ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1021
Скачиваний: 1
111
В приведенном ниже фрагменте рабочего документа
выполнены требуемые вычисления для экспоненциального
распределения с параметром λ=2.
112
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
4.1. Нормальное распределение
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет
важную роль в теории вероятностей и занимает особое
положение среди других законов. Такой закон имеет место,
когда на формирование случайной величины оказывает
влияние множество разнообразных факторов. Например,
координаты точки попадания снаряда, рост, вес человека
имеют нормальный закон распределения.
Случайная величина Х называется
нормальной
, если ее
плотность вероятности имеет вид:
.
2
)
(
exp
2
1
2
1
)
(
2
2
2
)
(
2
2
a
x
e
x
f
a
x
(4.1)
X
~
N(a,
)
случайная
величина
распределена
по
нормальному закону с параметрами распределения (а,
).
Вычислим для нормальной случайной величины Х
вероятность попадания на участок (
,
)
P{
<X<
}=
f x dx
x a
dx
( )
exp
(
)
1
2
2
2
2
. (*)
Сделав, в интеграле (*) замену переменной t=
(
)
x a
, и
изменяя пределы интегрирования, получим
P{
<X<
}=
1
2
2
2
exp
t
dt
a
a
.
113
называемую
функцией
Лапласа
или
интегралом
вероятностей
, для которой составлены таблицы. С помощью
этой функции вероятность попадания нормальной случайной
величины на участок (
,
) выражается простой формулой
P{
<X<
}=Ф
a
-Ф
a
. (4.3)
Функция Лапласа Ф(х) обладает следующими свойствами:
1)
Ф(0)=0
Действительно,
( )
0
1
2
2
2
0
0
e
dt
t
=0.
2)
Ф(-х)=-Ф(х) - нечетная функция.
Доказательство:
(
)
x
e
dt
t
x
1
2
2
2
0
,
делаем замену -t=z, получаем
(
)
x
e
dz
z
x
1
2
2
2
0
, т.е. Ф(-х)=-Ф(х). ▓
3)
Ф(+
)=0.5; Ф(-
)=-0.5.
Это свойство следует из того что, используя соответствующую
запись можно придти к интегралу Эйлера-Пуассона, и
получаем следующее
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
0
2
0
e
dt
e
d
t
t
t
.
Интеграл Эйлера-Пуассона:
e
dt
e
dt
t
t
2
2
2
0
▓
Через функцию Лапласа просто выражается вероятность
попадания нормальной случайной величины Х на участок
длиной 2L.
P{a-L<X<a+L}=P{
X a
<L}=Ф
a a L
-Ф
a a L
,
принимая во внимание нечетность функции Лапласа, получаем
114
P{
X a
<L}=2Ф
L
. (4.4)
Через функцию Лапласа выражается и функция распределения
F(x) нормальной случайной величины Х. По формуле (4.3),
полагая
=-
,
=х, и учитывая, что Ф(-
)=-1/2, получим:
F(x)=
1
2
+Ф
x a
. (4.5)
При изменении параметров распределения будет
изменяться кривая распределения. При изменении
а
f(x) не
изменяет своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс.
Изменение
равносильно изменению масштаба кривой по
обеим осям (см. рис. ниже)
f(x)
1
2
1
<
2
0 a x
Рис. 4.1.
- характеристика рассеивания, а - характеристика
положения
4.2. Квадратичные и линейные формы от нормальных
случайных величин и их свойства
Пусть
)
,..
(
n
X
X
X
1
выборка из
)
1
,
0
(
)
(
N
L
Рассмотрим квадратичную форму
n
j
i
T
j
i
ij
AX
X
X
X
a
Q
1
,
и m линейных форм
n
i
i
ki
k
X
b
t
1
,
m
k
,
1
или в матричных
115
обозначениях
BX
t
,
где
n
ij
a
A
1
||
||
-
матрица,
удовлетворяющая условию
A
A
T
, B – прямоугольная
матрица порядка mxn, а
)
,..,
(
m
t
t
t
1
- вектор.
Пусть О- матрица с нулевыми элементами, I
n
- единичная
матрица порядка n. Рассмотрим свойства квадратичной
формы.
1. Если ВА=О, то функции Q и t независимы.
2. Рассмотрим 2 квадратичные формы
AX
X
Q
T
1
и
BX
X
Q
T
2
, если АВ=ВА=О, то
1
Q
и
2
Q
независимы.
3. Обозначим через tr A след квадратной матрицы (т.е. сумму
ее диагональных элементов). Имеет место утверждение. Пусть
AX
X
Q
T
и ранг А=r
n. Если матрица А идемпотентна
(A
2
=A), то
)
(
)
(
r
Q
Z
2
и при этом r=tr A.
Теорема 4.1. (теорема Фишера)
Пусть
)
,..
(
1
n
X
X
X
– выборка из распределения
)
,
(
2
m
N
. Тогда выборочное среднее
X
и дисперсия
)
(
X
S
S
2
2
независимы и при этом подчиняются
следующим законам распределения
)
1
,
0
(
)
/
)
(
(
N
m
X
n
L
,
)
1
(
)
/
(
2
2
2
n
nS
L
.
Доказательство.
Перейдем
к
новым
случайным
величинам
/
)
(
m
X
Y
i
i
,
n
i
,
1
, которые образуют
выборку
Y
из
N(0,1).
Тогда
/
)
(
m
X
Y
и
)
(
/
)
(
X
S
Y
S
2
2
2
1
.
Поэтому достаточно доказать, что
Y
и
)
(
Y
S
2
независимы и
при этом
)
1
,
0
(
)
(
N
Y
n
L
,
)
1
(
)
(
(
2
2
n
Y
nS
L
.