ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 696
Скачиваний: 5
016.png)
Т.е.
u
=
u
(
α
(
ξ, η
)
, β
(
ξ, η
))
, вычисляем производные
u
ξ
=
u
α
α
ξ
+
u
β
β
ξ
=
u
α
+
u
β
2
u
η
=
u
α
α
η
+
u
β
β
η
=
u
α
−
u
β
2
u
ξη
=
u
αα
α
ξ
α
η
+
u
αβ
α
ξ
β
η
+
u
α
α
ξη
+
+
u
βα
β
ξ
α
η
+
u
ββ
β
ξ
β
η
+
u
β
β
ξη
=
u
αα
−
u
ββ
4
Подставляя в уравнение (38), получаем:
u
αα
−
u
ββ
=
G
1
(39)
√√
Если
a
2
12
−
a
11
a
22
= 0
, то уравнение (36) — уравнение
па-
раболического типа
.
В этом случае уравнения (34) и (35) совпадают:
dy
dx
=
a
12
a
11
16
017.png)
Соответственно, возникает только один общий интеграл
ϕ
(
x, y
) =
const.
Выбираем переменные следующим образом:
ξ
=
ϕ
(
x, y
)
η
=
η
(
x, y
)
(40)
где функция
η
(
x, y
)
– любая независимая от
ϕ
. Рассмотрим ко-
эффициент
˜
a
11
. С учетом
a
12
=
√
a
11
√
a
22
находим
˜
a
11
=
a
11
ξ
2
x
+ 2
a
12
ξ
x
ξ
y
+
a
22
ξ
2
y
= (
√
a
11
ξ
x
+
√
a
22
ξ
y
)
2
= 0
.
(41)
Тогда для
˜
a
12
имеем
˜
a
12
=
a
11
ξ
x
η
x
+
a
12
(
ξ
x
η
y
+
η
x
ξ
y
) +
a
22
ξ
y
η
y
=
= (
√
a
11
ξ
x
+
√
a
22
ξ
y
)(
√
a
11
η
x
+
√
a
22
η
y
) = 0
(42)
Таким образом, мы доказали, что
˜
a
11
= ˜
a
12
= 0
.
17
018.png)
В результате мы получаем каноническую форму уравнения па-
раболического типа:
u
ηη
= Φ
√√
Если
a
2
12
−
a
11
a
22
<
0
, то уравнение (36) — уравнение эл-
липтического типа.
В этом случае правые части уравнений (34) и (35) комплексны.
Если
ϕ
(
x, y
) =
C
– есть комплексный интеграл уравнения (34), то
ϕ
∗
(
x, y
) =
C
∗
– есть комплексный интеграл уравнения (35).
Если ввести новые переменные
ξ
=
ϕ
(
x, y
)
η
=
ϕ
∗
(
x, y
)
то уравнение эллиптического типа приводится к формально тому
же виду, что и гиперболическое, но с комплексными переменными.
18
019.png)
Для того, чтобы перейти к действительным переменным, сделаем
замену:
α
=
1
2
(
ϕ
+
ϕ
∗
)
β
=
1
2
i
(
ϕ
−
ϕ
∗
)
или
α
=
1
2
(
ξ
+
η
)
β
=
1
2
i
(
ξ
−
η
)
Отсюда,
ξ
=
α
+
iβ
η
=
α
−
iβ
Упражнение. Показать, что при такой замене
˜
a
11
= ˜
a
22
,
˜
a
12
= 0
.
В результате наше уравнение приводится к виду
u
αα
+
u
ββ
= Φ
19
020.png)
Если из коэффициентов при старших производных составить
матрицу
A
=
a
11
a
12
a
12
a
22
(43)
то знак детерминанта матрицы
A
будет определять тип уравне-
ния:
det
A >
0
– эллиптический;
det
A <
0
– гиперболический;
det
A
= 0
– параболический.
20