ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 980
Скачиваний: 2
3
Кривые второго порядка на плоскости
26
1 :
e
A
6
= 0
,
e
C
6
= 0
)
PPPPq
1
.
1 :
b
F
6
= 0
1
.
2 :
b
F
= 0
C
CW
1
.
2
.
1 :
e
A
e
C <
0
1
.
2
.
2 :
e
A
e
C >
0
@
@
@
@
@
@
R
e
A
e
C >
0
1
.
1
.
3 :
e
A
e
C <
0
1
.
1
.
1 :
e
A,
e
C,
b
F
имеют один знак
1
.
1
.
2 :
e
A
e
C >
0
,
e
A
b
F <
0
A
AAU
PPP
PP
P
q
В случае
1.1.1
разделим обе части уравнения (10) на
b
F
, положим
a
2
=
b
F
e
A
, b
2
=
b
F
e
C
и для простоты обозначений будем писать (здесь и всюду
далее)
x, y
вместо
b
x,
b
y
. В результате получим
каноническое уравнение
эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
(
K
1)
(см. рис. 3.3). Величины
a
и
b
называются
полуосями
эллипса. Частным
случаем эллипса является окружность.
Контрольное упражнение 3.4.
В любой из книг, указанных в начале
раздела, найти способ построения эллипса с помощью двух гвоздиков и
веревочки. Осуществить.
Случай
1.1.2
: после аналогичных действий придем к уравнению
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
,
(
K
2)
которому, очевидно, не удовлетворяет ни одна точка плоскости. Уравне-
ние (K2) называется
каноническим уравнением мнимого эллипса
.
Случай
1.1.3.
Для определенности будем считать, что
e
A
b
F >
0
. То-
гда, деля на
b
F
и обозначая
a
2
=
b
F /
e
A, b
2
=
−
b
F /
e
B
, получим
канониче-
ское уравнение гиперболы
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1
.
(
K
3)
Эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 3.4 (жирная линия, со-
стоящая из двух кусочков; остальные линии играют вспомогательную
3
Кривые второго порядка на плоскости
27
роль). Если в уравнении (10) одинаковый знак имеют
e
C
и
b
F
, то гипер-
бола имеет уравнение
−
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
.
(
K
3
′
)
Прямые
y
=
±
b
a
x
(они изображены на рис. 3.4) называются
асимп-
тотами
гиперболы (K3): ветви гиперболы, уравнение которой можно
переписать в виде
y
=
±
b
a
√
x
2
−
a
2
, приближаются к этим прямым при
увеличении
x
.
Задача 3.3.
lim
x
→±∞
(
b
a
√
x
2
−
a
2
−
b
a
x
) = 0
.
В случае
1.2.1
уравнение очевидным образом приводится к виду
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 0
.
(
K
4)
Это — каноническое уравнение
пары пересекающихся прямых
.
Случай
1.2.2
: уравнение приводится к виду
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 0
.
(
K
5)
На плоскости этому уравнению удовлетворяет единственная точка
(0
,
0)
.
Говорят, что уравнение (K5) определяет
пару мнимых прямых, пересе-
кающихся в действительной точке
.
Перейдем теперь к разбору случаев, когда один из коэффициентов
e
A
,
e
C
равен нулю. Для определенности будем считать, что
e
A
6
= 0
,
e
C
=
0
(случай
e
A
= 0
рассматривается аналогично). Отдельно рассмотрим
случаи:
2.1
:
e
E
6
= 0
и
2.2
:
e
E
= 0
. В случае
2.1
сдвиг системы координат
вдоль оси
e
x
позволяет избавиться от первой степени переменной
e
x
, а
сдвиг вдоль оси
e
y
— от свободного члена:
e
A
e
x
2
+
e
D
e
x
+
e
E
e
y
+
F
=
e
A
(
e
x
2
+
e
D
e
A
x
+
e
D
2
4
e
A
2
) +
e
E
e
y
+
F
−
e
D
2
4
e
A
=
Рис. 3.3.
3
Кривые второго порядка на плоскости
28
Рис. 3.4.
e
A
(
e
x
+
e
D
2
e
A
)
2
+
e
E
(
e
y
+
F
e
E
−
e
D
2
4
e
A
e
E
)
.
Положив
b
x
=
e
x
+
e
D/
2
e
A
,
b
y
=
e
y
+
F/
e
E
−
e
D
2
/
4
e
A
e
E
, придем к уравнению
e
A
(
b
x
)
2
+
e
E
e
y
= 0
.
Очевидным образом оно приводится к виду
x
2
= 2
py
(
K
6)
(каноническое уравнение параболы).
В случае
2.2
достаточен сдвиг вдоль оси
e
x
, что приводит к уравне-
нию
e
A
(
b
x
)
2
=
b
F ,
где
b
F
=
−
F
+
e
D
2
/
4
e
A
. В зависимости от знаков
e
A
и
b
F
можно получить
один из трех следующих канонических типов уравнений (мы опускаем
подробные выкладки, поскольку здесь все просто):
x
2
=
a
2
(
K
7)
(пара параллельных прямых),
x
2
=
−
a
2
(
K
8)
(пара мнимых параллельных прямых),
или, наконец,
x
2
= 0
(
K
9)
(пара совпавших прямых).
3
Кривые второго порядка на плоскости
29
Контрольное упражнение 3.5.
Привести к каноническому виду урав-
нения и определить тип кривых второго порядка:
1.
xy
= 0
;
2.
xy
= 1
;
3.
ax
2
+
by
2
= 1
.
4
Матрицы
30
4
Матрицы
Искусство читать – это искусство мыслить
с некоторой помощью другого.
Эмиль Фаге, франц. литературовед.
Матричное исчисление применяется практически во всех матема-
тизированных сферах знания. Достаточно подробные сведения о
матрицах можно найти во всех книгах, указанных в нашем спис-
ке литературы, кроме относящихся к разделу «другие полезные
книжки». Особенно рекомендую учебник [17].
4.1
Определение матрицы
Матрица
— это объект, который выглядит как прямоугольная таблица,
исписанная числами:
A
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
a
21
a
22
. . .
a
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m
1
a
m
2
. . .
a
mn
.
(11)
Мы будем рассматривать
вещественные
матрицы:
a
ij
∈
R
при всех
i
= 1
. . . m, j
= 1
. . . n
(можно было бы считать числа
a
ij
комплексными).
Элемент
a
ij
находится на пересечении
i
-й строки и
j
-го столбца. По-
скольку матрица (11) содержит
m
строк и
n
столбцов, она называется
матрицей типа
(
m, n
)
или
m
×
n
. Сокращенно матрица (11) записывает-
ся так:
A
= (
a
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
или даже просто
A
= (
a
ij
)
, если нет нужды явно
указывать количество строк и столбцов.
Множество всех матриц типа
m
×
n
обозначается
M
(
m, n
)
.
Будем обозначать
i
-ю строку матрицы
A
через
A
(
i
)
, а
j
-й столбец —
через
A
(
j
)
:
A
(
i
)
= (
a
i
1
. . . a
in
)
,
A
(
j
)
=
a
1
j
..
.
a
mj
,
A
=
A
(1)
..
.
A
(
m
)
= (
A
(1)
. . . A
(
n
)
)
.
Матрица может состоять и всего из одного столбца или одной строки:
a
1
..
.
a
m
∈
M
(
m,
1)
,
(
a
1
. . . a
n
)
∈
M
(1
, n
)
.