ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 356
Скачиваний: 21
Факультет прикладной
математики, информатики и
механики
ВОРОНЕЖ 2003
Министерство
образования РФ
Воронежский
государственный
университет
Кафедра дифференциальных
уравнений
Определенный интеграл
Римана
Методическое пособие
по дисциплине «Математический анализ»
для студентов 1 курса д/о и в/о,
обучающихся по специальностям
010200 «Прикладная математика
и информатика»
010500 «Механика»
351400 «Прикладная информатика
в юриспруденции»
351500 «Математическое обеспече-
ние и администрирование
информационных систем»
Составители:
В.З. Мешков
А.А. Ларин
И.П. Половинкин
3
В методическом пособии рассмотрены элементы теории определенного
интеграла Римана, свойства интегрируемых по Риману функций, признаки
интегрируемости функций по Риману, классы интегрируемых функций.
Интегрируемость функции по Риману.
Определение интеграла.
Рассмотрим функцию
x
f
, определенную в каждой точке сегмента [
a,b
].
Введем понятие разбиения сегмента
b
a
,
, измельчения разбиения и объедине-
ния разбиений.
Определение.
Разбиением
отрезка
b
a
,
называется любая конечная сис-
тема его точек
m
i
i
x
0
, такая, что
.
...
2
1
0
b
x
x
x
x
a
m
Каждый из отрезков
m
i
x
x
i
i
,...,
1
,
,
1
, называется
отрезком разбиения
, его длина обозначается
,
i
x
1
i
i
i
x
x
x
.
Величина
i
m
i
x
d
d
1
max
, то есть длина наибольшего отрезка разбиения,
называется
мелкостью
, или
диаметром разбиения
.
Разбиение
сегмента
b
a
,
называется
измельчением
разбиения
того же
сегмента, или разбиением,
следующим
за разбиением
, если каждая точка
i
x
разбиения совпадает с одной из точек
j
x
разбиения
. Другими словами, из-
мельчение разбиения получается добавлением к нему новых точек.
Разбиение
называется
объединением
разбиений
и
того же сегмен-
та, если все точки разбиений
и
являются точками разбиения
и других
точек разбиение
не содержит.
Пусть функция
x
f
принимает в каждой точке сегмента
a,b
конечные
значения. По данному разбиению
m
i
i
x
0
составим сумму, называемую
ин-
тегральной суммой Римана:
k
m
k
m
k
k
k
k
k
k
x
f
x
x
f
f
1
1
1
)
(
)
)(
(
)
,
(
,
где
]
,
[
1
k
k
k
x
x
.
Отметим, что интегральная сумма Римана зависит как от разбиения
, так и
от выбора точек
k
на сегментах
]
,
[
1
k
k
x
x
.
Точки
k
называют промежуточными точками.
Определение.
Число
Ι
называется
пределом интегральных сумм Римана
)
,
(
k
f
при стремлении мелкости (диаметра) разбиений
к нулю, если для
4
всякого
0
существует такое число
0
)
(
, что при
d
и при любом
выборе промежуточных точек
k
выполняется неравенство
I
.
Функция
x
f
называется
интегрируемой на отрезке
b
a
,
(по Риману),
если для этой функции на отрезке
b
a
,
существует предел
Ι
ее интегральных
сумм
при стремлении диаметра
d
разбиений
к нулю. Число
Ι
называется
определенным интегралом Римана
от функции
x
f
по отрезку
b
a
,
и обо-
значается
b
a
dx
x
f
)
(
.
Число
a
называется нижним пределом интегрирования, число
b
– верхним
пределом. Переменную
x
под знаком интеграла можно заменить любой другой
переменной, так как определенный интеграл – число.
b
a
dx
x
f
)
(
=
b
a
dy
y
f
)
(
=
b
a
dt
t
f
)
(
и т.д.
Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим криво-
линейную трапецию, то есть фигуру, ограниченную графиком непрерывной не-
отрицательной функции
x
f
, заданной на сегменте
b
a
,
, двумя прямыми
b
x
a
x
,
, перпендикулярными оси абсцисс и сегментом
b
a
,
оси абсцисс.
Интегральная сумма
)
,
(
k
f
, отвечающая выбранному разбиению
и выбо-
ру точек
k
, представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников со сторонами
i
x
и
i
f
.
Определение площади произвольной плоской фигуры мы здесь давать не
будем, а примем, что предел при
0
d
площади указанной ступенчатой фигу-
ры равен площади криволинейной трапеции.
x
y
a
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
в
5
Рассмотрим простейший пример интегрируемой по Риману функции:
const
c
x
f
. При любом разбиении
m
k
k
x
0
и любом выборе точек
k
имеем
)
(
)
...
(
...
)
,
(
1
1
a
b
c
x
x
c
x
c
x
c
f
m
m
k
.
Поэтому
)
(
)
,
(
lim
0
a
b
c
f
k
d
.
Таким образом,
b
a
a
b
c
cdx
)
(
, в частности
b
a
b
a
a
b
dx
dx
1
.
Ограниченность интегрируемой по Риману функции.
Теорема.
Если функция
x
f
интегрируема по Риману на отрезке
b
a
,
, то
она ограничена на этом отрезке.
Доказательство.
Предположим противное. Пусть функция
x
f
интегри-
руема на отрезке
b
a
,
, но не является ограниченной на нем. Пусть
m
k
k
x
0
–
произвольное разбиение отрезка
b
a
,
. Тогда функция
x
f
будет неограничен-
ной хотя бы на одном отрезке разбиения. Не нарушая общности, можно счи-
тать, что
x
f
не ограничена на сегменте
]
,
[
1
0
x
х
. На остальных сегментах
]
,
[
2
1
x
х
, …,
]
,
[
1
m
m
x
х
промежуточные точки
2
,
3
, …,
m
выберем произ-
вольно и зафиксируем. Обозначим через
1
величину
m
m
x
f
x
f
)
(
...
)
(
2
2
1
.
Рассмотрим теперь функцию
x
f
только на сегменте
]
,
[
1
0
x
х
. В силу того,
что на этом сегменте функция не является ограниченной, для любого заданного
числа
0
M
найдется такая точка
]
,
[
1
0
1
x
x
, для которой
1
1
1
( ) (
) /
f
M
x
.
Отсюда
1
1
1
( )
x f
M
, поэтому
M
x
f
x
f
x
f
f
m
k
k
k
k
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
.
Но тогда для разбиения
со сколь угодно малым диаметром
d
и для поло-
жительного числа
1
Ι
M
найдется интегральная сумма
)
,
(
k
f
, удовле-
творяющая условию
1
Ι
, а поэтому
1
Ι
Ι
, что противоречит
существованию предела интегральных сумм, а значит, интегрируемости функ-
ции
x
f
. Теорема доказана.
Таким образом, всякая интегрируемая по Риману на отрезке функция огра-
ничена, то есть ограниченность функции, определенной на отрезке, является
необходимым условием ее интегрируемости. Обратное утверждение неверно,
то есть не всякая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Риману на
6
этом отрезке. Другими словами, ограниченность функции на отрезке не являет-
ся достаточным условием интегрируемости. Для того, чтобы в этом убедиться,
рассмотрим в качестве примера ограниченной и неинтегрируемой на отрезке
функции функцию Дирихле
ьно
иррационал
x
если
,
о
рациональн
x
если
,
)
x
(
f
0
1
.
Пусть отрезком интегрирования является отрезок
1
,
0
. Для произвольного
разбиения со сколь угодно малым диаметром
d
, взяв в качестве всех промежу-
точных точек иррациональные точки, мы получим интегральную сумму
0
,
равную нулю, а взяв в качестве всех промежуточных рациональные точки, мы
получим интегральную сумму
1
1
1
k
m
k
x
.
Поэтому
1
0
1
.
Если теперь взять
2
1
, и предположить, что предел
Ι
интегральных сумм
при
0
d
существует, то получим, что существует
0
, для которого при ус-
ловии
d
выполняются неравенства
2
1
Ι
0
,
2
1
Ι
1
,
откуда
1
2
1
2
1
)
(
0
1
1
1
0
1
Ι
Ι
Ι
Ι
,
но это противоречит тому, что
1
0
1
. Таким образом, функция Дирихле,
будучи ограниченной на отрезке
1
,
0
, не является интегрируемой по Риману на
отрезке
1
,
0
.
Верхние и нижние суммы Дарбу.
Пусть
x
f
– ограниченная на сегменте
b
a
,
функция. Пусть
n
k
k
x
0
–
некоторое разбиение этого сегмента. Поскольку
x
f
ограничена на сегменте
b
a
,
, то она ограничена и на каждом отрезке разбиения
]
,
[
1
k
k
x
х
. Пусть
)
(
inf
x
f
m
k
1
-
k
x
x
x
k
,
)
(
sup
x
f
M
k
1
-
k
x
x
x
k
,
k=
1
, …, n.
Определение.
Суммы
k
n
k
k
n
n
x
M
x
M
x
M
S
1
1
1
...
,