ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 970
Скачиваний: 1
141
P
n T
T
U
n
n
Ф(U
)-Ф(-U
)=2Ф(U
)-1=
,
здесь U
=
1
1
2
Переписав это соотношение в виде:
P T
U
T
n
T
U
T
n
n
n
n
n
,
получаем, что
T
U
T
n
n
n
– асимптотический
-
доверительный интервал для θ. Асимптотическая дисперсия
2
( )
n
характеризует разброс распределения статистики Т
n
около θ.
Интервал тем уже, чем выше асимптотическая
эффективность оценки (чем меньше
(
)). Асимптотически
кратчайший доверительный интервал будет порождаться
асимптотически эффективной оценкой. Если исходная модель
F
регулярна, то перечисленными свойствами обладают оценки
максимального
правдоподобия.
Таким
образом,
асимптотически кратчайшим
- доверительным интервалом
для θ с учѐтом того, что
L
n
m
*
N(0,
1 i( )
),
где i(θ)-функция информации, является интервал
m
m
m
m
U
ni
U
ni
U
*
*
*
*
(
)
,
(
)
,
1
1
2
.
Если распределение генеральной совокупности не
является нормальным, то в отдельных случаях по выборкам
большого объѐма можно построить доверительные интервалы
для неизвестных параметров приближѐнно, используя
предельные теоремы теории вероятностей и вытекающие из
них асимптотические распределения и оценки.
142
Пример 1.
(доверительные интервалы для вероятности
успеха в схеме Бернулли). Пусть в n независимых испытаниях
успех наступил х раз. Найти доверительный интервал для
вероятности р успеха в одном испытании.
Решение: Эффективной оценкой вероятности успеха р в
одном испытании является относительная частота
~p h x
n
.
По теореме Муавра-Лапласа относительная частота h имеет
асимптотически нормальное распределение N(p,
pq n
), где
q=1-p.
Рассмотрим статистику U=
(
)
h p
pq n
, которая,
следовательно,
имеет
асимптотически
нормальное
распределение N(0,1) независимо от значения р. При n
имеем:
P
h p
pq n
U
1
2
Отсюда получаем, что с вероятностью
выполняется
неравенство
h U
pq
n
p h U
pq
n
1
2
1
2
(5.17)
Заменяя значения р и q в левых и правых частях неравенства
(5.17) их оценками
~p h
и
~
q
h
1
, получаем, что
доверительный интервал для вероятности успеха в схеме
Бернулли приближѐнно имеет вид
h U
h
h
n
p h U
h
h
n
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
. (5.18)
Пример 2.
При проверке 100 деталей из большой партии
обнаружено 10 бракованных деталей.
а) Найти 95% приближѐнный доверительный интервал доли
бракованных деталей во всей партии.
143
б) Какой минимальный объѐм выборки следует взять для того,
чтобы с вероятностью 0.95 утверждать, что доля бракованных
деталей во всей партии отличается от частоты появления
бракованных деталей в выборке не более, чем на 1% .
Решение:
а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборки
равна
~p h
=10/100=0.1. По таблице квантилей нормального
распределения [12] находим квантиль U
0.975
=1.96. По формуле
(5.18) 95-% интервал приближѐнно имеет вид 0.041<p<0.159.
б) Представим доверительный интервал (5.18) в виде
неравенства
h p
U
h
h
n
1
2
1
(
)
, которое выполняется с
вероятностью
=0.95. Так как по условию задачи
x-p
0.01,
то
для
определения
n
получим
неравенство
U
h
h
n
0 975
1
.
(
)
0.01,
отсюда
следует,
что
196
01 1 01
.
. (
. )
n
0.01
и
n
(0.3
196)
2
=3457.44.
Значит,
минимальный объем выборки n=3458
Задачи и решения
Интервальное оценивание. Доверительные интервалы
В рассматриваемых задачах предполагается, что выборка
объема n получена из генеральной совокупности, имеющей
либо нормальное распределение, либо распределение,
достаточно близкое к нормальному.
В задачах 40, 41 выборочные оценки определились по
результатам n наблюдений. Используя формулы, приведенные
в таблице, найти 90%- и 99%-ные доверительные интервалы
для математического ожидания (среднего) следующих
характеристик:
144
Задача 40
Емкость конденсатора, если
x
=20 мкФ,
n
=16,
среднеквадратичное отклонение известно и равно 4мкФ
Решение:
*
1
2
0,5
0,995
0,95
0,95
20,
16,
;
1
0, 9
0, 95
2
1
0, 99
0, 995
2
1, 645
2, 576
1, 645
1, 645
20
20
18, 35; 21, 64
16
16
2, 576
2, 576
20
20
17, 424; 22, 576
16
16
: 18, 35; 21, 64 , 17, 424; 22, 576
j
x
n
u
P
P
x
x
x
x
x
M
x
n
n
u
u
M
M
u
u
M
M
Ответ
;
Задача 41
Время безотказной работы электронной лампы, если
x
=500,
n
=100 среднеквадратичное отклонение известно и
равно10 часов.
Решение:
145
500,
100,
10
1, 645*10
1, 645*10
1) 500
500
10
10
498,355<M<501,645
2,576*10
2,576*10
2) 500
500
10
10
497,424<M<502,576
Ответ
x
n
M
M
: 498,355;501,645 , 497,424;502,576 ;
Пусть из одной генеральной совокупности получены две
выборки объемов
1
n
и
2
n
соответственно. Выборочные
оценки средних и дисперсий по этим выборкам равны
2
2
1
2
2
, ; ,
x x S S
. Объединенные оценки среднего и дисперсии по
выборке объема
1
2
n
n
вычисляются по формулам
1
1
2
2
1
2
n x
n x
x
n
n
,
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
n
S
n
S
S
n
n
.
Показать, что если дисперсия генеральной совокупности
известна и равна
2
, то доверительный интервал для среднего
определяется так:
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
S
S
x
t
n
n
m x
t
n
n
n
n
n
n
.(*)
Для уточнения характеристик, приведенных в задачах 40, 41
были проделаны повторные эксперименты и получены новые
выборочные оценки. Найти 90%- и 99%-ные доверительные
интервалы для среднего, используя формулу (*).