Файл: Нов-ПМС-1.pdf

106 

 

 

1

1

*

2

ˆ

ˆ

n

i

i

i

i

L

M x

p x

p

p

x

x

x

L

p

n

n

n

x

p

n













  









Задача 37

По выборке 

1 2

,...

n

x x

x

 объема n найти оценки параметра 

λ

распределение Пуассона, используя метод моментов. 

Решение: 

 

0

1

:

:

;

A

i

A

p

MM

M

x

n

Ответ

x



























Задача 38

По выборке 

1 2

,...

n

x x

x

 объема n найти оценки параметров 

нормального  распределения  N(m,σ

)

,  используя  метод 

моментов. 

Решение: 









2

*

2

2

2

2

1

,

:

1

1

ˆ

i

n

i

i

N m

MM M

m

x

m

n

x

n



















 















 

107 

Задача 39

По выборке 

1 2

,...

n

x x

x

 объема n найти оценки параметра 

показательного распределения 

Ех(λ)

,. используя метод 

моментов. 

Решение: 

 

 

 



 

 

 

 

0

0

0

*

1

1

*

1

ˆ

exp

| ,

,

1

:

:

exp

exp

exp

:

1

1

1

1

:

1

x

n

i

n

i

i

i

n

i

i

E

f x

x f a

x x R

e

MM M

x M

x

x dx

x x

x dx

n

n

Ответ

x

n





 



















































 

















 

 



 

















Лабораторная работа № 3  

Цель лабораторной работы

– получение

точечных оценок 

параметров  распределений  дискретных  и  непрерывных 
случайных  величин  методом  максимального  правдоподобия  в 
пакете MATHCAD. 

Известны  методы  получения  точечных  оценок:  метод 

моментов,  метод  максимального  правдоподобия  и  метод 
наименьших квадратов. 

Оценки, 

полученные 

методом 

максимального 

правдоподобия,  обладают  хорошими 

асимптотическими

свойствами:  при  n



∞  они  становятся  эффективными, 

несмещенными,  состоятельными.  Познакомимся  с  этим 
методом на примерах. 

108 

Метод максимального правдоподобия для дискретной 

случайной величины 

В  MATHCAD.  для  моделирования  выборки  значений 

случайной  величины,  распределенной  по  закону  Пуассона, 
предназначена функция rpois(k,



)), которая формирует вектор 

из 

k

  случайных  чисел,  распределенных  по  Пуассону  с 

параметром 



. 

ЗАДАНИЕ 

Смоделируйте  несколько  выборок  объема 

п

  значений 

случайной  величины  X,  имеющей  распределение  Пуассона  с 
параметром 



=0.1N,  N

–  номер  варианта.  Для  одной  выборки 

постройте  график  функции  правдоподобия.  Найдите  оценку 
максимального  правдоподобия  параметра 



  как  функцию 

объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N,..., 
50N  при  N

  <

  =15  и  для  n  =  N,  2N,...,  10N  при  N  >  15. 

Изобразите  на  графике  зависимость  оценки  от  объема 
выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением 
параметра. 

Порядок выполнения задания

1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, 

имеющей  распределение  Пуассона  с  заданным  значением 
параметра 



. 

2.  Определите  логарифм  функции  максимального 

правдоподобия и изобразите его график. 

3.  Смоделируйте  несколько  выборок  разного  объема 

значений  случайной  величины,  имеющей  распределение 
Пуассона с заданным значением параметра 



. 

4.  Вычислите  оценку  максимального  правдоподобия 

параметра 



 как функцию объема выборки. 

5.  Изобразите  на  графике  зависимость  оценки 

максимального правдоподобия от объема выборки. 

Пример выполнения задания

109 

В  приведенном  ниже  фрагменте  рабочего  документа 

выполнены  требуемые  вычисления  для  распределения 
Пуассона с параметром 



 = 3. 

110 

Метод максимального правдоподобия для 

непрерывной случайной величины

В  MATHCAD  для  моделирования  выборки  значений 

случайной  величины,  имеющей  показательное  распределение, 
предназначена  функция  rexp(k,



),  которая  формирует  вектор 

из 

k

  случайных  чисел,  распределенных  показательно  с 

параметром 



.

ЗАДАНИЕ

Смоделируйте  несколько  выборок  объема  n  значений 

случайной 

величины 



, 

имеющей 

показательное 

распределение  с  параметром 



  ==  0.1N,

где  N

–  номер 

варианта.  Для  одной  выборки  постройте  график  функции 
правдоподобия. 

Найдите 

оценку 

максимального 

правдоподобия  параметра 



  как  функцию  объема  выборки. 

Выполните вычисления для n = 10N, 20N,.... 50N при N < =15 и 
для  n  =  N,  2N,...,  10N  при  N  >  15.  Изобразите  на  графике 
зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные 
оценки с заданным значением параметра. 

Порядок выполнения задания 

1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, 

имеющей  экспоненциальное  распределение  с  заданным 
значением параметра 



. 

2.  Определите  логарифм  функции  максимального 

правдоподобия и изобразите его график. 

3.  Смоделируйте  несколько  выборок  разного  объема 

значений  случайной  величины,  имеющей  экспоненциальное 
распределение с заданным значением параметра 



. 

4.  Вычислите  оценку  максимального  правдоподобия 

параметра 



 как функцию объема выборки. 

5.  Изобразите  на  графике  зависимость  оценки 

максимального правдоподобия от объема выборки. 
 

Пример выполнения задания