ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 984
Скачиваний: 1
96
Таким образом, метод моментов при определѐнных
условиях приводит к состоятельным оценкам; при этом
уравнения (3.1) во многих случаях просты и их решение (в
отличие от метода МП) не связано с большими
вычислительными трудностями.
Когда теоретические моменты нужного порядка
отсутствуют (например, распределение Коши), метод
моментов неприменим. Оценки метода моментов, вообще
говоря, не эффективны. Их обычно используют в качестве
первых приближений, на основании которых можно
определять
другими
методами
оценки
с
большей
эффективностью..
Пример.
(Модель гамма, оценивание параметров методом
моментов)
Имеется
выборка
X
=(X
1
,...,X
n
)
из
генеральной
совокупности случайной величины
с плотностью
распределения
f(x,
)=
x
e
x
1
/
( )
, x>0, {
:0<
<
}
Рассмотрим модель гамма Г(
1
,
2
), когда оба параметра
неизвестны. Здесь
={
=(
1
,
2
):
i
>0, i=1,2}
Решение:
Рассчитаем
теоретические
начальные
моменты
k
k
x
k
k
x
e
dx
k
k
2
1
1
2
1
0
1
2
2
1 2
2
2
1
1
/
( )
(
)
( )
(
)...(
)
Для оценки двух параметров достаточно
1
и
2
1
=
1
2
;
2
=
1
2
2
(
2
+1);
Выборочные моменты
A
n1
=
1
1
n
X
i
i
n
; A
n2
=
1
2
2
1
n
X
i
i
n
.
Приравняем:
.
)
1
(
2
2
2
1
2
2
1
1
n
n
A
A
97
Решаем систему относительно
i
:
1
2
1
2
1
A
A
A
n
n
n
,
2
1
2
2
1
2
A
A
A
n
n
n
.
Отсюда оценки параметров:
~
( )
1
2
1
2
1
2
X
A
A
A
S
X
n
n
n
,
.
~
( )
2
1
2
2
1
2
2
2
X
A
A
A
X
S
n
n
n
3.5. Цензурирование
Рассматривались методы оценивания, использующие
информацию, доставляемую полной выборкой
X
=(X
1
,...,X
n
).
Иногда возникают задачи оценивания по неполной выборке,
т.е. когда некоторые наблюдения отсутствуют. В таких
случаях говорят о
цензурированных
данных.
Типичными
примерами
цензурирования
являются
следующие планы испытаний на надѐжность: берѐтся
контрольная выборка из n изделий, "времена жизни" которых
независимые одинаково распределѐнные случайные величины.
Наблюдаются либо моменты отказов за заданное время t (1-й
тип цензурирования), либо моменты первых r отказов, где r<n
(2-й тип цензурирования).
В обоих случаях достигается экономия времени на
проведение эксперимента (получение исходных данных), что
является важным фактором в реальных условиях.
1-й тип цензурирования определяется заданием такого
интервала (t
1
,t
2
), что наблюдаются лишь значения X
i
(t
1
,t
2
).
2-й тип определяется заданием двух целых чисел r
1
, r
2
0
таких, что наблюдаются лишь значения порядковых статистик
X
(k)
при r
1
+1
k
n-r
2
.
98
.
θ)
;
(x
f
)
(
1
i
x
i
n
i
θ
L
Если соответствующее ограничение с какой-нибудь
одной стороны отсутствует, то говорят о
простом
цензурировании.
Рассмотренные методы оценки параметров могут быть
применены к цензурированным данным.
Задачи и решения
Методы получения точечных оценок
Метод максимального правдоподобия
Пусть Х непрерывная случайная величина с плотностью
распределения f(x,
) зависящая от неизвестного параметра
,
значение которого и требуется оценить по выборке объема n.
Плотность распределения X :
n
i
1
i
x
n
1
x
θ)
;
(x
f
θ)
;
x
,...,
(x
f
i
(3.2)
Функцией правдоподобия L(
) выборки объема n называется
плотность выборочного вектора (3.2), которая рассматривается
при фиксированных значениях x , т.е. функция правдоподобия
– это функция неизвестного параметра
Пусть Х – дискретная случайная величина, причем
Р(Х=х)=р=р(х,
) есть функция неизвестного параметра
. Для
оценки параметра
получена конкретная выборка x
1
,…,x
n
объема n. Функция правдоподобия выборки объема n равна
вероятности того, что компоненты выборочного вектора
X
примут фиксированные значения
x
, т.е.
.
)
x
p (X
θ)
;
p (x
)
(
1
i
i
1
i
n
i
n
i
θ
L
99
Метод максимального правдоподобия заключается в том,
что в качестве оценки неизвестного параметра
выбирается
значение
θˆ , достигающее максимума функции правдоподобия.
Такую оценку называют максимально правдоподобной. В
дискретном случае максимально правдоподобная оценка
неизвестного параметра
есть такое значение
*
, при котором
вероятность
появления
данной
конкретной
выборки
максимальна.
Для
упрощения
вычислений
удобно
использовать ln L(
).
Максимально правдоподобные оценки состоятельны,
асимптотически эффективны и асимптотически нормально
распределены. Если для параметра
существует эффективная
оценка, то метод максимального правдоподобия дает именно
эту оценку.
Задача 29
Найти МП-оценки математического. ожидания m и
дисперсии
2
нормально распределѐнной генеральной
совокупности.
Решение:
Пусть x
1
,...,x
n
-
выборка наблюдений
случайной величины Х с плотностью распределения
f x m
e
X
x m
( , ,
)
(
)
2
2
1
2
2
2
.
Найдѐм функцию правдоподобия
L
(m,
2
)
L
(m,
2
)=
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
e
e
x m
i
n
n
n
x m
i
i
(
)
/
(
)
(
)
.
Логарифмическая функция правдоподобия равна
ln
L
(m,
2
)=
n
n
x
m
i
2
2
2
2
2
2
2
ln
ln
(
)
.
Используя условия максимума ln
L
(m,
2
) получим систему
уравнений для нахождения МП-оценок:
100
.
0
)
(
2
1
2
)
,
(
ln
0
)
(
1
)
,
(
ln
2
4
2
2
2
2
2
m
x
n
m
L
m
x
m
m
L
i
i
Из первого уравнения системы находим
m
n
x
x
i
1
Подставляя это значение во второе уравнение, получаем
(
)
*
2
2
1
n
x
x
D
i
X
.
Итак, выборочное среднее
x
является несмещѐнной и
состоятельной оценкой m, а также эффективной оценкой в
случае
нормального
распределѐнной
генеральной
совокупности.
Выборочная
дисперсия
*
D
X
является
состоятельной и смещѐнной оценкой
2
.
Задача 30
Найти МП - оценку параметра
распределения
Пуассона.
Решение:
Пусть x
1
,...,x
n
- выборка, наблюдений
случайной величины. Х, имеющей распределение Пуассона с
неизвестным параметром
, т.е.
P X x
x
e
x
(
)
!
, x=0,1,2,...
Функция правдоподобия
L
(
) определяется так:
L
(
)=
x
i
i
n
x
n
n
i
i
x
e
x x
x
e
!
!
!...
!
1
1
2
.
Найдѐм логарифмическую функцию правдоподобия:
ln
L
(
)=-ln(x
1
!...x
n
!)
(x
i
)ln
-
n.
Получим уравнение для определения МП - оценки: