ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 955
Скачиваний: 2
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
76
Пример.
Рассмотрим линейное пространство
R
n
[
x
]
многочленов от
переменной
x
степени не выше
n
. Размерность этого пространства рав-
на
n
+ 1
, базис в нем можно выбрать, например, такой:
1
, x, x
2
, . . . , x
n
.
Многочлену
a
0
+
a
1
x
+
. . .
+
a
n
x
n
в этом базисе соответствует координатный столбец
(
a
0
a
1
. . . a
n
)
T
.
Пусть теперь даны два линейных пространства:
E
с базисом
e
=
(
e
1
, . . . , e
n
)
и
F
с базисом
f
= (
f
1
, . . . , f
m
)
. Пусть
K
e
и
K
f
— соответ-
ствующие координатные изоморфизмы. Рассмотрим линейный оператор
A
:
E
→
F
. Отображение
A
ef
=
K
f
◦ A ◦
(
K
e
)
−
1
,
сопоставляющее координатному столбцу
(
x
1
. . . x
n
)
T
вектора
x
∈
E
ко-
ординатный столбец
(
y
1
. . . y
m
)
T
вектора
A
x
∈
F
, действует из
R
n
в
R
m
и является линейным оператором как композиция линейных операто-
ров (см. задачу 7.3). Вспомним теперь (задача 7.2), что любой линейный
оператор
R
n
→
R
m
есть оператор умножения на матрицу. Эту матрицу
для оператора
A
ef
традиционно обозначим
A
ef
. Действие оператора
A
ef
можно изобразить следующей диаграммой:
E
A
−→
F
(
K
e
)
−
1
↑
↓
K
f
R
n
A
ef
−→
R
m
Можно пройти от
R
n
к
R
m
последовательно по стрелкам
(
K
e
)
−
1
,
A
,
K
f
, а можно — по единственной стрелке
A
ef
: результат в том и другом
случае будет одинаковым (имеется в виду равенство
A
ef
=
K
f
◦ A ◦
(
K
e
)
−
1
). Картинки со стрелками, обладающие подобными свойствами,
называются в алгебре
коммутативными диаграммами
.
Обратимся теперь к матрице
A
ef
и выясним, откуда берутся ее эле-
менты. Обозначим их через
a
ij
, i
= 1
, . . . , m, j
= 1
, . . . , n
. Заметим, что
a
11
. . .
a
1
n
a
21
. . .
a
2
n
..
.
..
.
..
.
a
m
1
. . .
a
mn
1
0
..
.
0
=
a
11
a
21
..
.
a
m
1
,
. . . ,
a
11
. . .
a
1
n
a
21
. . .
a
2
n
..
.
..
.
..
.
a
m
1
. . .
a
mn
0
0
..
.
1
=
a
1
n
a
2
n
..
.
a
mn
,
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
77
то есть при умножении матрицы
A
ef
на
k
-й вектор стандартного базиса
в
R
n
получается
k
-й столбец матрицы
A
ef
. Но
k
-й вектор стандартного
базиса в
R
n
есть координатное изображение вектора
e
k
(
k
-го вектора
базиса пространства
E
), а
a
1
k
, a
2
k
, . . . , a
mk
— это координаты вектора
A
e
k
в базисе
f
.
Итак:
k
-й столбец матрицы
A
ef
линейного оператора
A
:
E
→
F
— это коор-
динатное представление вектора
A
e
k
в базисе
f
.
Пример.
Известно, что дифференцирование функций обладает свой-
ствами аддитивности и однородности:
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
,
(
λf
)
′
=
λf
′
.
Поэтому отображение
D
:
R
3
[
x
]
→
R
2
[
x
]
,
D
p
=
p
′
, является линейным
оператором. Вычислим матрицу этого оператора относительно базисов
(
p
1
= 1
, p
2
=
x, p
3
=
x
2
, p
4
=
x
3
)
в
R
3
[
x
]
и
(
p
1
, p
2
, p
3
)
в
R
2
[
x
]
. Выпишем
координаты в базисе
(
p
1
, p
2
, p
3
)
векторов
D
p
k
, k
= 1
,
2
,
3
,
4 :
D
p
1
= 1
′
= 0
∼
0
0
0
,
D
p
2
=
x
′
= 1
∼
1
0
0
,
D
p
3
= (
x
2
)
′
= 2
x
∼
0
2
0
,
D
p
4
= (
x
3
)
′
= 3
x
2
∼
0
0
3
.
Следовательно, матрица оператора дифференцирования в указанных
базисах такова:
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
.
Часто встречается следующий частный случай: оператор
A
отобра-
жает пространство
E
в себя. Координатное представление оператора
A
тогда задается формулой
K
e
◦ A ◦
(
K
e
)
−
1
(естественно, что в
E
выбирается единственный базис
e
). Матрицу опе-
ратора
A
в базисе
e
будем обозначать
A
e
.
Контрольное упражнение 10.6.
Рассмотреть дифференцирование
как оператор
D
:
R
4
[
x
]
→
R
4
[
x
]
и построить его матрицу в базисе
(1
, x, x
2
, x
3
, x
4
)
.
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
78
10.4
Матрица перехода
Если в пространстве
E
выбрать два базиса:
e
= (
e
1
, . . . , e
n
)
и
e
e
=
(
e
e
1
, . . . ,
e
e
n
)
, то каждый вектор
x
получит разные координаты в базисах
e
и
e
e
, и будут определены два координатных отображения
K
e
и
K
e
e
:
E
A
AAU
R
n
R
n
K
e
K
e
e
Отображение
K
e
e
◦
K
−
1
e
:
R
n
→
R
n
, которое сопоставляет координатам
вектора
x
в базисе
e
координаты этого же вектора в базисе
e
e
, называется
отображением перехода
от базиса
e
к базису
e
e
. Матрица оператора
K
e
e
◦
K
−
1
e
называется
матрицей перехода
. Мы будем обозначать ее
T
e
→
e
e
.
Итак, если
ξ
— столбец координат вектора
x
в базисе
e
, а
e
ξ
— столбец
координат вектора
x
в базисе
e
e
, то
e
ξ
=
T
e
→
e
e
ξ.
(32)
Контрольное упражнение 10.7.
Элементы
k
-го столбца матрицы
перехода
T
e
→
e
e
суть координаты вектора
e
k
в базисе
e
e
.
Контрольное упражнение 10.8.
T
e
e
→
e
= (
T
e
→
e
e
)
−
1
.
Пример.
Рассмотрим два базиса в пространстве
R
2
:
e
= (
e
1
, e
2
)
,
e
1
=
1
0
, e
2
=
0
1
;
f
= (
f
1
, f
2
)
,
f
1
=
1
1
, f
2
=
1
−
1
.
Поскольку векторы базиса
f
заданы своими координатами в базисе
e
,
матрица
T
f
→
e
выписывается сразу:
T
f
→
e
=
1
1
1
−
1
.
Матрицу
T
e
→
f
можно вычислить либо найдя
(
T
f
→
e
)
−
1
, либо разло-
жив векторы
e
1
, e
2
по базису
f
:
T
e
→
f
=
1
/
2
1
/
2
1
/
2
−
1
/
2
.
Матрица линейного оператора
A
:
E
→
E
при переходе от базиса
e
к
базису
e
e
меняется следующим образом:
A
e
e
=
T
e
→
e
e
A
e
T
e
e
→
e
.
(33)
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
79
Если матрицу
T
e
→
e
e
обозначить просто через
T
, то последнюю формулу
можно переписать так:
A
e
e
=
T A
e
T
−
1
.
А вот соответствующая коммутативная диаграмма:
R
n
R
n
R
n
R
n
E
E
-
A
-
A
e
@
@
@
I
K
e
K
−
1
e
K
−
1
e
e
@
@
@
R
K
e
e
-
A
e
e
6
T
e
e
→
e
?
T
e
→
e
e
11
Ранг линейного оператора
80
11
Ранг линейного оператора
Университет развивает все способности,
в том числе – глупость.
А.П.Чехов.
11.1
Определение ранга. Теорема о ранге
Рангом
линейного оператора
A
:
E
→
F
называется число
dim Im
A
.
Ранг оператора
A
обозначается
rk
A
.
Теорема 11.1
(о ранге)
.
Пусть
A
:
E
→
F
— линейный оператор.
Тогда
dim Ker
A
=
dim E
−
rk
A
,
и любое подпространство
e
E
⊂
E
, дополняющее
Ker
A
в
E
:
e
E
⊕
Ker
A
=
E,
изоморфно отображается оператором
A
на
Im
A
.
Доказательство.
Пусть
e
E
— произвольное дополнительное к
Ker
A
подпространство в
E
. Покажем, что оператор
A
изоморфно ( = взаимно
однозначно) отображает
e
E
на
Im
A
.
Сначала проверим инъективность. Если
v
1
, v
2
∈
e
E
, и
A
v
1
=
A
v
2
, то
A
(
v
1
−
v
2
) =
θ
⇒
v
1
−
v
2
∈
(
e
E
∩
Ker
A
)
⇒
v
1
−
v
2
=
θ.
Теперь докажем, что у каждого вектора
y
∈
Im
A
есть прообраз в
e
E
. Пусть
x
∈
E
— такой вектор, что
A
x
=
y
. Поскольку
E
=
e
E
⊕
Ker
A
,
вектор
x
представляется в виде
x
=
u
+
v
, где
u
∈
Ker
A
,
v
∈
e
E
. Но
тогда
A
v
=
A
(
x
−
u
) =
A
x
− A
u
=
y
−
θ
=
y.
Утверждение об изоморфном действии оператора
A
из
e
E
на
Im
A
доказано. Следовательно,
dim
e
E
=
dim Im
A
=
rk
A
,
и, по формуле размерности прямой суммы (задача 9.2),
dim Ker
A
+
rk
A
=
dim E,
что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что неспроста одно и то же слово “ранг” употреб-
ляется в понятиях “ранг матрицы” и “ранг линейного оператора”. Сле-
дуя обозначениям теоремы о ранге, выберем в подпространстве
e
E
базис
(
e
1
, . . . , e
r
)
, а в
Ker
A
— базис
(
e
r
+1
, . . . , e
n
)
.