ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 694
Скачиваний: 5
091.png)
4.2
Решение задачи о теплопроводности в бесконечном
стержне методом Фурье
Будем рассматривать тонкий длинный теплопроводящий стержень,
боковая поверхность которого теплоизолирована. Уравнение теп-
лопроводности для него имеет вид
∂u
∂t
=
a
2
∂
2
u
∂x
2
(178)
В случае если стержень очень длинный, то на процессы в сред-
ней его части условия на границе не будут сказываться в течение
конечного времени. В таких задачах стержень считается беско-
нечным. В результате мы будем иметь только начальное условие
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
(179)
что соответствует задаче Коши.
Сделаем замену переменных
τ
=
a
2
t
91
092.png)
тогда
∂u
∂t
=
∂u
∂τ
∂τ
∂t
=
a
2
∂u
∂τ
и наше уравнение принимает вид
∂u
∂τ
=
∂
2
u
∂x
2
,
(180)
начальное условие
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
.
Будем искать решение в виде
u
(
x, τ
) =
X
(
x
)
T
(
τ
)
,
подставляя его в (180), получаем
X
(
x
)
T
0
(
τ
) =
X
00
(
x
)
T
(
τ
)
или
T
0
(
τ
)
T
(
τ
)
=
X
00
(
x
)
X
(
x
)
.
(181)
92
093.png)
Так как левая часть этого уравнение зависит только от
τ
, а правая
– только от
x
, то мы можем сделать вывод, что равенство возмож-
но только в том случае, если и левая и правая части равны одной
и той же константе:
T
0
(
τ
)
T
(
τ
)
=
β,
X
00
(
x
)
X
(
x
)
=
β.
(182)
В результате для Т
(
τ
)
получаем
T
(
τ
) =
Ce
βτ
.
Так как температура стержня должна оставаться конечной при
t
→ ∞
, то должно быть
β <
0
, т.е. мы можем положить
β
=
−
λ
2
.
и
T
(
τ
) =
e
−
λ
2
τ
.
Уравнение для
X
(
x
)
принимает вид
X
00
(
x
) +
λ
2
X
(
x
) = 0
93
094.png)
и его общее решение
X
(
x
) =
D
cos
λx
+
E
sin
λx.
Тогда частное решение уравнения (180) запишется в виде
u
(
x, τ
) = (
A
cos
λx
+
B
sin
λx
)
e
−
λ
2
τ
(183)
В общем случае в (183)
A
=
A
(
λ
)
,
B
=
B
(
λ
)
и семейство частных
решений уравнения (180) имеет вид
u
λ
(
x, τ
) = (
A
(
λ
) cos
λx
+
B
(
λ
) sin
λx
)
e
−
λ
2
τ
,
−∞
< λ <
∞
(184)
Общее решение уравнения (180) записывается как суперпозиция
частных
u
(
x, τ
) =
∞
Z
−∞
u
λ
(
x, τ
)
dλ
94
095.png)
или
u
(
x, τ
) =
∞
Z
−∞
(
A
(
λ
) cos
λx
+
B
(
λ
) sin
λx
)
e
−
λ
2
τ
dλ
(185)
Неизвестные функции
A
(
λ
)
и
B
(
λ
)
подбираются так, чтобы удо-
влетворить начальному условию:
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
которое примет вид
∞
Z
−∞
(
A
(
λ
) cos
λx
+
B
(
λ
) sin
λx
)
dλ
=
f
(
x
)
(186)
Равенство (186) представляет собой разложение функции
f
(
x
)
в
интеграл Фурье, которое в общем случае имеет вид:
f
(
x
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
dλ
∞
Z
−∞
f
(
ξ
) cos
λ
(
ξ
−
x
)
dξ
(187)
95