ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1008
Скачиваний: 1
131
распределения. Функция f
G
(g) от параметра
не зависит
(условие 1), поэтому для любого
(0,1) можно выбрать
величины g
1
<g
2
(многими способами) так, чтобы
P
(g
1
<G(
X
;
)<g
2
)=
f g dg
G
g
g
( )
1
2
=
. (5.2)
Определим теперь при каждом
x
X
числа T
i
(
x
), i=1,2, где
T
1
(
x
)<T
2
(
x
), как решения относительно
уравнений
G(
x
;
)= g
k ,
k=1,2
(5.3)
(однозначность определения этих чисел обеспечивается
условием 2, наложенным на функцию G(
x
;
)). Тогда
неравенства g
1
<G(
x
;
)<g
2
эквивалентны неравенствам
T
1
(
x
)<
<T
2
(
x
) (Рис. 5.1). Следовательно, формулу (5.2) можно
переписать в виде
P
(T
1
(
X
)<
<T
2
(
X
))=
,
.
Таким образом, построенный интервал (T
1
(
X
),T
2
(
X
)) является
- доверительным интервалом для
.
G(
X
;
)
g
2
T
1
(X) T
2
(X)
g
1
Рис.5.1
В конкретных задачах при построении центральной
статистики для оцениваемой характеристики приходится
учитывать специфику рассматриваемой модели. Однако,
можно выделить класс моделей, для которых центральная
статистика всегда существует и имеет простой вид. Именно:
132
если функция распределения F(x,
) непрерывна и монотонна
по параметру
, то можно положить
G X
F X
i
i
n
;
ln (
; )
1
(5.4)
Действительно, непрерывность и монотонность по
здесь
очевидны, а так как
L
(F(X
i
;
))=R(0,1) при любом
, то
распределение G(
X
;
) не зависит от
. Из
L
(
)=R(0,1) следует,
что
L
(-ln
)=Г(1,1). Таким образом, слагаемые в (5.4)
независимы и каждое из них имеет распределение Г(1,1).
Используя свойства гамма-распределения, окончательно
получаем, что плотность распределения Г(1,n), т.е.
f g
g
e
n
G
n
g
( )
( )
1
, g>0. Отсюда и из формулы (5.2) получаем
следующий метод построения доверительного интервала для
: при заданном
выбираем числа g
1
<g
2
так, чтобы
1
1
1
2
( )
n
g
e dg
n
g
g
g
Решая уравнения
ln ( ; )
,
F x
g g
i
i
n
1
1
2
, (5.5)
находим корни T
1
(
x
)<T
2
(
x
). Тогда (T
1
(
X
),T
2
(
X
)) - искомый
доверительный интервал для
.
Наибольшая трудность в применении этой модели к
конкретным задачам возникает при нахождении решений
уравнений (5.5).
5.3. Доверительный интервал для среднего
Пусть по выборке
X
=(Х
1
,....,X
n
) требуется построить
доверительный интервал для неизвестного среднего
,в
нормальной модели N(
2
). Известно, что в соответствии с
133
теоремой Фишера
L
n
X
=N(0,1). Следовательно, в
данном случае центральная статистика G(
X
,
)=
n
X
.
Решения уравнений (5.3) имеют вид
T x
x
n
g
1
2
( )
,
T x
x
n
g
2
1
( )
поэтому
-доверительным для
является
любой интервал
( )
,
X
X
n
g X
n
g
2
1
, (5.6)
где g
1
<g
2
- любые числа, удовлетворяются условию
Ф(g
1
)=Ф(g
2
)=
. (5.7)
Отметим, что хотя интервал
(
X
) случаен, его длина постоянна и равна
l
(g
1
,g
2
)=
(
)
g
g
n
2
1
, поэтому, чтобы среди всех интервалов
вида (5.6) выбрать кратчайший, надо минимизировать
функцию l
(g
1
,g
2
) при условии (5.7). Применяя метод Лагранжа
нахождения условного экстремума, получаем следующую
систему уравнений
,
)
(
)
(
;
)
(
;
)
(
1
2
2
1
g
g
n
g
n
g
где
- множитель Лагранжа;
( )
( )
x
x
e
x
1
2
2
2
.
Отсюда находим, что
(g
1
)=
(g
2
). Так как функция
(x) -
чѐтная, то g
1
=g
2
. Учитывая это, а также последнее уравнение и
соотношение Ф(-х)=1-Ф(х), получаем равенство Ф(g
2
)=(1+
)/2.
134
Из него находим, что g
2
=U
=Ф
-1
((1+
)/2) - (1+
)/2 - квантиль
стандартного нормального распределения N(0,1)
Итак, оптимальным [среди интервалов
(
X
)]
-
доверительным интервалом для параметра
в модели N(
,
2
)
является интервал
*
( )
,
X
X
n
U
X
n
U
1
2
1
2
, (5.8)
т.е. симметричный относительно случайной точки
X
интервал
длины
2
1
2
U
n
,
U
1
2
- квантиль стандартного нормального
распределения порядка (1+
)/2.
5.4. Доверительный интервал для дисперсии
Построим доверительный интервал для неизвестной
дисперсии
2
в модели N(m,
2
). Легко найти центральную
статистику для
=
(
)=
2
:
G X
X
m
i
i
n
;
1
2
1
.
Действительно,
так
как
L
X
m
i
=N(0,1),
то
L
(
)
X
m
i
2
2
2
(1) - стандартное
2
- распределение.
Следовательно,
L
(G(
X
;
))=
2
(n). Здесь
T x
g
x
m
i
i
n
1
2
2
1
1
( )
,
T x
g
x
m
i
i
n
2
1
2
1
1
( )
-решения (относительно
) уравнений
G(
x
;
)=g
1,
g
2
. Следовательно
-доверительным для
=
2
является в данном случае любой интервал.
135
(
X
)=
1
1
1
2
1
2
2
1
g
X
m
g
X
m
i
i
n
i
i
n
,
, (5.9)
где g
1
<g
2
находят из условия
f
x dx
n
g
g
2
1
2
( )
[
f
x
n
2
( )
- плотность распределения хи-квадрат].
Как правило, g
1
и g
2
надо выбирать так, чтобы выполнялись
равенства
f
x dx
n
g
2
1
0
1
2
( )
,
f
x dx
n
g
2
2
1
2
( )
, (5.10)
т.е.
g
n
1
1
2
2
,
;
g
n
2
1
2
2
,
, где
p n
,
2
– р - квантиль
распределения
2
(n). В этом случае соответствующий
доверительный интервал называют иногда
центральным
.
Соотношения (5.9), (5.10) определяют правила доверительного
оценивания неизвестной дисперсии в модели N(m,
2
). Задача
отыскания наикратчайшего интервала среди интервалов вида
(5.9) сводится к минимизации отношения g
2
/g
1
при условии
f
x dx
n
g
g
2
1
2
( )
или, если положить
g
n
1
2
1
,
;
g
n
1
2
2
(1
),
(где
1
+
2
=1-
) к уравнению:
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
,
,
,
,
exp
n
n
n
n
n
. (5.11)
Значения
1
и
2
, удовлетворяющие (5.11), определяют
оптимальный
-доверительный интервал вида (5.9)
*
( )
X
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
,
,
,
n
i
i
n
n
i
i
n
X
m
X
m
. (5.9’)
Таким образом, центральный интервал в данном случае
не является наикратчайшем. Нужно заметить, что центральной