ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1029

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

101 

 

d L(

d

x

n

i

ln

)

 

0

откуда находим, что 

 

1
n

x

x

i

. Полученная МП - оценка 

является несмещѐнной, состоятельной и эффективной оценкой 
параметра 

 
 

Задача 31 

Найти МП - оценку параметра σ по выборке объема 

из 

нормального распределения генеральной совокупности с 
известным математическим ожиданием 

m

. Показать, что 

полученная оценка является смещенной. 

Решение: 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

4

2

2

2

2

4

~N(m, 

),

(

)

(

)

1

1

1

( , , 

)

exp

exp

2

2

2

2

1

1

2

ln

ln(2 )

ln

;

2

2

20

1

ln

|

;

2

2

1

1

ˆ

2

2

i

i

i

i

i

i

i

m

неизвестны

n

n

n

m

m

nf

m

i

n

n

m

n

m

n

m

m

n



 

 





  

 

 



 

 

2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

ˆ

1

1

2

1

1

1

1

2

n

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

n

i

i

i

i

i

i

x

n

M

M

x

M

m

x

m

n

n

M

m

x

m

n

m

x

m

n

M

m

x

m

m

x

m

n

n

n

M

m

M x

m

m

M x

m

Dx

n

n

n

n

 

 
 
 


background image

 

102 

 

Задача 32 

По  выборке 

1 2

,...

n

x x

x

объема  n  найти  МП  -  оценки 

параметров 

указанного  распределения.  Показать,  что 

полученная  оценка  является  несмещенной,  состоятельной  и 
эффективной. 
Показательное распределение Ex(1/λ). 

Решение:

1

1

1

1

2

1

2

1

*

1

*

*

2

1

~

1

1

( )

exp

[0,

)( )

1

1

1

,

,

exp

exp

1

ln

ln

1

ln

1

1

1

1

4

1

x

n

n

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

n

i

n

i

i

n

i

i

i

i

E

f x

x

L

f

L

n

L

n

L

n

n

M

M

n

несмещ

n

D

D

n

 

 

 

 

 

 

 



 

   

 

2

0

n

состоят

n



 

 

 
 
 

Задача 33 

Независимые  случайные  величины 

1

2

,

,...

k

X X

X

имеют 

биноминальное 

распределение 

соответственно 

 

1

2

,

,

,

,...

,

k

B n p B n p

B n p

.  Пусть 

1

2

,

,...

k

x x

x

  -  значения, 

которые  приняли  эти  случайные  величины  в  некотором 
эксперименте. Найти МП - оценку параметра 

p

. Показать, что 


background image

 

103 

 

полученная  оценка  является  несмещенной  и  вычислить  ее 
дисперсию.  

Решение: 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

,

...

,

,

ln

1

ln

1

ln

1

ln

ln

ln

ln 1

1

1

ln

1

1

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

k

n

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

n

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

B n p

x

B n p

L

p

p

p

p

p

p

n

p

p

L

c

p

n

p

L p

n

p

p

n

p

p

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

*

2

2

1

.

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

n

p

M

n p

Mp

p

несмещ

n

n

n p

p

p

p

Dp

D

D

n

n

n

n

 

 

 

 
 

Задача 34 

Пусть 

1 2

,...

n

x x

x

-выборка из генеральной совокупности, 

имеющей равномерное распределение 

R(a,b)

. Найти МП -

оценки параметров 

a

 и 

b

 по выборке 

Решение: 


background image

 

104 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

,

1

|

,

,

, ,

|

,

|

,

1

,

,

ln

, 0

ln

ln

,

ˆ

ˆ

0

min

ln

,

ln

,

0

max

n

n

i

i

i

i

n

n

i

i

x n

i

n

L n

R a b

f

x

f

a b

x

x

R

b

a

a

L

a b

p

f

a b

f

b

b

a

L m a

F x a

b

a

L x

n

b

a

L x a

n

b

a

a

x

x

a

b

a

L x b

n

b

a

L x a

n

b

a

b

x

x

b

b

a

Отве

 

 

 



 

 

      

 

 

      

 

 

1

1

1

ˆ

:

min

;

max

i

i

n

x n

L n

т a

x

x b

x

x

 

 

 

 

Метод моментов 

 

Метод 

моментов 

нахождения 

точечной 

оценки 

неизвестных  параметров  заданного  распределения  состоит  в 
приравнивании  теоретических  моментов  соответствующим 
эмпирическим (выборочным) моментам того же порядка. 
Пусть  f

x

(x, 

1

,…, 

s

)  –  плотность  распределения  случайной 

величины  Х,  с  помощью  этой  плотности  определим  первые  s 
начальных моментов по формулам 

)dx,

θ

 

,...,

θ

(x,

f

x

]

M [x

)

θ

,...,

α

s

1

x

m

m

s

1

m

   m=1,…,s 

По  выборке  наблюдений  случайной  величины  находят 
значения соответствующих выборочных моментов 

n

1

i

m

i

m

x

n

1

α

,   m=1,…,s 


background image

 

105 

 

Попарно  приравнивая  теоретические  моменты 

α

m

 

их 

выборочным значениям 

m

, получаем систему s уравнений с 

неизвестными 

1

,…, 

1...s

m

 

,

 

)

 

,...,

(

s

1

m

m

Решая полученную систему уравнений относительно 

1

,…, 

s

получаем  оценки  неизвестных  параметров 

1

,…, 

s

Аналогично  получаются  оценки  неизвестных  параметров  по 
выборке наблюдений дискретной случайной величины. 
 

 
 

Задача 35

 

Найти  методом  моментов  оценку  параметра 

 

распределения Пуассона. 

Решение: 

Плотность распределения 

...

 

2,

 

1,

 

0,

k

  

,

e

k!

λ

k}

P{x

λ

k

 

n

1

i

i

n

1

i

1

m

i

1

m

1

x

n

1

x

n

1

α

λ

M[x]

α

m

m

 

Следовательно 

x

λ

 

 
 

Задача 36

 

В 

n

 независимых испытаниях событие 

А

 произошло 

х 

 

раз. Методом моментов найти оценку вероятности 

появления 

события 

А 

в одном испытании. 

Решение: