ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 972
Скачиваний: 1
136
статистикой для оценивания среднеквадратичного отклонения
является, очевидно
G X
X
m
i
i
n
;
/
1
2
1
1 2
.
5.5. Доверительные интервалы для среднего и дисперсии
Рассмотрим доверительное оценивание параметров в
общей нормальной модели N(
1
;
2
2
). Из теоремы Фишера
следует, что
G X
n S X
( ;
)
( ) /
2
2
2
2
2
– центральная статистика для оценивания дисперсии
2
2
.
Здесь
S X
2
( )
- выборочная дисперсия. Доверительный интервал
для
2
2
находим по схеме предыдущего параграфа.
Окончательно получаем: центральным
- доверительным
интервалом для
2
2
является интервал
n S X
n S X
n
n
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
( )
,
( )
(
)
,
(
)
,
.
В частности, для выборки объѐма n=10 и доверительной
вероятности
=0.9 имеем
0 05 9
2
, ;
=3.3251;
0 95 9
2
, ;
=16.919.
Поэтому центральный 0.9 - доверительный интервал для
2
2
имеет вид
(0.5911
S X
2
( )
, 3.007
S X
2
( )
).
Наикратчайший в данном случае интервал
n S X
n S X
n
n
2
1
1
2
2
1
2
2
1
( )
,
( )
,
,
,
1+
2
=1-
, (5.12)
где
;n
1
2
и
1
1
2
2
;n
определяются соотношением (5.11), в
котором n заменено на (n-1).
137
В силу теоремы 4.3 центральной статистикой для
оценивания среднего
1
является
G X
n
X
S X
( ; )
( )
1
1
1
,
где
Х
- выборочное среднее,
S X
( )
- выборочная дисперсия,
причѐм распределение этой статистики (распределение
Стьюдента S(n-1)) симметрично относительно своей средней
точки. Расчѐт доверительного интервала проводится также как
и в параграфе 5.3.. Окончательно получаем:
- доверительным
для
1
является интервал
(
( )
,
X
S X
n
t
n
1
1
,
X
S X
n
t
n
( )
)
,
1
1
, (5.13)
где t
,n-1
- (1+
)/2 - квантиль распределения S(n-1).
Построенный интервал имеет минимальную длину среди
всех
-доверительных интервалов вида
(
( )
X a S X
1
,
X a S X
2
( ))
Например, t
0,95;9
=2.262, поэтому для выборки объѐма n=10 и
доверительной вероятности
=0.55 интервал (5.13) имеет вид
(
.
( )
X
S X
0 754
,
X
S X
0 754
.
( ))
.
Итак, получены формулы доверительных интервалов для
параметров
нормально
распределѐнной
генеральной
совокупности. Эти формулы представлены в таблице.
138
Параметры
Доверительный интервал, доверительные
вероятности
уровень значимости q=1-
m
2- известно
X
n
U
m
1
2
X
n
U
1
2
m
2-
неизвестно
X
S X
n
t
n
( )
,
1
1
< m <
1
,
1
)
(
n
t
n
X
S
X
2
m- известно
2
2
1
,
2
2
2
1
,
2
)
(
)
(
n
n
X
S
n
m
X
S
n
2
m- неизвестно
2
1
,
2
1
2
2
1
,
2
1
2
)
(
)
(
n
n
X
S
n
m
X
S
n
5.6. Построение доверительного интервала с
использованием распределения точечной оценки
параметра
Если имеется некоторая точечная оценка Т=Т(
X
) для
параметра θ и известна еѐ функция распределения F
T
(t;
), то
доверительный интервал можно построить, основываясь на
этой функции.
Пусть распределение оценки Т непрерывно, функция
F
T
(t;
.) - непрерывна и монотонна по θ. Пусть заданна
доверительная вероятность
. Определим при каждом θ
числа t
i
=t
i
(
) i=1,2 , где t
1
<t
2
и
P
(t
1
<Т(
X
)<t
2
)=F
T
(t
2
;
)-F
T
(t
1
;
)=
. (5.14)
Чтобы данная процедура была однозначной, числа выбирают
так, чтобы выполнялись условия
F
T
(t
1
;
)=(1-
)/2 1-F
T
(t
2
;
)=(1-
)/2, (5.15)
т.е. речь идѐт о построении центрального доверительного
интервала. Обозначим через D
подмножество
×
:
D
={(
,
'): t
1
(
)<
'<t
2
(
)}.
139
Тогда P
((
,T(X)
D
)=
при любом
. Определим
теперь при фиксированном
' сечении D
(
') множества D
:
D
(
')={(
,
')
D
} и рассмотрим случайное множество
D
(Т(
X
))
. Событие
D
(Т(
X
)) происходит тогда и только
тогда, когда (Т(
X
)
(t
1
(
), t
2
(
)) и следовательно, при каждом
θ имеет вероятность
. Таким образом, построено случайное
множество D
(Т(
X
), которое накрывает истинное значение
параметра с вероятностью
. Если это множество является
интервалом, то построен
. - доверительный интервал для θ.
Это имеет место, если кривые
'=t
i
(
), i=1,2 являются
монотонными, одного типа (т.е. одновременно либо
возрастают, либо убывают), что обеспечивается условием
непрерывности и монотонности функции F
T
(t;
). Таким
образом при сделанных предположениях множество D
(
') при
каждом
' представляет собой интервал, следовательно,
определены его концы
1
(
')<
2
(
'), а тем самым и
соответствующий интервал (Т
1
(
X
),Т
2
(
X
,) для θ, где
(Т)
i
(
X
)=
i
(Т(
X
)), i=1,2.
Диаграмма придаѐт наглядный смысл методике. Строят
диаграмму по вертикали (для абсцисс θ из (5.15) находят
ординаты t
1
и t
2
).
Читают же еѐ по горизонтали, т.е. для наблюдавшейся
ординаты t=T(
x
) (
x
- реализация выборки
X
) "считывают"
две величины
1
и
2
и утверждают, что
(
1
,
2
). Если
“читать” диаграмму по вертикали, то границы области D
описываются парой переменных точек (θ,t
1
) и (θ,t
2
) таких, что
выполняется условие (5.15) . Если “читать” диаграмму по
горизонтали, то границы D
можно описать парой переменных
точек(t, θ
1
) и (t, θ
2
), взяв за независимую переменную
наблюдаемое значение оценки t.
Итак,
алгоритм
построения
центрального
-
доверительного интервала для θ в случае, когда функция
распределения F
T
(t;
) оценки Т=Т(
X
) непрерывна и
монотонна по θ, состоит в следующем. Пусть t=T(
x
:) -
140
наблюдавшееся значение оценки. Решая относительно θ
уравнение:
F
T
(t;
)=(1-
)/2, (1+
)/2 (5.16)
найдѐм два числа
1
<
2
. Утверждаем, что
(
1
,
2
).
Рассмотренная теория гарантирует, что при
, близком к 1,
вероятность ошибки равна 1-
.
Доверительный интервал можно построить и для
дискретной
модели.
Из-за
ступенчатости
функции
распределения F
T
(t;
) выполняются следующие неравенства
':
P
(t
1
<Т(
X
)<t
2
)=F
T
(t
2
-0;
)-F
T
(t
1
;
)
. (5.14’)
Вместо условий (5.15) вводим условия (5.15’)
F
T
(t
1
;
)
(1-
)/2, 1-F
T
(t
2
-0;
)
(1-
)/2, (5.15’)
где
t
2
-наибольшее,
t
1
-наименьшее
значения
Т,
удовлетворяющие этим неравенствам. Кривые
'=t
i
(
), i=1,2 в
данном случае будут ступенчатыми. Алгоритм построения
центрального
- доверительного интервала для θ в дискретном
случае тот же, что и в непрерывном, только вместо уравнения
(5.16) надо решать относительно θ уравнения (5.16’)
F
T
(t;
)=(1-
)/2, 1-F
T
(t-0;
)=(1-
)/2, (5.16’)
где t- наблюдавшееся значение оценки Т.
5.7. Асимптотические доверительные интервалы
Если
имеется
состоятельная
и
асимптотически
нормальная оценка Т
n
= Т
n
(
X
) для параметра θ, можно
приближѐнно решить (при больших n) задачу доверительного
оценивания.
Пусть при n
имеет место соотношение
L
n T
n
N(0,
2
(
)),
,
причѐм
2
(
) - непрерывная функция. Тогда из теоремы об
асимптотической нормальности и эффективности оценки МП
следует, что при n
и всех q