ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 369
Скачиваний: 21
7
k
n
k
k
n
n
x
m
x
m
x
m
s
1
1
1
...
называются соответственно
верхней и нижней суммами Дарбу
функции
x
f
для данного разбиения
отрезка
b
a
,
.
Выясним геометрический смысл сумм Дарбу.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную отрезком
b
a
,
оси
Ох, графиком неотрицательной непрерывной функции
0
x
f
y
и верти-
кальными прямыми
х=а
и
х=в.
Пусть дано разбиение
n
k
k
x
0
отрезка
b
a
,
. Число
М
k
в случае непре-
рывной функции является ее максимальным значением на отрезке разбиения
]
,
[
1
k
k
x
х
, а число
m
k
- ее минимальным значением на этом отрезке. Поэтому
верхняя сумма Дарбу равна площади ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников со сторонами
k
x
и
М
k
,
содержащей криволинейную трапе-
цию, а нижняя сумма Дарбу – площади ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников со сторонами
k
x
и
m
k
, которая содержится в криволиней-
ной трапеции.
Анализируя геометрический смысл интеграла, можно ожидать, что он равен
числу, которое следует принять за площадь криволинейной трапеции, а верхняя
и нижняя суммы Дарбу являются приближениями этой площади с избытком и
недостатком соответственно.
Свойства сумм Дарбу.
Лемма 1 (об оценках интегральных сумм Римана).
Пусть
)
,
(
k
f
– интегральная сумма, отвечающая данному разбиению
n
k
k
x
0
. Тогда при любом выборе промежуточных точек
k
всегда справед-
ливы неравенства
x
y
a
x
1
x
2
x
3
x
4
в
x
5
x
y
a
x
1
x
2
x
3
x
4
в
x
5
8
S
s
,
где
S
s
,
– соответственно нижняя и верхняя суммы, отвечающие тому же раз-
биению.
Доказательство.
По определению чисел
k
k
M
m
,
заключаем, что для лю-
бого
k
k
k
x
x
,
1
k
k
M
f
m
)
(
,
k=
1
, …, n
Умножая эти неравенства на
k
x
, суммируя по
k
, получаем требуемое ут-
верждение. Лемма доказана.
Лемма 2 (о приближении сумм Дарбу суммами Римана).
Пусть
n
k
k
x
0
– произвольное фиксированное разбиение сегмента
b
a
,
,
- произвольное положительное число. Тогда можно выбрать промежуточные
точки
k
таким образом, чтобы интегральная сумма
)
,
(
k
f
и верхняя сумма
Дарбу
S
удовлетворяли неравенству
S
0
.
Промежуточные точки
k
можно выбрать и таким образом, чтобы для ин-
тегральной суммы
)
,
(
k
f
и нижней суммы
s
выполнялись неравенства
s
0
.
Доказательство.
Пусть
n
k
k
x
0
– фиксированное разбиение отрезка
b
a
,
. Поскольку
)
(
sup
x
f
M
k
1
-
k
x
x
x
k
, то для выбранного
найдется такая точ-
ка
k
сегмента
k
k
x
x
,
1
, что
)
(
)
(
0
a
b
f
M
k
k
.
Умножая эти неравенства на
k
x
и суммируя по
k
, получаем первое утвер-
ждение. Второе доказывается аналогично. Лемма доказана.
Следствие.
Для любого фиксированного разбиения
n
k
k
x
0
справедли-
вы соотношения
)
,
(
sup
k
f
S
k
,
)
,
(
inf
k
f
s
k
,
где sup и inf берутся по всевозможным наборам промежуточных точек.
Лемма 3 (о монотонности сумм Дарбу).
При измельчении данного разбиения верхняя сумма Дарбу не увеличивает-
ся, а нижняя сумма Дарбу не уменьшается, то есть если
– измельчение раз-
биения
, то
s
s
S
S
,
.
Доказательство.
Доказательство достаточно ограничить случаем, когда
разбиение
получается из разбиения
добавлением одной новой точки
x
.
9
Пусть
k
k
x
x
x
,
1
. Тогда в выражении для
S
слагаемое
k
k
x
M
надо заме-
нить на
)
(
)
(
1
x
x
M
x
x
M
k
k
k
k
, чтобы получить выражение для
S
. Здесь
)
(
sup
x
f
M
k
1
-
k
x
x
x
k
,
)
(
sup
x
f
M
k
x
x
x
k
.
Точная верхняя грань функции на части сегмента не превосходит точной
верхней грани функции на всем сегменте, поэтому
k
k
M
M
,
k
k
M
M
. От-
сюда
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
M
x
x
x
x
M
x
x
M
x
x
M
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
,
так как все другие слагаемые в выражении для верхней сумм
S
такие же, как и
для суммы
S
. Поэтому мы доказали, что при измельчении разбиения верхние
суммы Дарбу могут только уменьшаться. Аналогично показывается, что при
измельчении разбиения нижние суммы Дарбу могут только увеличиваться.
Лемма доказана.
Лемма 4 (о неравенстве для верхних и нижних сумм Дарбу)
Для двух произвольных различных разбиений сегмента
b
a
,
нижняя сумма
одного из разбиений не превосходит верхней суммы другого разбиения.
Доказательство.
Пусть
и
- два произвольных разбиения сегмента
b
a
,
,
S
,
s
,
S
,
s
– верхние и нижние суммы этих разбиений соответст-
венно.
Обозначим через
объединение разбиений
и
, а через
S
,
s
соответ-
ственно верхнюю и нижнюю суммы Дарбу разбиения
. Разбиение
является
измельчением как разбиения
, так и разбиения
. Согласно лемме 3 о моно-
тонности сумм Дарбу имеем
S
S
,
S
S
,
s
s
s
s
.
Кроме того
S
s
, так что
S
s
S
S
s
s
S
s
S
S
s
s
.
Лемма доказана.
Следствие (свойство ограниченности сумм Дарбу)
Множество всех верхних сумм Дарбу ограниченной функции
x
f
, отве-
чающих всевозможным разбиениям сегмента
b
a
,
, ограничено снизу. Множе-
ство нижних сумм Дарбу ограничено сверху.
Действительно, любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной
нижней суммы, следовательно, множество верхних сумм ограниченно снизу.
Множество нижних сумм аналогично ограничено сверху.
10
Верхний и нижний интегралы Дарбу.
Основная лемма Дарбу.
Мы выяснили, что множество всех верхних сумм ограниченной функции,
отвечающих различным разбиениям отрезка
b
a
,
, ограничено снизу. Поэтому
оно имеет точную нижнюю грань. Множество всех нижних сумм Дарбу огра-
ничено сверху, поэтому оно имеет точную верхнюю грань.
Определение.
Точная нижняя грань множества всех верхних сумм Дарбу
функции
x
f
, отвечающих различным разбиениям отрезка
b
a
,
, называется
верхним интегралом Дарбу
функции
x
f
и обозначается
*
Ι
:
S
Ι
def
inf
*
.
Аналогично, число
s
Ι
def
sup
*
называется
нижним интегралом Дарбу
функции
x
f
на отрезке
b
a
,
.
Лемма.
Нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла Дарбу,
то есть
*
*
Ι
Ι
.
Доказательство.
Предположим противное, то есть
*
*
Ι
Ι
. Тогда
0
*
*
.
Для указанного
по определению числа
*
Ι
и по определению точной ниж-
ней грани множества, найдется такое разбиение
отрезка
b
a
,
, что для соот-
ветствующей верхней суммы Дарбу
S
будет выполнено неравенство
2
*
Ι
S
.
Аналогично можно указать такое разбиение
, что для соответствующей
нижней суммы
s
будет выполнено неравенство
2
*
Ι
s
.
Вычтем второе неравенство из первого и получим
0
*
*
Ι
Ι
s
S
,
то есть
s
S
. Противоречие. Лемма доказана.
Пусть теперь
)
(
sup
,
x
f
M
b
a
,
)
(
inf
,
x
f
m
b
a
. Пусть
n
k
k
x
0
– разбиение от-
резка
b
a
,
,
d
– диаметр этого разбиения. Пусть разбиение
получается из
разбиения
путем добавления
l
новых точек. Пусть
s
S
,
- верхняя и нижняя
суммы Дарбу для разбиения
, а
s
S
,
– верхняя и нижняя суммы Дарбу раз-
биения
.
Лемма.
Для разностей
s
s
S
S
выполняются следующие неравенства
ld
m
M
s
s
ld
m
M
S
S
)
(
,
)
(
.
11
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда к точкам разбиения
добавля-
ется одна новая точка
)
.
(
1
k
k
x
x
x
. Тогда верхняя сумма
S
будет отличаться
от верхней суммы
S
только тем, что одно слагаемое
k
k
x
M
у суммы
S
за-
менится двумя слагаемыми
)
(
)
(
1
x
x
M
x
x
M
k
k
k
k
у суммы
S
,
где
)
(
sup
,
1
x
f
M
x
x
k
k
,
)
(
sup
,
"
x
f
M
k
x
x
k
.
Все остальные слагаемые будут у сумм
S
и
S
общими. Отсюда
)]
(
)
(
[
1
x
x
M
x
x
M
x
M
S
S
k
k
k
k
k
k
.
Из неравенств
k
k
k
M
m
M
m
M
M
,
,
получим
d
m
M
x
m
M
x
x
x
x
m
x
M
S
S
k
k
k
k
)
(
)
(
)]
(
)
[(
1
.
Если теперь разбиение
получается из разбиения
добавлением еще од-
ной точки, то, по доказанному, получаем
d
m
M
S
S
)
(
Откуда
d
m
M
S
S
S
S
S
S
d
m
M
S
S
)
(
2
,
)
(
и т.д.
Аналогично доказывается неравенство для нижних сумм. Лемма доказана.
Определение.
Число A называется
пределом верхних сумм
Дарбу
S
при
стремлении к нулю диаметра разбиений
d
, если для любого положительного
числа
можно указать положительное число
, такое, что при условии
d
выполняется неравенство
A
S
, то есть
A
S
d
x
0
0
A
S
n
k
k
d
0
0
lim
.
Аналогично определяется
предел B нижних сумм
s
при стремлении
d
к
нулю.
Лемма (основная лемма Дарбу).
Верхний интеграл Дарбу
*
Ι
является пре-
делом верхних сумм
S
при стремлении
d
(диаметра разбиений) к нулю, то есть
S
Ι
d
0
*
lim
. Аналогично
s
Ι
d
0
*
lim
.
Доказательство.
Проведем доказательство для верхних сумм Дарбу.
1. Если
const
c
x
f
)
(
, то для любого разбиения
:
)
(
a
b
c
S
. Поэтому
*
0
lim
Ι
S
d
.
2. Пусть
)
(
x
f
непостоянна. Тогда
)
(
inf
)
(
sup
]
,
[
]
,
[
x
f
m
x
f
M
b
a
b
a
.