ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1748
Скачиваний: 15
Задания для самоконтроля
163
4%, бета актива 1,5, ожидаемая доходность рыночного индекса 7%, а ковариа-
ция доходности актива А и индекса 90.
Задача 11.11.
Постройте эффективную границу для портфеля У. Шарпа,
состоящего из четырых активов со следующими характеристиками: остаточ-
ные дисперсии доходности соответственно равны 1,07%, 4,32%, 0,68% и 2,01%;
ожидаемые дневные доходности составляют
−
0
,
32%
, 0,44%, 0,21% и
−
0
,
12%
.
Ожидаемое значение дневной доходности рыночного индекса составляет 0,35%,
а дисперсия – 0,49%.
Задача 11.12.
Вычислите риск портфеля У. Шарпа, состоящего из пяти
активов со следующими характеристиками: остаточные дисперсии доходности
соответственно равны 0,79%, 2,12%, 1,13% и 1,01%; ожидаемые дневные до-
ходности составляют
0
,
23%
,
−
0
,
45%
, 0,14% и
−
0
,
10%
, полагая, что инвестор
ожидает получать в среднем 0,3% ежедневно. Ожидаемое значение дневной до-
ходности рыночного индекса составляет 0,45%, а дисперсия – 2,49%.
Задача 11.13.
Вычислите величину специфического риска актива А, зная,
что он включен в портфель У. Шарпа структуры
(0
,
36
0
,
27
0
,
41
−
0
,
04)
первым элементом, если бета портфеля составляет 0,97, а остаточные диспер-
сии доходности остальных активов соответственно равны 2,22%, 0,41% и 3,02%.
Инвестор ожидает получать в среднем 0,6% ежедневно. Дисперсия рыночной
доходности равна 1,3%.
Задача 11.14.
Рассчитайте бета для третьего актива, включенного в порт-
фель У. Шарпа структуры
(0
,
32
0
,
26
0
,
45
−
0
,
03)
, если
β
1
= 1
,
03
,
β
2
= 0
,
76
, а
β
4
= 1
,
12
. Портфельная бета составляет 0,91.
Задача 11.15.
Определите структуру портфеля У. Шарпа для «голубых
фишек» российского рынка акций по данным за последний год для: а) дневных
наблюдений; б) недельных наблюдений. Для обоих случаев определите годовую
эффективность инвестирования в виде простой процентной ставки.
Задача 11.16.
Постройте эффективную границу для портфеля Г. Мар-
ковица, состоящего из пяти активов со следующими характеристиками: дис-
персии доходности соответственно равны 0,77%, 0,16%, 0,41%, 3,02% и 1,13%;
известны ковариации доходностей
C
(
r
1
, r
2
)
=
0
,
19
,
C
(
r
1
, r
3
)
=
0
,
46
,
C
(
r
1
, r
4
) =
−
0
,
05
,
C
(
r
1
, r
5
) =
−
1
,
67
,
C
(
r
2
, r
3
) =
−
0
,
37
,
C
(
r
2
, r
4
) = 0
,
58
,
C
(
r
2
, r
5
) = 0
,
29
,
C
(
r
3
, r
4
) = 0
,
24
,
C
(
r
3
, r
5
) = 1
,
10
,
C
(
r
4
, r
5
) =
−
0
,
89
; ожида-
емые дневные доходности составляют
−
0
,
45%
, 0,13%, 0,36%, 0,24% и 0,61%.
164
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
Задача 11.17.
По условию предыдущей задачи определите ожидаемую до-
ходность портфеля Г. Марковица структуры
(0
,
01
0
,
34
0
,
20
0
,
10
0
,
35)
.
Задача 11.18.
Определите структуру портфеля Г. Марковица для «голу-
бых фишек» российского рынка акций по данным за последний год для: а) днев-
ных наблюдений; б) недельных наблюдений. При каких значениях ожидаемых
доходностей, портфели будут одинаковыми?
Задача 11.19.
Вычислите структуру портфеля Дж. Тобина, состоящего из
пяти активов со следующими характеристиками: дисперсии доходности соответ-
ственно
равны
0,47%,
0,26%,
1,24%,
2,04%
и
0,13%;
известны
ковариации доходностей
C
(
r
1
, r
2
) =
−
0
,
24
,
C
(
r
1
, r
3
) = 0
,
34
,
C
(
r
1
, r
4
) =
−
0
,
09
,
C
(
r
1
, r
5
) =
−
1
,
07
,
C
(
r
2
, r
3
) = 0
,
53
,
C
(
r
2
, r
4
) = 0
,
35
,
C
(
r
1
, r
5
) =
−
0
,
39
,
C
(
r
3
, r
4
) = 0
,
24
,
C
(
r
1
, r
5
) = 1
,
11
,
C
(
r
4
, r
5
) = 1
,
81
; ожидаемые дневные до-
ходности составляют 0,34%, 0,23%, 0,16%, 0,04% и 0,31%. Ставка безрискового
заимствования/кредитования равна 11% годовых. При каком значении ожида-
емой доходности становится заимствование выгодным?
Задача 11.20.
Имеет ли смысл формировать портфель Дж. Тобина для
«голубых фишек» российского рынка акций по дневным наблюдениям за по-
следний год?
Задача 11.21.
Свою несклонность к риску инвестор выразил через
τ
=
0
,
45
и вложил вложил свой капитал в портфель структуры
(
−
0
,
08
0
,
38
0
,
06
0
,
14
0
,
49)
. Определите структуру самофинансируемо-
го
портфеля,
если
портфеля
минимального
риска
имеет
вид
(0
,
09
0
,
42
0
,
17
0
,
05
0
,
27)
.
Задача 11.22.
Определите риск совокупного портфеля, если дисперсии
минимального и самофинансируемого портфелей соответственно равны 0,21 и
0,73 при
τ
= 0
,
95
.
Задача 11.23.
Какой должна быть ожидаемая доходность портфеля
Дж. Тобина, чтобы доля заемных по простой ставке 14% годовых средств со-
ставляла 50% капитала при условии, что несклонность к риску задается па-
раметром
τ
= 0
,
74
? Ожидаемые доходности активов составляют 31% и 24%
годовых, стандартные отклонения доходности 23% и 12%, а корреляция доход-
ностей активов равна 0,54.
12
Оценка стоимости и волатильности
опционов
12.1. Модель Блека-Шоулса-Мертона
Теория ценообразования опционов базируется на результатах, полученных
в исследовании Л. Башелье [24]. В рамках диссертационного исследования,
представленного к защите в университете Сорбонны в 1900 г., французу уда-
лось вывести простое и понятное уравнение для оценки стоимости опционов. Во
многом этому способствовало революционное предположение о том, что ценовая
динамика базисного актива может быть формально описана через арифметиче-
ское броуновское движение. А. Эйнштейн же лишь спустя пять лет предложил
применение броуновского движения в физике [32].
Л. Башелье заключил, что при нулевой процентной ставке стоимость оп-
циона колл на базовый актив без периодических процентных выплат следует
вычислять в соответствии с уравнением:
C
(
S
0
, T
) =
S
0
Φ
S
0
−
X
σ
√
T
−
X
Φ
S
0
−
X
σ
√
T
−
σ
√
T φ
S
0
−
X
σ
√
T
,
(12.1)
где
S
0
– цена базового актива на момент оценки опциона;
X
– цена исполнения
опциона;
σ
– среднеквадратическое отклонение цены базового актива;
T
– срок
обращения опциона;
Φ (
·
)
– функция стандартного нормального распределения;
φ
(
·
)
– плотность стандартного нормального распределения.
Несмотря на новаторский характер идей Л. Башелье, они имели существен-
ный недостаток, препятствующий их практическому применению. Современни-
ки исследователя забраковали уравнение (12.1) по двум причинам. Во-первых,
166
Глава 12. Оценка стоимости и волатильности опционов
в нем не предусмотрено дисконтирование денежных потоков. Во-вторых, пред-
положение о том, что ценовая динамика описывается арифметическом броунов-
ском движении, подразумевает, что цена базисного актива нормально распреде-
лена, т.е. принимает положительные и отрицательные значения. Это ограничи-
ло область применения уравнения Л. Башелье оценкой стоимости опционов на
комбинированные опционные позиции, которые могут принимать отрицатель-
ные значения. Для оценки стоимости опционов находка Л. Башелье оказывает-
ся непригодной, ведь стоимость базового актива не может быть отрицательной.
Последующие исследования заключались в последовательном устранении недо-
четов, допущенных Л. Башелье.
В связи с тем, что результаты исследований Л. Башелье были переведе-
ны на английский язык в полном объеме лишь через 60 лет, они не получили
широкой известности в момент их появления. Лишь в 1961 г. развитие идей
французского математика продолжил К. Спренкл [54]. Он провел модифика-
цию уравнения Л. Башелье, суть которой сводится к двум идеям.
Во-первых, в целях разумного приближения к реальной ценовой динамике
К. Спренкл отказался от модели броуновского движения как ее формального
описания. На ее роль он предложил модели геометрического (экономического)
броуновского движения, которое принимает любые положительные значения,
но не учитывает, однако, редкие события (выбросы). В результате на смену
функции стандартного нормального распределения
Φ (
·
)
пришла функция ло-
гнормального распределения
Λ (
·
)
. Во-вторых, К. Спренкл предпринял попыт-
ку формализации предположения о неприятии риска инвесторами. С учетом
нововведений уравнение для оценки стоимости опциона колл получило вид:
C
(
S
0
, T
) = exp(
ρT
)
S
0
Φ (
d
1
)
−
(1
−
A
)
X
Φ (
d
2
)
,
(12.2)
где
ρ
– средний темп роста цены базисного актива;
A
– коэффициент неприятия
риска;
d
1
=
σ
√
T
−
1
ln
S
0
−
ln
X
+
T ρ
+ 0
,
5
σ
2
;
d
2
=
d
1
−
σ
√
T
.
Уравнение (12.2) тоже не получило широкого распространения, поскольку
требовала оценки большого количества параметров (коэффициент неприятия
риска
A
, средний темп роста цены
ρ
и ее волатильность
σ
). К. Спренкл не уде-
лил достаточного внимания специфике их определения. В 1964 г. А. Дж. Бонес-
сом [27] был внедрен механизм дисконтирования денежных потоков. Он принял
во внимание временную концепцию денег и ввел в рассмотрение дисконтирова-
12.1. Модель Блека-Шоулса-Мертона
167
ние цены базисного актива, используя его ожидаемую доходность. В результате
получилось уравнение:
C
(
S
0
, T
) =
S
0
Φ (
d
1
)
−
X
exp (
−
ρ T
) Φ (
d
2
)
.
(12.3)
Параметры
d
1
и
d
2
аналогичны введенным ранее К. Спренклом.
П. Самуэльсон [48] продолжил модификацию уравнения (12.3) годом поз-
же. Основная идея исходила из объективного обстоятельства, в соответствии с
которым риск опциона несколько отличается от риска базисного актива.
C
(
S
0
, T
) =
S
0
exp (
ρ
−
α
) Φ (
d
1
)
−
X
exp (
−
α T
) Φ (
d
2
)
.
(12.4)
Несмотря на интуитивно понятную логику модификации, ее реализация
утонула в субъективизме: вычисления требует оценки двух экзогенных пара-
метров – ожидаемого темпа роста цены базового актива
ρ
и ожидаемого темпа
роста премии опциона колл
α
. Показатели не имеют четких правил опреде-
ления и зависят от специфических характеристик базового актива и опциона
соответственно. Субъективизм в формуле П. Самуэльсона также не позволил
ответить на вопрос, каким образом покупатель и продавец с различным видени-
ем риска могут договориться о цене опциона. Сегодня распространено мнение,
что непротиворечивость теоретического обоснования достигнута при построе-
нии лишь двух моделей, используемых для оценки стоимости опционов. Речь,
безусловно, идет о модели Блэка-Шоулса-Мертона (BSM-модель) [26,44] и моде-
ли Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-модель) [29]. В некоторых источниках эти
модели рассматриваются как дополняющие друг друга в силу того, что BSM-
модель рекомендуется для оценки европейских опционов, а CRR-модель – для
оценки американских опционов. Эта точка зрения ошибочна относительно воз-
можностей CRR-модели, которая может использоваться для оценки стоимости
как европейских, так и американских опционов. BSM-модель была получена
гораздо раньше CRR-модели. До ее опубликования в 1973 г. не было теорети-
чески непротиворечивого подхода к определению стоимости опционов, который
бы использовался в практической деятельности биржи.
Рассмотренные выше модели, безусловно, близки BSM-модели, но ее отли-
чает целый ряд предположений, обеспечивающий теоретическую непротиворе-
чивость. В основе модели лежит реализация революционной на тот момент идеи