(
x
−
t
)
dt dy.
(7)
Последняя формула называется
комплексной записью ин
-
теграла Фурье
.
§
27.2.
Преобразование Фурье
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
и
в каждой точке
x
оси имеет односторонние производные
f
0
+
(
x
),
f
0
−
(
x
) (
а значит
,
и непрерывна на
(
−∞
,
+
∞
)).
Тогда она может
быть разложена в интеграл Фурье
.
Это разложение
,
имеющее
в комплексной форме вид
(27.1.7),
можно переписать так
:
f
(
x
) = v
.
p
.
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
t
)
e
−
iyt
dt
e
ixy
dy.
(1)
Правая часть
(1)
представляет собой результат двух после
-
довательно примененных интегральных преобразований
.
Определение
1.
Пусть функция
f
: (
−∞
,
+
∞
)
→
C
(
ком
-
плекснозначная
)
абсолютно интегрируема на любом отрезке
[
−
η, η
]
⊂
(
−∞
,
+
∞
).
Преобразование Фурье
функции
f
определяется формулой
ˆ
f
(
y
) =
F
[
f
](
y
)
B
v
.
p
.
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
e
−
iyx
dx.
(2)
§
27.2.
Преобразование Фурье
195
Обратное преобразование Фурье
функции
f
определяется фор
-
мулой
˜
f
(
y
) =
F
−
1
[
f
](
y
)
B
v
.
p
.
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
e
iyx
dx.
(3)
В частности
,
если
f
—
комплекснозначная абсолютно ин
-
тегрируемая на
(
−∞
,
+
∞
)
функция
,
то
F
[
f
](
y
) =
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
e
−
iyx
dx,
F
−
1
[
f
](
y
) =
1
√
2
π
Z
+
∞
−∞
f
(
x
)
e
iyx
dx.
(4)
Теорема
1.
Пусть
f
:
(
−∞
,
+
∞
)
→
R
абсолютно интегри
-
руема на
(
−∞
,
+
∞
)
и имеет в каждой точке обе односторонние
производные
,
то
F
−
1
[
F
[
f
]] =
f,
F
[
F
−
1
[
f
]] =
f.
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Первая из формул
(5)
совпадает с
ранее установленной формулой
(1).
Вторая получается приме
-
нением первой к функции
f
∗
(
x
)
B
f
(
−
x
).
Формулы
(5)
называют
формулами обращения
.
З а м е ч а н и е
1.
Теорема
1
установлена для
действительнозначных функций
f
.
Она справедлива и для
комплекснозначных функций
f
действительного аргумента
(
f
:
(
−∞
,
+
∞
)
→
C
),
поскольку каждую такую функцию можно
представить в виде
f
(
x
) =
g
(
x
) +
ih
(
x
),
где
g, h
: (
−∞
,
+
∞
)
→
→
R
,
и воспользоваться теоремой
1
для функций
f
и
h
.
Эти же соображения применимы и при выводе ряда дру
-
гих свойств преобразований
F
и
F
−
1
.
Поэтому при их форму
-
лировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением
лишь действительнозначных функций
.
Установим некоторые
свойства преобразования Фурье
аб
-
солютно интегрируемых функций
(
f
1
,
f
2
,
f
):
1.
◦
(
линейность
)
F
[
λ
1
f
1
+
λ
2
f
2
] =
λ
1
F
[
f
1
] +
λ
2
F
[
f
2
]
∀
λ
1
, λ
2
∈
C
,