ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1029
Скачиваний: 1
101
d L(
d
x
n
i
ln
)
0
,
откуда находим, что
1
n
x
x
i
. Полученная МП - оценка
является несмещѐнной, состоятельной и эффективной оценкой
параметра
.
Задача 31
Найти МП - оценку параметра σ по выборке объема
n
из
нормального распределения генеральной совокупности с
известным математическим ожиданием
m
. Показать, что
полученная оценка является смещенной.
Решение:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
2
2
2
2
4
~N(m,
),
(
)
(
)
1
1
1
( , ,
)
exp
exp
2
2
2
2
1
1
2
ln
ln(2 )
ln
;
2
2
20
1
ln
|
;
2
2
1
1
ˆ
2
2
i
i
i
i
i
i
i
m
неизвестны
n
n
n
m
m
nf
m
i
n
n
m
n
m
n
m
m
n
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
ˆ
1
1
2
1
1
1
1
2
n
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
i
x
n
M
M
x
M
m
x
m
n
n
M
m
x
m
n
m
x
m
n
M
m
x
m
m
x
m
n
n
n
M
m
M x
m
m
M x
m
Dx
n
n
n
n
102
Задача 32
По выборке
1 2
,...
n
x x
x
объема n найти МП - оценки
параметров
указанного распределения. Показать, что
полученная оценка является несмещенной, состоятельной и
эффективной.
Показательное распределение Ex(1/λ).
Решение:
1
1
1
1
2
1
2
1
*
1
*
*
2
1
~
1
1
( )
exp
[0,
)( )
1
1
1
,
,
exp
exp
1
ln
ln
1
ln
1
1
1
1
4
1
x
n
n
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
i
i
E
f x
x
L
f
L
n
L
n
L
n
n
M
M
n
несмещ
n
D
D
n
2
0
n
состоят
n
Задача 33
Независимые случайные величины
1
2
,
,...
k
X X
X
имеют
биноминальное
распределение
соответственно
1
2
,
,
,
,...
,
k
B n p B n p
B n p
. Пусть
1
2
,
,...
k
x x
x
- значения,
которые приняли эти случайные величины в некотором
эксперименте. Найти МП - оценку параметра
p
. Показать, что
103
полученная оценка является несмещенной и вычислить ее
дисперсию.
Решение:
1
1
1
1
1
1
1
1
,
...
,
,
ln
1
ln
1
ln
1
ln
ln
ln
ln 1
1
1
ln
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
k
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
B n p
x
B n p
L
p
p
p
p
p
p
n
p
p
L
c
p
n
p
L p
n
p
p
n
p
p
p
*
*
*
2
2
1
.
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
p
M
n p
Mp
p
несмещ
n
n
n p
p
p
p
Dp
D
D
n
n
n
n
Задача 34
Пусть
1 2
,...
n
x x
x
-выборка из генеральной совокупности,
имеющей равномерное распределение
R(a,b)
. Найти МП -
оценки параметров
a
и
b
по выборке
Решение:
104
1
1
1
1
1
1
,
1
|
,
,
, ,
|
,
|
,
1
,
,
ln
, 0
ln
ln
,
ˆ
ˆ
0
min
ln
,
ln
,
0
max
n
n
i
i
i
i
n
n
i
i
x n
i
n
L n
R a b
f
x
f
a b
x
x
R
b
a
a
L
a b
p
f
a b
f
b
b
a
L m a
F x a
b
a
L x
n
b
a
L x a
n
b
a
a
x
x
a
b
a
L x b
n
b
a
L x a
n
b
a
b
x
x
b
b
a
Отве
1
1
1
ˆ
:
min
;
max
i
i
n
x n
L n
т a
x
x b
x
x
Метод моментов
Метод
моментов
нахождения
точечной
оценки
неизвестных параметров заданного распределения состоит в
приравнивании теоретических моментов соответствующим
эмпирическим (выборочным) моментам того же порядка.
Пусть f
x
(x,
1
,…,
s
) – плотность распределения случайной
величины Х, с помощью этой плотности определим первые s
начальных моментов по формулам
)dx,
θ
,...,
θ
(x,
f
x
]
M [x
)
θ
,...,
(θ
α
s
1
x
m
m
s
1
m
m=1,…,s
По выборке наблюдений случайной величины находят
значения соответствующих выборочных моментов
n
1
i
m
i
m
x
n
1
α
, m=1,…,s
105
Попарно приравнивая теоретические моменты
α
m
их
выборочным значениям
m
, получаем систему s уравнений с
неизвестными
1
,…,
s
1...s
m
,
)
,...,
(
s
1
m
m
.
Решая полученную систему уравнений относительно
1
,…,
s
,
получаем оценки неизвестных параметров
1
,…,
s
.
Аналогично получаются оценки неизвестных параметров по
выборке наблюдений дискретной случайной величины.
Задача 35
Найти методом моментов оценку параметра
распределения Пуассона.
Решение:
Плотность распределения
...
2,
1,
0,
k
,
e
k!
λ
k}
P{x
λ
k
n
1
i
i
n
1
i
1
m
i
1
m
1
x
n
1
x
n
1
α
λ
M[x]
α
m
m
Следовательно
x
λ
Задача 36
В
n
независимых испытаниях событие
А
произошло
х
раз. Методом моментов найти оценку вероятности
p
появления
события
А
в одном испытании.
Решение: